2022-2023学年河南省商丘名校高二下学期期末联考数学试题（含解析）

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这是一份2022-2023学年河南省商丘名校高二下学期期末联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x0A. −1,4B. 0,1C. −1,3D. −1,2
2.函数fx=x4−2x的图象在点1,f1处的切线方程为
( )
A. y=2x+3B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=−2x−1
3.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选三颗进行观测，则玉衡和天权都未被选中的概率为( )
A. 1021B. 1121C. 57D. 27
4.“lgx>lgy”是“ x> y”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.设随机变量X∼N0,1,fx=PX≥x，其中x>0，则f−x+fx的值为
( )
A. 0B. 12C. 1D. 0,1的不确定值
6.现有完全相同的甲，乙两个箱子(如图)，其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是( )
A. 1115B. 1130C. 115D. 215
7.代数式(x−1)5x−2的展开式中x4的系数为
( )
A. 20B. −20C. 10D. −10
8.已知a=e3−a,1+lnb=e2−lnba,b∈R，则ab=( )
A. 2B. 3C. e2D. e3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
若y与x线性相关，其线性回归方程为y=bx+7.1，则下列说法正确的是
( )
A. 线性回归方程必过3,140B. b=44.3
C. 相关系数r<0D. 6月份的服装销量一定为272.9万件
10.若fx=lnx+12x2−bx在定义域上不单调，则实数b的值可能是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
11.通过随机询问相同数量的不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有16的男大学生“不看”，有13的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为
( )
附：χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
A. 150B. 170C. 192D. 210
12.已知a>0,b>0，且a+b=6，则下列不等式一定成立的是
( )
A. 1+a1+b≤16B. 2a+1+ 2b+3≤3+ 7
C. 2a−b>164D. 1a2+1b2≥29
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.将6本不同的书分成两堆，每堆至少两本，则不同的分堆方法共有种．
14.函数fx=−xlnx−1的最大值为．
15.若命题“函数fx=−x3+mx2−x无极值”为真命题，则实数m的取值范围是．
16.已知函数fx=2ex+x,x≤02x−1,x>0，若x2>x1且fx2=fx1，则x2−x1最小值是．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数fx=3x2−a+1x+2．
(1)当a=4时，求不等式fx>0的解集；
(2)当x>0时，不等式fxx>1x−3x恒成立，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数fx=2x3−ax2+1a∈R在0,+∞内有且只有一个零点．
(1)求a；
(2)求曲线y=fx在点−12,f−12处的切线方程．
19.(本小题12分)
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
并依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否推断该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？
附：χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d，
20.(本小题12分)
已知函数fx=x−1ex．
(1)求函数fx的最小值；
(2)若函数gx=fx−ax有2个极值点，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为23，第二组每道题答对的概率均为12，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章．
(1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为X，请写出X的分布列，并求EX；
(2)若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率．
22.(本小题12分)
已知函数fx=alnx−2x．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若关于x的方程fx+x2+a=xex有两个相异实根，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查并集运算，属于基础题，先化简集合B，再利用集合的并集运算求解．
【解答】
解：由 x2≤1 ，即 x−1x+1≤0 ，解得 −1≤x≤1 ，
所以 B=x−1≤x≤1 ，
所以 A∪B={x−1≤x<4} ．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查求曲线上一点的切线方程(斜率、倾斜角)
根据函数在某点处的切线方程求解步骤，可得答案．
【解答】
解： f′x=4x3−2 ， f′1=2 ， f1=−1 ，易得切线方程为 y=2x−3 ，
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查组合与组合数公式，古典概型及其计算．
根据题意，由古典概型的概率计算公式，即可得到结果．
【解答】
解：玉衡和天权都没有被选中的概率为 p=C53C73=27 ，
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判断，解题时需判断两个命题的真假．
根据充分必要条件的定义判断．
【解答】
解： lgx>lgy ⇒x>y>0⇒ x> y ，充分性成立， x> y⇒x>y≥0 ， y=0 时 lgy 无意义， lgx>lgy 不成立，必要性不成立，因此应是充分不必要条件．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
根据正态分布曲线的对称性，可得 f−x=1−fx ，可得答案．
【解答】
解：由题正态曲线关于直线 x=0 对称，因为 fx=PX≥x ， x>0 ，
根据对称性可得 f(−x)=P(X⩾−x)=P(X⩽x)=1−f(x) ，
即 f−x+fx=1 ，
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查全概率公式，
根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案．
【解答】
解：记事件A表示“球取自甲箱”，事件 A 表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
则 PA=PA=12,PBA=26=13,PBA=25 ，
由全概率公式得 PB=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=12×13+12×25=1130 ．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项式中指定项的系数，属于基础题．
利用 (x−1)5x−2=x(x−1)5−2(x−1)5 ，结合二项展开式的通项分析．
【解答】
解： (x−1)5x−2=x(x−1)5−2(x−1)5 ，
故需要求 (x−1)5 展开式中的 x3 和 x4 的系数，
则含 x4 的项应为： C52x3−12x−2C51x4−11=20x4 ，
所以 x4 系数为 20 ．
故选：A
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数判断函数单调性，属于一般题，根据题意，构造函数 fx=x−e3−x ，由其单调性可得 a=1+lnb ，然后代入计算，即可得到结果．
【解答】
解：由题意可知， 1+lnb=e2−lnb=e3−1+lnb ，
可设 fx=x−e3−x ，则 f′x=1+e3−x>0 ，
即 y=fx 在R上单调递增，
由 a=e3−a⇒fa=a−e3−a=0 ，
由 1+lnb=e3−1+lnb⇒f1+lnb=1+lnb−e3−1+lnb=0 ，
所以 fa=f1+lnb ，
于是有 a=1+lnb ，又 lna=lne3−a=3−a ，
故 lna+lnb=lnab=3−a+a−1=2 ，
所以 ab=e2 ，
故选：C．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查回归直线方程，样本相关系数，用回归直线方程对总体进行估计
对于A，由回归直线过样本中心点判断，对于B，将样本中心点代入回归方程求解，对于C，由b的值分析判断，对于D，将x=6代入回归方程求解．
【解答】
解：对于A，因为x=1+2+3+4+55=3,y=50+96+142+185+2275=140，
所以线性回归方程必过3,140，所以 A正确；
对于B，由线性回归直线必过3,140，所以140=3b+7.1，解得b=44.3，所以 B正确；
对于C，因为b=44.3>0，所以相关系数r>0，所以 C错误；
对于D，当x=6时，y=6×44.3+7.1=272.9，所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以D错误．
故选：AB．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查利用导数由函数的单调性求参，属于中档题．
设ux=x2−bx+1，由题意可知，ux在0,+∞上有两个零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数b的不等式组，由此可解得实数b的取值范围，即可得出合适的选项．
【解答】
解：由f′x=1x+x−b=x2−bx+1xx>0，则可知f′x在0,+∞上有变号零点，
设ux=x2−bx+1，则函数ux有两个零点，设其零点分别为x1、x2，则x1x2>0，
又因为x1、x2至少一个为正数，从而可知x1、x2都为正数，且x1≠x2，
因为u0=1>0，则只要b2>0Δ=b2−4>0，解得b>2，
故选：CD．
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查独立性检验，属于一般题，设男女大学生各有m人，依题意得到列联表，计算出卡方，即可得到不等式，解得2m的取值范围，即可判断．
【解答】
解：设男女大学生各有mm>0人，根据题意画出2×2列联表，如下图：
所以χ2=2m56m×13m−16m×23m232m×12m×m×m=2m27，
因为有99%的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以2m27>6.635，解得2m>179.145，结合选项，可知CD符合题意．
故选：CD
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围，利用指数函数的图象与性质比较大小
对于AB，利用基本不等式结合a+b=6分析判断即可，对于C，由指数函数的单调性分析判断，对于D，先利用基本不等式求出1a+1b的最小值，再利用基本不等式可求得结果．
【解答】
解：对于A，因为a>0,b>0，且a+b=6，
所以1+a1+b=1+a+b+ab=7+ab
≤7+a+b22=16，
当且仅当a=b=3时等号成立，故 A正确；
对于B，( 2a+1+ 2b+3)22≤2a+1+2b+3=16，故 2a+1+ 2b+3≤4 2，
当且仅当a=72,b=52时等号成立，故 B不正确；
对于C，a−b=2a−6>−6，所以2a−b>2−6=164，故 C正确；
对于D，因为1a+1b=16(a+b)(1a+1b)
=16ba+ab+2≥16×2 ba×ab+2=23，
当且仅当a=b=3时取等号，所以1a2+1b2≥121a+1b2≥12×232=29，
当且仅当a=b=3时取等号．故 D正确．
故选：ACD．
13.【答案】25
【解析】【分析】
本题主要考查排列组合相关知识，属于基础题．
由题意可得，有两种分组方法，然后分别计算，即可得到结果．
【解答】
解：由题知，共有2,4,3,3两种分法：
2,4这种分法数为C64C22=15种；
3,3这种分法数为C63C332!=10种，所以，共有25种．
故答案为：25．
14.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数的最值(不含参)
根据题意，求导得到其极大值，即最大值，即可得到结果．
【解答】
解：易知 f′x=−lnx,∴x∈0,1 时， f′x>0;x∈1,+∞ 时， f′x<0 ，
∴fx 在 0,1 单增， 1,+∞ 单减，则 fx 在 x=1 取得极大值，即最大值，
∴f(x)max=f1=1 ．
故答案为： 1
15.【答案】− 3, 3
【解析】【分析】
本题主要考查导数的综合应用，属于中档题．
因为 f′x=−3x2+2mx−1 ， fx 无极值，则可得 f′x≤0 恒成立，即可求解．
【解答】
解： f′x=−3x2+2mx−1 ，因为函数 fx=−x3+mx2−x 无极值，
所以方程 f′x=−3x2+2mx−1≤0 恒成立，
所以只需 Δ=4m2−12≤0 ，解得 − 3≤m≤ 3 ，即 m∈− 3, 3 ．
故答案为： − 3, 3．
16.【答案】2+ln22
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数的最值(不含参)，求曲线上一点的切线方程(斜率、倾斜角)
根据题意，求导得到与 y=2ex+x 相切并且与 y=2x−1 平行的直线方程，然后代入计算，即可得到结果．
【解答】
解：

由 y=2ex+x 得 y′=2ex+1 ，令 2ex+1=2 得 x=−ln2 ，得切点坐标 ln12,1+ln12 ，
则可得切线方程为 y−1+ln12=2x−ln12 ，即 y=2x+1−ln12 ，
再令 2x−1=1+ln12 ，得 x=1+12ln12 ，于是符合题意的 x2=1+12ln12,x1=ln12 ，因此： x2−x1=1−12ln12=2+ln22 ．
故答案为： 2+ln22 ．
17.【答案】解：(1)当 a=4 时，得 3x2−5x+2>0,3x−2x−1>0 ，
解得 x>1 或 x<23 ，
所以此不等式的解集为 −∞,23∪1,+∞ ．
(2)当 x>0 时，不等式 fxx>1x−3x 恒成立，
可得 a+1<6x+1x 对 ∀x>0 都成立，
由于 6x+1x≥2 6 ，当且仅当 6x=1x 即 x= 66 时等号成立，
所以 a+1<2 6 ，即 a<2 6−1 ，
故实数 a 的取值范围是 −∞,2 6−1 ．

【解析】本题考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的运用及转化思想，属于中档题．
(1)由 a=4 得到 3x−2x−1>0 求解；
(2)将 x>0 时，不等式 fxx>1x−3x 恒成立，转化为 a+1<6x+1x 对 ∀x>0 都成立，即可求解．
18.【答案】解：(1)
由题得 f′x=6x2−2ax ，
当 a≤0 时，当 x∈0,+∞ 时， f′x>0 ，
函数 fx 在区间 0,+∞ 内单调递增，且 fx>f0=1 ，
所以函数 fx 在 0,+∞ 内无零点；
当 a>0 时，函数f(x)在(−∞,0)内单调递增，当 x∈0,a3 时， f′x<0 ，当 x∈a3,+∞ 时， f′x>0 ，
则 fx 在区间 0,a3 内单调递减，在区间 a3,+∞ 内单调递增．
故只需 fa3=0 ，解得 a=3 ．
(2)
由(1)可知 fx=2x3−3x2+1 ， f′x=6x2−6x ，
由 f−12=0 ，所以切点为 −12,0 ，又 f′−12=92 ，
故切线方程为 y−0=92x−−12 ，
化简得： 18x−4y+9=0 ．

【解析】本题考查利用导数研究函数的零点和求曲线上一点的切线方程，属于中档题．
(1)求函数的导数，根据参数的取值范围，分类讨论函数的单调性，由题意，建立方程，可得答案；
(2)根据求函数在某点处的切线方程的步骤，可得答案．
19.【答案】解：(1)
根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且 SO2 浓度不超过150的天数为 32+18+6+8=64 ，因此该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且 SO2 浓度不超过150的概率的估计值为 64100=0.64 ．
(2)
根据抽查数据，可得 2×2 列联表：
零假设为 H0 ：该市一天空气中PM2.5浓度与 SO2 浓度无关．由列联表中的数据得： χ2=100×(64×10−16×10)280×20×74×26≈7.484 ．
由于 7.484>6.635=χ0.01 ，所以依据小概率值 α=0.01 的独立性检验，我们推断 H0 不成立，即认为该市一天空气中PM2.5浓度与 SO2 浓度有关．

【解析】本题考查用频率估计概率，独立性检验，属于中档题．
(1)根据题意，由古典概型概率公式，代入计算，即可得到结果；
(2)根据题意，得到 2×2 列联表，通过计算 χ2 ，即可判断．
20.【答案】解：(1)因为 fx=x−1ex ，且该函数的定义域为 R ，所以 f′x=xex ，
当 x<0 时， f′x<0 ， fx 单调递减，
当 x>0 时， f′x>0 ， fx 单调递增，
所以当 x=0 时，函数 fx 取得最小值 f0=−1 ．
(2)函数 gx=x−1ex−ax 的定义域为 R ， g′x=xex−a ，
设 hx=xex ，则 h′x=x+1ex ，由 h′x=x+1ex=0 ，得 x=−1 ，列表如下：
当 x<0 时， hx=xex<0 ；当 x>0 时， hx=xex>0 ．
作出函数 hx 与 y=a 的大致图象，如图，

当 −1e设这两个交点的横坐标分别为 x1 、 x2 ，且 x1数形结合可知：当 xx2 时， g′x=xex−a>0 ，
当 x1所以 a 的取值范围是 −1e,0 ．

【解析】本题考查了利用导数判断函数的最值和极值，属于难题．
(1)利用导数分析函数 fx 的单调性，即可求得函数 fx 的最小值；
(2)求得 g′x=xex−a ，令 hx=xex ，分析可知直线 y=a 与 y=hx 的图象有 2 个交点，利用导数分析函数 hx 的单调性与极值，数形结合可得出实数 a 的取值范围，再结合极值点的定义验证即可．
21.【答案】解：(1)由题意，X可取0，1，2，3，4．
PX=0=1−23×1−23=19 ，
PX=1=C21×23×1−23=49 ，
PX=2=23×23×1−12×1−12=19 ，
PX=3=23×23×C21×12×1−12=29 ，
PX=4=23×23×12×12=19，
则X的分布列为：
EX=0×19+1×49+2×19+3×29+4×19=169．
(2)每一轮获得纪念章的概率为P=PX=3+PX=4=29+19=13 ，
设4轮答题获得纪念章的数量为Y，则Y∼B4,13，
PY=2=C42132234−2=827 ，
即甲同学恰好获得2枚纪念章的概率是827．

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，二项分布，属于中档题．
(1)先确定X的可能取值，求取各值的概率，由此可得分布列，利用期望公式求EX ；
(2)先求甲同学每一轮获得纪念章的概率，进而可得 Y∼B4,13 ，结合独立重复试验概率公式求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率．
22.【答案】解：(1)
fx 定义域为 0,+∞ ，
由 fx=alnx−2x ，得 f′x=ax−2=−2x+ax ，
①当 a≤0 时，恒有 f′x<0 ，得 fx 在 0,+∞ 上单调递减；
②当 a>0 时，由 f′x=0 ，得 x=a2 ，在 0,a2 上，有 f′x>0,fx 单调递增；
在 a2,+∞ 上，有 f′x<0,fx 单调递减．
综上可得：当 a≤0 时， fx 在 0,+∞ 上单调递减；当 a>0 时，在 0,a2 上单调递增，在 a2,+∞ 上单调递减；
(2)
方程 fx+x2+a=xex 可化为 xex=ax+alnx ，
即 ex+lnx=ax+lnx ．
令 tx=x+lnx ，易知函数 tx 在 0,+∞ 上单调递增，
结合题意，关于 t 的方程 et=at* 有两个不等的实根．
又因为 t=0 不是方程 * 的实根，所以方程 * 可化为 ett=a ．
令 gt=ett ，则 g′t=ett−1t2 ．
易得函数 gt 在 −∞,0 和 0,1 上单调递减，在 1,+∞ 上单调递增．
数形结合可知，实数 a 的取值范围是 e,+∞ ．

【解析】此题考查导数的综合应用，考查利用导数求解函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，属于较难题．
(1)先求函数的定义域，再对函数求导，然后分 a≤0 ， a>0 两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
(2)方程 fx+x2+a=xex 要化为 ex+lnx=ax+lnx ，令 tx=x+lnx ，则可得关于 t 的方程 et=at* 有两个不等的实根，即 ett=a 有两个不等的实根，令 gt=ett ，利用导数求出其单调区间，画出图象结合图象求解即可．
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y(万件)
50
96
142
185
227
α
0.10
0.010
0.001
χα
2.706
6.635
10.828
PM2.5浓度
SO2浓度
0,50
50,150
150,475
0,35
32
18
4
35,75
6
8
12
75,115
3
7
10
PM2.5浓度
SO2浓度
0,150
150,475
0,75
75,115
α
0.050
0.010
0.001
χα
3.841
6.635
10.828
看
不看
合计
男
56m
16m
m
女
23m
13m
m
合计
32m
12m
2m
PM2.5浓度
SO2 浓度
0,150
150,475
0,75
64
16
75,115
10
10
x
−∞,−1
−1
−1,+∞
h′x
−
0
+
hx
减
极小值 −1e
增
X
0
1
2
3
4
P
19
49
19
29
19

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