云南省保山市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题（解析版）

这是一份云南省保山市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题（解析版），共14页。
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，
故选：C．
2. 已知集合，若中有3个元素，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，要使中有3个元素，
只需，所以，
故选：B．
3. 已知复数对应的向量为，向量，则向量在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，由投影向量的定义知，向量在上的投影向量是，
所以坐标为，
故选：A．
4. 已知正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正方体内切球的直径是正方体的棱长，所以，即，
则球的体积，
故选：D．
5. 设等比数列的前项的和为，若，则的近似值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】C
【解析】由，得，
则.
故选：C．
6. 已知，比较三个数的大小，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
所以在上单调递增，故时，恒成立，即，
所以有，故；
设，则，
所以在上单调递减，故时，恒成立，即，
所以有，，得，
综上：，
故选：A．
7. 函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由是奇函数，
得①，
由是偶函数，
得②
联立①②得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值是，
故选：B．
8. 已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，，与轴的交点为，．
由且，得①，
又，所以，故②，
联立①②消去得：，又，
所以，
因，所以有，
所以，故，
所以，解得离心率，
故选：C．
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若随机变量，则方差
B. 在的展开式中的系数是80
C. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D. 若随机变量的分布列为，则
【答案】BD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，在的展开式中，，
当时，，此时的系数，故B正确；
对于C，样本点与的残差相等，
则有得，故C错误；
对于D，，得，故D正确，
故选：BD．
10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 角A的大小是
B. 若，则的形状是正三角形
C. 若，则的面积是
D. 若三角形是锐角三角形，的取值范围是
【答案】BCD
【解析】关于A，在中，由及正弦定理，得，又，于是，
而，即有，则，所以，故A错误；
对于B，由题意知，则，又因，得，
则，所以为正三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理，，代入得，，
因，则有，即得，
故的面积为，故C正确；
对于D，由正弦定理，可得，因，
代入化简得：，
因三角形是锐角三角形，可得，，
故的取值范围是，故D正确.
故选：BCD．
11. 平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点.动点满足，记点的轨迹为,则下列命题正确的是（ ）
A. 点的轨迹的方程是
B. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是
C. 直线与点的轨迹相离
D. 已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4
【答案】ACD
【解析】对于选项A：设点，
因为，整理可得，故A正确；
对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是，
且，可知点在圆内，
过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点，
根据垂径定理得弦最小值是，故B错误；
对于选项C：圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故C正确；
对于选项D：因为四边形面积，
由数形分析可知：当时，取到最小值，
所以四边形面积取最小值，故D正确；
故选：ACD．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题类上作答无效．
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 记为不超过的最大整数，则__________．
【答案】1
【解析】由题意知：，
故原式．故答案为：1
13. 某人从保山到昆明，可以乘坐高铁､客车､飞机三种交通工具，出行方式如下表，
某人已迟到，则他乘坐飞机迟到的概率为__________．
【答案】0.25
【解析】由题意知，所求概率．
故答案为：0.25
14. 已知点为坐标原点，点是拋物线的焦点，点分别位于轴的两侧且都在抛物线上，记的面积为的面积为，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因分别位于轴的两侧且都在抛物线上，则可设，，且，如图所示：
由得，
则有的面积，
的面积，所以，当且仅当时，取等号．
故答案为：
四､解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知的前项和是，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前项和．
解：（1）由①得，当时，②，
联立①②得，
所以有，
因为，所以．
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
由（1）知
则，
，
综上：．
16. 如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点．
（1）求证：平面；
（2）已知：条件①平面，条件②，条件③平面平面，从这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱存在且唯一确定，并求二面角的余弦值．
解：（1）连接，如图1，
因为交平面于点平面，
所以平面，所以平面平面．
又因为平面平面且平面平面，
所以，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，
所以，
因为平面平面，所以平面．
（2）由（1）知，点是的中点，所以点是线段的中点．
若选择条件①②：
因为平面四边形的棱长相等，而且对角线，
所以四边形是正方形，
又因平面，所以．
故如图2建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
由，可取，
因为平面，所以平面的法向量为，
所以，
由题知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
若选择条件①③：
因为平面平面平面，
所以，
因平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
如图建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量为，
由，可取，
因为平面，所以平面的法向量为，
所以，
又由题意知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
选择条件②③不合题意，
由条件②，且平面四边形的棱长相等，可得四边形是正方形，
由条件③平面平面，无法确定与，
故几何体不能唯一确定．
17.（1）设，求在点处的切线方程；
（2）若是函数的极值点，求实数的值．
解：（1）由题意得：，
，切点是，
切线斜率，故切线方程是：．
（2）方法一：由条件得，
因为且是的极值点，
所以，即．
当时，，
，
，
当时，，所以在上恒成立，即在上单调递增，
如图，由与的图象可知，
存在，使得当，
即存在，使在上单调递减，
所以是的极小值点．
综上，实数的值为1．
方法二：，因为是的极值点，
所以，，即．
当时，，
令，则，令，
当时，，所以恒成立．
，当时，，故，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，所以，所以，
，
对任意，故在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
满足是极值点，
综上，实数的值为1．
18. 高黎贡山国家级自然保护区位于云南省保山市，被誉为“世界自然博物馆”及“动植物物种基因库”．经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加．已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）．为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果．重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量．设该区域中种的数目为，种的数目为均大于100，每一次试验均相互独立．
（1）求的分布列；
（2）记随机变量,定义，且．证明：．
解：（1）依题意，
服从超几何分布，故的分布列为，
（2）先证一般结论：，，．
因为，设，
则，
，
从而，，设，则，
所以，
，
故．
19. 设点曲线上，在曲线上，且满足，
（1）求的方程；
（2）点在上，过点的直线与的渐近线交于两点，且是的中点，求（为坐标原点）的面积；
（3）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线．
解：（1）由已知得，
将代入得方程为；
（2）显然直线不与轴垂直，故可设其方程为，

双曲线的渐近线为，
联立，解得：，所以，
联立，解得：，所以，
因为是的中点，
所心点的横､纵坐标为，
点在双曲线上，即，得，
因，所以，
显然直线与轴的交点为，
所以，
将代入可得．
方法二：双曲线的渐近线为，
因点在两条渐近线上，故可设，
因为是的中点，则点，
又点在上，将点代入方程，得到，
因，
所以的面积．
（3）设方程上任意一点，
则
，
当时，，
则，
当时，，
则．
根据双曲线得定义得，方程的图象是焦点在直线上的双曲线．交通工具
高铁
客车
飞机
乘坐概率
迟到概率
0.1
0.3
03
0
1
99
100