内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第一中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第一中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在等差数列中，，，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
2．曲线在点处的切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．0B．1C．3D．
4．已知是以为公比的等比数列，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列均为等差数列，， ，则（ ）
A．9B．18C．16D．27
6．若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满是，，则的最小值为（ ）
A．B．C．16D．18
8．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列为等差数列B．
C．D．当且仅当或时，取得最大值
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
11．设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则使得成立的的最大值为20
B．若，则
C．若，且为数列的唯一最大项，则
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值 .
13．设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为 .
14．已知数列的前项和为，，，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和，数列满足 ，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16．已过抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2．
(1)求该抛物线的方程；
(2)在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短；
(3)过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程．
17．已知正项数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．已知椭圆的下焦点为，其离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值.
19．已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.
(1)若数列具有性质P，且，，求的值；
(2)若，求证：数列具有性质P；
(3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，
，
所以.
故选C.
2．【答案】C
【详解】由，得到在处切线的斜率为，
故在点处的切线方程为：，整理得：
故选C.
3．【答案】C
【详解】因为，所以，
故选C.
4．【答案】A
【详解】因为数列是以为公比的等比数列，且，，
则，解得.
故选A.
5．【答案】A
【详解】因为， ，
所以，
所以，
故选A.
6．【答案】B
【详解】由题意可得：，所以，
则，所以的渐近线方程为.
故选B.
7．【答案】C
【详解】
，
数列是以10为首项，1为公差的等差数列
，
当且仅当，即时，取最小值16.
故选C.
8．【答案】D
【详解】等差数列中，，解得，，解得，
所以等差数列的公差，，
前项和，
对于选项A，因为，又为常数，
因此数列是等比数列，所以选项A错误，
对于选项B，，所以选项B错误，
对于选项C，因为，显然数列是等差数列，
因此，所以选项C错误，
对于选项D，因为等差数列单调递减，前项均为正数，第项为，从第项起都为负数，
因此当或时，取得最大值，所以选项D正确，
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于选项A： ，所以选项A错误.
对于选项B：，所以选项B正确.
对于选项C：，所以选项C正确.
对于选项D：，所以选项D正确.
故选BCD.
10．【答案】ABC
【详解】对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；
当且时，，
所以，当且时，，
当且时，，
当且时，.
由题意可知单调递减，
所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有，
所以，
由不等式的性质可得，
从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.
故选ABC.
11．【答案】ABC
【详解】对于A，，，，则，
由，得，则，，
数列为单调递减数列，因此数列前10项都大于1，从第11项起都小于1，
当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，
又，，，
则使得成立的的最大值为20，A正确；
对于D，由，得，则，D错误；
对于B，，B正确；
对于C，，且是数列的唯一最大项，
则，，，
由，得，即，解得，C正确.
故选ABC.
12．【答案】21
【详解】由，得，
则，又，则切线方程为，
即
，得
.
13．【答案】
【详解】由题设及图知，且，，
所以，则，
所以，即，可得（负值舍）.
14．【答案】
【详解】根据题意，可得，，…，，
所以
.
15．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）对于 ，通过 与 的关系解决，对于 ，转换为等比数列解决；
（2）运用错位相减法求和.
【详解】（1）当时，；
当时，，
， ，
由题可得 ，得 ，
是首项为，公比为2的等比数列，
；
（2），①，②，
①-②得：，
.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故，
所以．
（2）设与平行的直线：，
联立，得，
由，得，∴切线：，
此时切线到直线的距离最短，
由，解得，即．
（3）设，，则，
由，得，
若，则A、B关于x轴对称，为AB中点不符合题意；
若，则，
所以直线的方程为，即．
17．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用可得数列是等差数列，即可求出通项公式；
（2）由裂项相消法可求出.
【详解】(1)由，
又有，，两式相减得，
因为，所以，
又，，解得，满足，
因此数列是等差数列，首项为，公差为，
所以，
(2)
所以，
.
18．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，，
解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，
，则，
由，得，且，
则，
易知直线与的斜率均存在，
则直线的方程为①，
直线的方程为②，
联立①②消去得，
，
故点的纵坐标为定值.
19．【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)且.
【详解】（1）由题意可知成等比数列，
则，
即，，解得；
（2）证明：，
，
，，
数列是以6为首项，以2为公比的等比数列故数列具有性质；
（3）设数列的前项和为，则，
当时，；
当时，；
经检验，.
由，解得，
则，
由数列具有性质，则为等比数列，
，故数列为以2为首项以2为公比的等比数列，
则，于是，
即,由.
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，则，
，化简可得，
①若为偶数，则，即；
②若为奇数，则，即；
综上可得，的取值范围是且.