云南省保山市腾冲市2022-2023学年高二下学期期中教育教学质量监测数学试题（解析版）

腾冲市2023年春季学期期中教育教学质量监测

高二年级数学试题卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.

【详解】由于直线斜率为，倾斜角范围是

所以倾斜角为.

故选：D

2. 已知两个向量，，且，则的值为（    ）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量的平行，列出比例式，求得，即得答案.

【详解】由题意，，且，

故，

故，

故选：B

3. 设是一个离散型随机变量，其分布列为

则等于（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用分布列的性质求得正确答案.

【详解】依题意，

即，解得，

经检验可知，符合题意.

故选：C

4. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，结合图像，由函数极值的定义即可得到结果.

【详解】依题意，记函数的图像与轴的交点横坐标依次为

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以为极小值点，为极大值点，为极小值点

故极大值点有1个

故选:A

5. 井字棋，英文名叫Tic-Tac-Toe，是一种在格子上进行连珠游戏，和五子棋类似，由于棋盘一般不画边框，格线排成井字故得名．将空白棋盘上的其中3个格子随机填入○，恰好使得个○连成一条直线的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据组合数的计算以及古典概型概率计算公式求得正确答案.

【详解】基本事件有种，

连成一条直线：横的有条，竖的有条，交叉的（对角线）有条，共条，

所以恰好使得个○连成一条直线的概率为.

故选：A

6. 在数列中，，，则（    ）

A.  B.  C. 5 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据递推关系求得是周期数列，由此求得.

【详解】依题意，，，

，，……，

所以数列是周期为的周期数列，所以.

故选：C

7. 已知定义在上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及导数等知识确定正确答案.

【详解】的定义域是，所以是奇函数.

当时，，

所以在上单调递增.，

由于，

所以，即.

故选：B

8. “五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（    ）

A. 720种 B. 360种 C. 320种 D. 288种

【答案】D

【解析】

【分析】根据四人是否有人选择“火山热海”线路进行分类讨论，由此求得正确答案.

【详解】若四人中，没有人选择“火山热海”线路，

则方法数有种.

若四人中，恰有人选择“火山热海”线路，

则方法数有种.

所以他们报名的情况总共有种.

故选：D

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 以下四个式子分别是求相应函数在其定义域内的导函数，其中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据导数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，A选项错误.

，B选项正确.

，C选项正确.

对于函数，

当时，；当时，，

所以，D选项正确.

故答案为：BCD

10. 的三个顶点到直线l的距离分别为，则该三角形的重心到直线的距离可能为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用重心坐标、点到直线的距离公式求得三角形的重心到直线的距离的范围，由此确定正确答案.

【详解】以平面内一点为原点，建立平面直角坐标系，

设，则，

设直线方程为（不同时为），

不妨设，

则

，

则当同号时，取得最大值为，

当，

或时，

取得最小值为，也即过重心.

所以，所以ABC选项正确，D选项错误.

故选：ABC

11. 2023年3月30日，西南农业科技博览会暨云南一东南亚五金机电博览会在昆明滇池国际会展中心开幕．展览面积6万平米，参展企业1500余家，采购商8万人次．假设该博览会供应的五金机电中，各品牌的市场占有率和优质品率的信息如下表所示．在该会场中任意购买一品类五金机电，用，，分别表示买到的五金机电为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据表格提供数据对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，，所以A选项正确.

B选项，，所以B选项错误.

C选项，，所以C选项正确.

D选项，，所以D选项错误.

故选：AC

12. 公元前年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．利用“黄金分割比”研究双曲线，可得满足：的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E：（，）的一个顶点为A，与A不在y轴同侧的焦点为F，E的一个虚轴端点为为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M为PQ中点．设双曲线E的离心率为e，则下列说法中，正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据“黄金双曲线”的定义计算出“黄金双曲线”的离心率，根据双曲线的性质以及点差法确定正确答案.

【详解】“黄金双曲线”满足，即，

两边除以得，解得（负根舍去），

所以A选项错误，B选项正确.

，所以C选项正确.

设，则，

由，两式相减并化简得，

即，所以D选项正确.

故选：BCD

  【点睛】求双曲线离心率的方法有两种，一种是根据已知条件求得，从而求得双曲线的离心率；一种是求得关于的齐次式，然后转化为，从而求得离心率.有关双曲线中点弦的问题，可考虑利用点差法进行求解.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中的系数为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.

【详解】由题意得的展开式的通项为，

令，

即的系数为，

故答案为：

14. 若圆：与圆：相交于两点，则公共弦的长为________．

【答案】

【解析】

【分析】求得交点的坐标，进而求得公共弦长.

【详解】由解得或，

不妨设，所以.

故答案为：

15. 在一个有穷数列的每相邻两项之间揷入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“TC拓展”．如数列1，2第1次“TC拓展”后得到数列1，3，2；第2次“TC拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c经过第n次“TC拓展”后所得数列的项数记为，则_______；若，使得恒成立，则正整数n的最小值为________

【答案】    ①. 9    ②. 10

【解析】

【分析】第一空，根据“TC拓展”的定义即可求得答案；第二空，由题意求出，构造等比数列，求得，解不等式即可求得答案.

【详解】由题意知原数列由3项，经过第1次“TC拓展”后所得数列的项数为，

经过第2次“TC拓展”后所得数列的项数记为；

数列的每一次“TC拓展”都是在原数列的相邻两项之间增加一项，

设数列a、b、c经过第n次“TC拓展”后所得数列的项数记为，

则经过第次拓展后增加的项数为，即，

故，而，即为首项是4，公比为2的等比数列，

故，即，

由，即，

而随n的增大而增大，且，

故正整数n的最小值为10，

故答案为：9，10

16. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，，则不等式的解集为________．

【答案】．

【解析】

【分析】由时，，可构造函数，判断其单调性，即可求得时，即的解集，再利用函数单调性和奇偶性，结合时，，即，可解得此时解集，综合可得答案.

【详解】由题意知当时，，，

故令，则，

即在上单调递增，且，

故由可解得，

即当时，，则即；

此时的解集为；

当时，，则即，

因为是定义在上的奇函数，

故为上的偶函数，

则在上单调递减，且，

故由可解得，

当时，无意义，

综合可得不等式的解集为，

故答案为：

【点睛】方法点睛：本题是关于函数的奇偶性以及单调性综合型题目，解答时要根据已知时，，根据其结构特征构造函数，并由此判断其单调性，再根据函数奇偶性，结合不等式变形，即可求解.

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 一个口袋中有大小相同且编有不同的号码的8个白球和5个彩球．

（1）若一次取2个球，至少有一个白球的取法有多少种；

（2）若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据“两个都是白球”或“一个白球一个彩球”求得正确答案.

（2）根据“两个白球一个彩球”或“一个白球两个彩球” 求得正确答案.

【小问1详解】

若一次取2个球，至少有一个白球有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个彩球”，

故不同的取法有种．

小问2详解】

若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：“两个白球一个彩球”或“一个白球两个彩球”，

故不同的取法有种．

18. 如图，在长方体中，E、P分别是BC、的中点，M、N分别是AE、的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.

（2）利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【小问1详解】

以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则：，，，，，

∵E，P，M，N分别是BC，，AE，的中点,

∴，，，，

，

取，显然是面的一个法向量，

，∴，

又面，∴面.

【小问2详解】

取，显然是面的一个法向量 ，

设平面的一个法向量为，

则，令，得，，得，

设平面DAE与平面PAE所成的锐二面角为，∴，

∴平面AEF与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．

19. 由于高中数学研究课题需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：

5660  6520  7326  6798  7325  8430  8215  7453  7446  6754

7638  6834  6260  6830  9860  8753  9450  9860  7290  7850

对这20个数据按组距为1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计表（设步数为x）．

（1）求m，n的值；

（2）从A，E两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和期望．

【答案】（1），   

（2）分布列见解析，2700

【解析】

【分析】（1）根据给出的数据即可得出答案；

（2）确定随机变量X的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.

【小问1详解】

根据给出的20个数据可得步数在范围的有10个，

所以，步数在范围的有2个，所以.

【小问2详解】

A，E两个组别共有4个数据：5660，6260，9860，9860．

从中任取两个数据有6种取法，X的可能取值为0，600，3600，4200，

则，，，，

可得X的分布列如表所示：

∴.

20. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率，且________．在①过点；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为1；③长轴长为4；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点．当直线l的倾斜角为时，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据所选条件列方程组，求得，从而求得椭圆的标准方程.

（2）求得直线的方程并与椭圆方程联立，求得以及到直线的距离，从而求得的面积.

【小问1详解】

设椭圆的标准方程为

若选①有，解得，所以椭圆的方程为；

若选②有，解得，所以椭圆的方程为；

若选③有，解得，所以椭圆的方程为．

【小问2详解】

由（1）可知右焦点为，当直线l的倾斜角为时，

可得直线方程为，

可得坐标原点到直线的距离，

直线联立椭圆方程整理化简得：，

，设，

，

由弦长公式可得，

所以.

21. 已知函数，e是自然对数的底数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）记p：恰有两个零点；q：，求证：p是q的充要条件.

（要求：先证充分性，再证必要性）

【答案】（1）减区间为，增区间为；   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，令以及即可求得单调区间；

（2）充分性证明，根据有两个零点，可得有两个解，由此构造函数，利用其导数判断单调性，数形结合，即可证明；必要性证明，先判断函数的单调性，结合零点存在定理即可说明恰有两个零点.

【小问1详解】

当时，，，

令，解得，令，解得，

所以的减区间为，增区间为；

【小问2详解】

（i）充分性：若有两个零点，即有两个解，

由方程可知，时不成立，故有两个解，

令，则有，

令，解得，令，解得或，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，，

而且时，，当时，，

作出图象如图示：

所以当有两个解时，有，

所以满足条件的a的取值范围是：．

（ii）必要性：

由得，

由于，当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

且，则，故；

由于，所以在存在唯一零点；

由（1）知，当时，，

所以当且时，，

则，

而，故在存在唯一零点，

从而在有两个零点，即必要性成立，

故p是q的充要条件.

【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于证明必要性时，根据零点存在定理，要对自变量x进行恰当的取值，并判断自变量取值对应的函数值的正负，因此要结合函数的特征有针对性的进行取特殊值.

22. 在直角坐标平面上有一点列，，…，，…，对一切正整数n，的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列，且数列的前n项和为，满足．

（1）求点的坐标；

（2）设抛物线列，，，…，，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴．第n条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于点D的直线的斜率为．求：

①抛物线的方程；

②．

【答案】（1）   

（2）①；②

【解析】

【分析】（1）先求得，然后求得，进而求得，从而求得.

（2）设出的方程，结合点坐标以及导数求得的方程以及，利用裂项求和法求得.

【小问1详解】

依题意，，

∴，，

∴.

【小问2详解】

①∵的对称轴垂直于x轴，且顶点为，∴设的方程为,

把点代入上式，得，∴的方程为，

②，，

∴,

∴

.

【点睛】对于等差数列来说，知道首项和公差，也就可以求得通项公式和前项和.抛物线的对称轴与轴垂直，则抛物线的表达式如二次函数的形式.形如：两个等差数列乘积的倒数求和问题，可利用裂项求和法进行求和.