福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则集合中的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，满足条件的平面内以为坐标的点集合，所以集合的元素个数为.
故选：B.
2. “”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】同向不等式可以相加，所以“且”“”，必要性满足；
若时，取，此时且不成立，即充分性不成立；
则“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B
3. 集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵全集R，或，，，
∴，
结合数轴可知，当时，，
故（R为实数集）时，a的取值范围为，
故选：C．
4. 若命题“”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵命题“”是真命题，
因为，∴，
∴实数m的取值范围是．
故选：A．
5. 已知，则的最大值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】因为，则，
则
，
当且仅当，即时取等．
故选：A．
6. 已知函数是定义域为R的奇函数，当时，．若，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，，对称轴为，
故在上单调递增，
又是定义域为R的奇函数，则在上单调递增，
，函数在处连续，
故在R上单调递增，且，
由，可得，
又因为在R上单调递增，所以有，解得．
故选：D．
7. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设这批灯的销售单价为x元，由题意可得，
由题意可得，
即，解得，
可得x的范围为．
故选：C．
8. 已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（ ）
A.
B. 为函数图象的一条对称轴
C. 函数上单调递减
D.
【答案】D
【解析】A选项，因f-x+2为奇函数，则，
令，得，可得，故A正确；
B选项，因为偶函数，则，
即为函数图象的一条对称轴，故B正确；
C选项，由，得2,0为图象的一个对称中心，
又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增，
所以在0,4当单调递增，
又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确；
D选项，由B选项，，令，可得，故D错误．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个结论中正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 设，则“”的充分不必要条件是“”
C. 若“”为真命题，则
D. 若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是
【答案】CD
【解析】对于A，命题“”的否定是“”，故A错误；
对于B，当，满足，但，故充分性不成立，故B错误；
对于C，“”为真命题，则，解得，故C正确；
对于D，，对称轴为，
当时，取得最小值3，
令，即，解得或，
函数在区间上的最大值为4，最小值为3，
则实数m的取值范围是，故D正确．
故选：CD．
10. 下列选项正确的有（ ）
A. 当时，函数的值域为
B. 有最小值2
C. 函数的最小值为2
D. 当时，若，则的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A，，可得时，，
又因为，时，，所以，
所以函数的值域为，所以A正确；
对于B，设，可得在单调递增，
所以，所以B不正确；
对于C，，
同B选项可得，所以C不正确；
对于D，当时，若，可得，
所以
，
当且仅当，即，即，时取等号，
所以的最小值为，所以D正确．
故选：AD．
11. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C.
D. 若，则或
【答案】BCD
【解析】对选项A，令，则，所以，
再令，则，所以，所以选项A错误；
对选项B，定义在上的函数，定义域关于原点对称，
令，则，
所以，所以，
所以是偶函数，所以选项B正确；
对选项C，设，则，
因为当时，，所以，
由，知，
所以，所以，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以选项C正确；
选项D，由选项B分析可知是偶函数，由选项C知在上单调递增，
所以在上单调递减，又，
若，则，解得且，所以选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ___________．
【答案】
【解析】集合或，
∴，
∵集合，且，
∴，解得，
∴实数m的取值范围是，
故答案为：．
13. 幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，则________．
【答案】3
【解析】∵幂函数）的图像关于轴对称，且在上是严格减函数，
∴，且为偶数，，且．
解得，，且，
只有时满足为偶数，
∴．故，
故答案为：3．
14. 若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 __________________．
【答案】
【解析】，
令，，
因为，
所以奇函数，所以，
所以，，
又因为，所以，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）求集合；
（2）设集合，且，求实数a的取值范围．
解：（1）因为集合，，
所以，
所以；
（2）因为，可得，
故，解得，
即实数a的取值范围为：．
16. 已知函数．
（1）当时，求函数在上的最大值与最小值；
（2）若在上的最大值为4，求实数的值．
解：（1）当时，，对称轴为，
故当时，单调递减，当时，单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
又，故的最大值为9；
（2）因为是开口向上的抛物线，，
对称轴为，
①当，即时，
，解得：，满足要求，
②当，即时，
，解得：,满足要求，
综上：或.
17. 已知关于x的不等式．
（1）当时，不等式恒成立，求实数a取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式．
解：（1）不等式可化为，
当时，，
所以不等式化为，又因为，所以，
所以实数a的取值范围是；
（2）不等式可化为，
因为，所以不等式对应方程的根为1和，
当时，，
所以时，不等式为，解得；
当时，，解不等式得；
当时，，解不等式得；
综上，时，解集为；
时，解集为；
时，解集为．
18. 经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足．
（1）试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．
解：（1）由题意，得
（2）①当时，因为，当且仅当，
即时取等号.
所以当t＝10时，有最小值12100；
当t＝1时，有最大值20200；
②当时，∵在[25，30]上递减，
∴当t＝30时，有最小值12400
∵12100＜12400，∴当t＝10时，
该商品的日销售金额取得最小值为12100，最大值为20200．
19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
（1）请你应用题设结论，求函数图象的对称中心；
（2）用定义证明在区间上的单调性；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围．
解：（1）设函数图象的对称中心为，
则，
即，
即，
，
整理得，
于是，
解得，
所以的对称中心为；
（2）任取，且，
则，
因为且，
所以，
即，
所以在0,+∞上单调递增；
（3）由题意得：的值域是值域的子集，
由（2）知上单调递增，
故的值域为，
于是原问题转化为在上的值域，
因为对称轴为，在对称轴处取得最小值，
①当，即时，在上单调递增，
同时的图象恒过对称中心，
可知在上也单调递增，
故在上单调递增，
又，
故，
所以，
所以，解得，
又，故此时；
②当，即时，
在上单调递减，上单调递增，
又过对称中心，
故在上单调递增，上单调递减，
故此时
欲使，
只需，且，
解得且，
解不等式得：，又，
故此时；
③当，即时，
在上单调递减，在上也单调递减，
由对称性知在上单调递减，
于是，
因为，
故，解得，
又，故此时，
综上，实数m的取值范围是.