辽宁省沈阳市辽宁实验中学北校2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知数列的前n项和为，则（ ）
A. 81B. 162C. 243D. 486
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用列式计算即得.
【详解】数列的前n项和为，所以.
故选：B
2. 为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（ ）
A. -2B. -1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，求得，进而代入回归方程可求得，从而得出，联立，即可求得本题答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，有，解得，
所以，，
由，得，
所以，，则.
故选：C.
3. 在数列中，，，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】逐项计算，再根据数列的周期性求解即可.
【详解】由题意，，，，，
故数列满足，故.
故选：A
4. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 324B. 420C. 480D. 768
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列前n项和的性质计算即可.
【详解】因为为等比数列，且，显然的公比不为，
所以也成等比数列.
由，解得.
故选：C.
5. 下列命题正确的是（ ）
A. 数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B 若随机变量满足，则
C. 已知随机变量，若，则
D. 若随机变量，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据百分位数、随机变量的方差的性质、二项分布的数学期望的性质、正态分布的对称性，逐项判断即可得结论.
【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，因，则，故C错误；
对于选项D，因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：，
则，所以，故D正确.
故选：D.
6. 已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A. 1678B. 1666C. 1472D. 1460
【答案】B
【解析】
【分析】求出新数列的公差，确定新数列的项数，利用前项和公式求解即可.
【详解】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差是4和6的最小公倍数12，
则新数列的公差为12，首项为2，
其通项公式为，
令，得，
故，
则，
故选：B.
7. （1）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，
符合二项分布，可用二项分布相关公式求解.
【详解】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，故
同理可得：
即
故选：A
【点睛】本题考查了二项分布及其期望方差的计算，考查了转化思想，属于中档题.
8. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据递推关系可证明为等差数列，即可求解.
【详解】，
所以，，所以为等差数列，且公差为1，首项为1，
故，即，
故选：B
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若从甲盒中一次性取出2个球，记表示取出白球的个数，则
B. 若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
C. 若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为
D. 若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记：从乙盒中取出的1球为白球，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，选一个白球，一个黑球，利用古典概型求解；B选项，分从甲盒取出的是白球和从乙盒取出的白球，利用古典概型求解；C选项，设抽到白球个数为，则，利用二项分布求概率公式求解；D选项，分从甲盒中取出1球为黑球和白球两种情况的概率，相加即可求解.
详解】A选项，由题意得，故错误；
B选项，由题意得取出1个白球的概率为，故正确；
C选项，若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，设抽到白球个数为，则，
则恰好得到2个白球的概率为，故正确；
D选项，从甲盒中取出白球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为，
从甲盒中取出黑球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为，
故，故正确.
故选：BCD
10. 设等差数列的公差为d，前n项和．若，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是递增数列
B.
C.
D. 中最大的是
【答案】CD
【解析】
【分析】利用数列的性质逐个选项分析即可.
【详解】由题意得，，
化简得，，即，，故，
由得，，代入得，，
解得，故C正确，
则，故数列是递减数列，故A错误，
而，故B错误，
易知数列前6项为正，从开始，数列所有项为负，
故中最大的值是，故D正确.
故选：CD
11. 已知数列：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（ ）
A.
B.
C. 存在正整数m，使得，，成等比数列
D. 有且仅有3个不同的正整数，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意将数列分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推，第n组：.则每组数构成首项为1，公差为的等差数列，且项数为n.结合等差数列的通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】将数列分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推，
第n组：，
则每组数构成首项为1，公差为的等差数列，且项数为n.
A：由，知为数列的第六组数中的第5项，故A正确；
B：由，知为数列的第n组数中的第n项，
此时该组数据是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，故B正确；
C：为数列中的连续3项：
①若为数列中第组的连续3项，当成等比数列时，
为常数列，不符合题意，所以成等差数列；
若为数列中第组和第组的3项，
②当在第组，在第组，此时，不成等差和等比数列；
③当在第组，在第组，此时，不成等差和等比数列，
综上，不成等比数列，故C错误；
D：由选项C的分析知，当为情况①中的3项，设为第组的项，
则，解得，不符合题意；
当为情况②中的3项，则在第组，在第组，
此时，，所以，
解得，又，所以k无解，不符合题意；
当为情况③中的3项，则在第组，在第组时，，
得，解得，符合题意.
即分别为第十组的第9、第10项，即，
有，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律，进而分组.本题将数列分组后，每组数构成首项为1，公差为的等差数列，且项数为n，利用等差数列的通项公式计算是解题的关键.
12. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 已知随机变量服从正态分布，若，则
B. 已知随机变量的分布列为，则
C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则
D. 已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算并判断；对于B，利用分布列的性质计算并判断；对于C，利用二项分布的期望、方差公式计算关判断；
对于D，由给定条件求出成员A甲病、乙病都患的概率，再利用条件概率公式计算并判断作答.
【详解】对于A，因服从正态分布，且，
由正态分布的性质知，，则，A正确；
对于B，依题意，由分布列的性质知，而，解得，B错误；
对于C，显然，则有，解得，C正确；
对于D，记事件M=“A患甲病”，事件N=“A患乙病”，则，且，而，
于是有，又，从而得，
所以A在患甲病的条件下，患乙病的概率为，D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知等差数列的前n项和为，若，则_______.
【答案】28
【解析】
【分析】借助等差数列的性质及等差数列前n项和公式计算即可得.
【详解】.
故答案为：28.
14. 下列说法中正确的有______（填正确说法的序号）．
①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；
②已知随机变量，且，则；
③若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
④若事件A，B满足，，，则有．
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①，利用方差的性质求解判断，对于②，根据正态分布的性质计算，
对于③，根据相关系数的性质判断，对于④，利用独立事件和条件概率公式求解判断.
【详解】由于，所以数据，，…，的方差为16，
故标准差为4，因此①正确；
根据正态分布，，故，即，
故.3，因此②正确；
线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故③错误；
由于等价于“事件A与事件B相互独立，即，
故必有，因此④正确.
故答案为：①②④
15. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为______.
（附：若，则，，）
【答案】0.977
【解析】
【分析】利用二项分布的期望和方差的公式以及正态分布的原则求解即可.
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面朝上次数为,则,
故， ，
由已知得，且,,
因为，
所以,解得，
所以,
故答案为：0.977.
16. 等比数列的首项为1，前项和为，且，那么满足的的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用等比数列的求和公式求出公比，然后代入求解的范围即可.
【详解】设等比数列的公比为，
当时，，不符合条件，故，
则，解得.
所以由得，
即，由于
所以，
即满足的的最大值是.
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17. 已知数列满足，且成等比数列，
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.
【答案】（1）
（2）最小值为,
【解析】
【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式；
（2）求出，求出最小值及的值.
【小问1详解】
由知为等差数列，设的公差为，则，
成等比数列，所以，即，
解得，又，所以的通项公式为；
【小问2详解】
由(1)得，
所以当时，取得最小值，最小值为
18. 某地区响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放．环保部门收集到近5年内新增碳排放数量，如下表所示，其中x为年份代号，y（单位：万吨）代表新增碳排放量．
（1）请计算并用相关系数的数值说明与间具有较强的线性相关性（若，则线性相关程度较高）；
（2）求关于的线性回归方程，并据此估计该地区年的新增碳排放．
参考数据：，，，，，，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，．
【答案】（1），线性相关程度较高
（2），估计该地区年的新增碳排放万吨
【解析】
【分析】（1）通过计算相关系数来确定正确答案.
（2）根据回归方程的求法求得回归方程，并由此作出预测.
【小问1详解】
依题意，
，
所以，所以线性相关程度较高.
【小问2详解】
，
，
所以，
当时，万吨.
19. 已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出的通项公式，可求得，再由与的关系求出；
（2）由通项公式，知，分和讨论，并利用等差数列前n项和公式求解.
【小问1详解】
由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
【小问2详解】
由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
20. 为了开展“成功源自习惯，习惯来自日常”主题班会活动，引导学生养成良好的行为习惯，提高学习积极性和主动性，在全校学生中随机调查了名学生的某年度综合评价学习成绩，研究学习成绩是否与行为习惯有关.已知在全部人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为，现按“行为习惯良好”和“行为习惯不够良好”分为两组，再将两组学生的学习成绩分成五组：、、、、，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
（1）若规定学习成绩不低于分为“学习标兵”，请你根据已知条件填写下列列联表，并判断是否有的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”；
（2）现从样本中学习成绩低于分的学生中随机抽取人，记抽到的学生中“行为习惯不够良好”的人数为，求的分布列和期望.
参考公式与数据：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，有
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【小问1详解】
解：已知在全部人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为，
则名学生中，行为习惯良好的有人，行为习惯不够良好的有人.
由频率分布直方图可知，行为习惯良好组中不低于分的学生有人，
行为习惯不够良好组中不低于分的学生有人
则列联表为：
，，
因为，所以有的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”.
【小问2详解】
解：行为习惯良好组中低于分的学生有人，
行为习惯不够良好组中低于分的学生有人，则的可能值为、、，
，，.
的分布列为：
期望.
21. 2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．
（1）已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X．
（i）求；
（ii）求使得取最大值时的整数；
（2）若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）该同学选择单选A或单选C的得分期望最大，最大值为分
【解析】
【分析】（1）（i）易知服从二项分布，据此计算；（ii）令，结合二项分布的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，再由为整数确定取值；
（2）算出单选、双选和三选条件下的数学期望，比较大小即可.
【小问1详解】
（i）因为，所以．
（ii）因为．
依题意，即，
解得，
又为整数，所以，即时取最大值.
【小问2详解】
由题知，选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选．
正确答案是两选项的可能情况为，每种情况出现的概率均为．
正确答案是三选项的可能情况为，每种情况出现的概率为．
若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：
（分），
（分），
若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：
（分），
（分）．
若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：
（分）．
经比较，该同学选择单选A或单选C的得分期望最大，最大值为分.
【点睛】方法点睛：根据正确答案的所有可能结果，对答题情况进行分类讨论，计算每种答题情况的得分期望值，选择最优方案.
22. 已知数列为等差数列，公差为，前项和为.
（1）若，求的值；
（2）若首项中恰有6项在区间内，求的范围；
（3）若首项，公差，集合，是否存在一个新数列，满足①此新数列不是常数列；②此新数列中任意一项；③此新数列从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.(注:数叫做数和数的调和平均数).
【答案】（1）9900
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由等差数列前n项和公式可得答案；
（2）由题可得为递增等差数列，设在中的6项为，则，据此可得答案；
（3）由题可得，.由所给信息可得，可得若存在，则为无穷数列，且为等差数列，后讨论两种情况下的存在性即可.
【小问1详解】
因为，，又因为，
所以；
【小问2详解】
由题可得为递增等差数列，设在中的6项为，则.
若，则，得不存在.
若，则，则，解得，
因，则，得.
【小问3详解】
由题可得，.
假设存在，因从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数，
则为无穷数列，又由③，当，
，
得为等差数列，又，则.
若，其中，则此时为常数列，得是常数列.
这与不是常数列矛盾，则时，不存在这样的数列.
若，，其中.
则.
若，可得，又，则.
则，这与矛盾，
故时，不存在这样数列；
若，可得，又，则.
则，这与矛盾，
故时，不存在这样的数列.
综上，不存在这样的数列.
【点睛】关键点点睛：本题涉及等差数列与数列新定义，难度较大.
（1）问较为基础；（2）问关键在于由题目条件找到关于与d的不等式；（3）问首先由题目定义确定为无穷数列及为等差数列，再结合不是常数列与导出矛盾·.3
4
6
7
2
2.5
4.5
7
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号
1
2
3
4
5
新增碳排放万吨
6.1
5.2
4.9
4
3.8
行为习惯良好
行为习惯不够良好
总计
学习标兵
非学习标兵
总计
行为习惯良好
行为习惯不够良好
总计
学习标兵
非学习标兵
总计