云南省红河州2023-2024学年高二下学期末学业质量监测数学试题（解析版）

这是一份云南省红河州2023-2024学年高二下学期末学业质量监测数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了 东平房塔， 已知椭圆C， 以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】集合，，
故.
故选：C
2. 已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】圆C：，知，
圆心到直线的距离为：，
解得：.
故选：A
3. 为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才.中国航空学会、云南省科学技术协会、云南警官学院于2024年4月中句在红河州弥勒市共同举办第8届全国青少年无人机大赛（云南省赛）.某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，9名学生成绩依次为：85，105，75，100，95，85，90，100，80.则这组数据的第60百分位数为（ ）
A. 85B. 90C. 92.5D. 95
【答案】D
【解析】9名学生成绩从低到高依次为：75，80，85，85，90，95，100，100，105.
且，
故第60百分位数为：95.
故选：D
4. 已知函数对任意的都有成立，当时，，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由，得可知周期为，
所以，
又当 时，，
所以
故选：A
5. 若函数，则函数的单调递增区间为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，
则函数的单调递增区间为，，
故选：C
6. 东平房塔（如图）建于辽代，塔平面呈正六边形，是辽西古塔中仅有的两座辽代六边形古塔之一.请根据塔平面抽象出正六边形ABCDEF，若，则（ ）
A. 6B. C. 8D. 12
【答案】D
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
故.
故选：D
7. 已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设
则，两式作差得：，
线段AB的中点为，故，
所以，
且直线AB过和，
则直线AB的斜率：,
故，
解得.
故选：B
8. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（ ）
A. 小于10gB. 等于10g
C. 大于10gD. 大于或等于10g
【答案】C
【解析】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，顾客购得的黄金大于.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题自要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 以下说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 随机变量，，若，则
C. 若，，，则
D. ，且，则
【答案】BCD
【解析】对于A, 若，
则
解得，故A错误；
对于B，随机变量，，若，
则，故B正确；
对于C，若，则,
则,故C正确；
对于D，，且，
则，故D正确.
故选：BCD
10. 记正项数列的前n项和为，已知，则（ ）
A. B.
C. D. 数列的前n项和小于1
【答案】AD
【解析】对于B：∵，①
∴当时，，解得；
当时，，②
由①②得，
化为，
∵有，∴.
数列是以首项为1，公差为1的等差数列.
∴.
∴，故B错误；
对于AC：，，故A正确，C错误；
对于D： ，
数列的前n项和为，
故D正确；
故选：AD
11. 如图1，在菱形中，，.沿对角线将其翻折，如图2.则（ ）
A. 在折叠过程中直线与所成角不变
B. 当点在平面的投影为的重心时，
C. 三棱锥的表面积最大值为
D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球半径为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图①所示，取中点，连接,
因为四边形为菱形，,
所以，
且为等边三角形，
因为为中点，
所以,
因为平面,平面,
所以平面,
因为平面,
所以，故A正确；
对于B，如图②所示，设的重心为，
因为点在平面的投影为的重心，
所以平面，
因为为等边三角形，
所以重心在上，且,
所以在中，,
在中，，故B正确；
对于C，因为全等，
所以三棱锥的表面积为
，
因为,
所以当时，，故C错误；
对于D，因为当三棱锥的体积最大，如图①所示，
所以平面平面，
又因为,平面平面,
所以平面，故三棱锥高最大为
所以，
如图③所示，设三棱锥外接球球心为,且为的重心，
过作平面，过作平面，连接，
因为，平面,
所以平面，
所以,
因为平面，平面，
所以，
所以四边形为矩形，即
因为点为三棱锥的外接球的球心，到四点距离相等，
设,外接球半径为，则,
在中，，
在中，，
解得，
所以外接球的半径，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设z为虚数，，则z可以为____________.（写出满足条件的一个解即可）
【答案】（答案不唯一，）
【解析】设虚数，由，得，
于是，取，可得.
故答案为：
13. 已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则____________.
【答案】
【解析】函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，
故，
所以，
故.
故答案为：
14. 已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，如图，点P为抛物线C上的动点，且位于直线AB的下方，则△ABP面积的最大值为____________.
【答案】
【解析】当抛物线过点的切线与直线平行时，的面积最大，
设点，由得：，，
所以切线的斜率：，解得：，
所以，所以，
点到直线距离，
由，消去，得：，
设，，则，，
所以，
所以的面积的最大值为：.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，的面积为，求的周长.
解：（1）由正弦定理有，，
可得，即，
，，则，
，故；
（2），，
则，
可得，结合，
由余弦定理，
有，，
可得，则的周长为.
16. 如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
解：（1）底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，故，，两两垂直.
以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

在四棱台中，，，P为AB的中点，
故,
则,
所以，即，
且平面，平面，
故平面.
（2）由（1）知，,,
设平面的法向量为
则
令，解得
设平面的法向量为
则
令，解得
故故平面与平面的夹角为.
17. 已知函数，（）.
（1）当时，求出方程解的个数；
（2）讨论函数的单调性.
解：（1）当时，，
即，
设，
则，
且定义域，
故在时，恒成立，在上单调递增，
在时，恒成立，在上单调递减，
所以，
故只有一个解，
即方程只有一个解.
（2）函数定义域为，
由题意，
当时，在时，恒成立，在上单调递增，
当时，的解为，的解为，
在上递增，在上递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上递增，在上递减．
18. 为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为.
（1）记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望；
（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数.
解：（1）依题意，第二天选择水果的概率为，
第二天选择牛奶的概率为，
第二天选择水果的人数X的可能值为，
，
所以X的分布列为：
期望为.
（2）依题意，，
由，而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，，
数列的通项公式为.
（3）由（2）知，，
当时，非常小，趋近于0，，
，
即30天后学校每天选择水果的人数约为总人数的，
所以15位学生负责为全体同学分发营养餐，分发水果和牛奶人数分别为.
19. 已知点，在双曲线（，）上，直线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点；
（3）当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
解：（1）由点，在双曲线，
即，解得，
所以双曲线方程为；
（2）由已知，设，，
联立直线与双曲线，得，
则，即，且，
，，
又点与关于轴的对称，
则，
所以，
即，
即，恒过定点；
（3）由已知直线，，且，
联立直线与双曲线，可得，
则,，
即，，
所以，,代入直线可得，
即，
所以直线，即，
所以，，
即，可得.0
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