四川省宜宾市2023-2024学年高二下学期期末学业质量监测数学试题（解析版）

这是一份四川省宜宾市2023-2024学年高二下学期期末学业质量监测数学试题（解析版），共16页。
1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设为虚数单位，复数的模为（ ）
A. 2B. C. 3D. 5
【答案】B
【解析】复数的模，
故选：B．
2. 下列运算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．，故正确，不符合题意；
B．，故正确，不符合题意；
C．，故正确，不符合题意；
D．，故选项错误，符合题意；．
故选：D．
3. 在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，模型1、2、3、4的决定系数依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是（ ）
A. 模型1B. 模型2C. 模型3D. 模型4
【答案】C
【解析】因为越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以这4个不同的模型拟合效果最好的模型是模型3.
故选：C
4. 展开式中含的项的系数是（ ）
A. B. C. 10D. 5
【答案】C
【解析】的展开式的通项公式为，
令，则含的项的系数是，
故选：C
5. 已知函数的极小值为，则（ ）
A. 1B. C. 1或D. 0
【答案】A
【解析】由求导得，.
①当时，由可得或，由可得，
即当或时，单调递增，当时，单调递减，
故的极小值为，不合题意；
②当时，，故在R上单调递增，无极值，不合题意；
③当时，由可得或，由可得，
即当或时，单调递增，当时，单调递减，
故的极小值为，解得.
综上，.
故选：A.
6. 3名男生和2名女生共5位同学站成一排照相，且2位女生不相邻，则不同排法的种数为（ ）
A. 120B. 72C. 36D. 12
【答案】B
【解析】先排3名男生，有种排法，借助插空法，共有4个空位，故2名女生有种排法，共有种排法.
故选：B.
7. 若随机事件满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，
，
，
故选：A．
8. 已知函数在上可导，且，若成立，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】构造函数
因为，即，所以函数在上单调递减.
可变形为，即，即.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 随机变量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因为，所以，所以，
，故A正确，B错误；
由对称性可知，所以，
由对称性可知，，而，
所以，故C错误，D正确；
故选：AD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 有唯一极值点
B. 在单调递增
C. 的最大值为
D. 在处的切线方程为
【答案】BC
【解析】由，得，
令，则 或，
所以当或时，；
当时，.
所以在上递增，在上递减, 在上递增，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值.
因为，所以的最大值为.
，
又，
函数在点处的切线方程是，即.
故AD错误；BC正确；
故选：BC
11. 设，则（ ）
A. B. 展开式中系数最大值为
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，取，代入可得，，故A正确；
对于B，由二项式的通项公式知，
展开式中系数最大值为和，即和，故B错误；
对于C，取，代入可得，
取，代入则得，，
两式相减可得，，即得，故C正确；
对于D，取，代入可得， ，故D正确.
故选：ACD.
12. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A.
B. 平面平面
C. 点到平面的距离为
D. 该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为
【答案】BCD
【解析】对于A：以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系

，
，则，所以A错误；
对于B：设平面的法向量为，，
，取，则，
同理可得平面的法向量为，
，则平面平面，故B正确；
对于C：，点到平面的距离为，
故C正确；
对于D：该正方体的外接球的球心为，且外接球的半径为,
，点到平面的距离为，
则平面截得的截面圆的半径为，
所以该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为，
故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 若随机变量，且，则_________．
【答案】
【解析】因，由可得，解得.
故答案为：.
14. 已知双曲线的离心率为，则_________．
【答案】
【解析】由题意，
从而双曲线的离心率为，
结合，解得满足题意.
故答案为：.
15. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率依次为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的、，任取一个零件，则它是次品的概率为_________．
【答案】0.037
【解析】依题意，事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），
事件“零件为次品”；
所以
.
故答案为：0.037
16. 若函数无零点，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】一方面，若，设为实数，由于对有，对有，故或，从而对任意实数，都有.
故，而我们还有
，
故函数存在零点，不满足条件；
另一方面，若，设，则.
故对有，对有，
所以在上递减，在上递增.
从而对任意都有，即，
此即.
对，在不等式中令，得；在不等式中令，得.
从而将和二者结合就有.
故由，知对任意都有
这表明对任意都有，
故函数无零点，满足条件.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知数列满足：，点在直线上．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）因为点在直线，
所以，即．
所以是等差数列，且首项为，公差为3．
于是，．
（2）因为．
所以
18. 通过对某商品在六个城市的销售情况与广告投入的关系进行调研，得到一些统计量的值（如下表）.并发现该商品的销售额（单位：百万元）与其广告费（单位：万元）成线性相关.用模型进行拟合，得出相应的经验回归方程并进行残差分析绘制了如图所示的残差图，但在随后数据整理的过程中不小心将部分数据损坏.
现将残差绝对值大于1的数据被视为异常数据，需要剔除.
（1）剔除异常数据后，分别计算广告费、销售额的平均值；
（2）求剔除异常数据后的经验回归方程；并估计当广告费为20万元时，销售额为多少.
参考公式：
解：（1）由题知，剔除城市D，E的数据后，广告费的平均值为：
销售额的平均值为：.
（2）依题意，.
.
所以.
即得：
当时，.
所以，估计当广告费为20万元时，销售额为百万元.
19. 如图,在四棱锥中,平面
，．

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）过点作，所以
在中，因为，则，所以
于是，，过点作交于点,连接,
因为，所以，因,则且，
于是，四边形是平行四边形
则平面平面，
所以//平面
（2）法一：因为平面，所以
因为，所以平面，因平面,
所以平面平面
过点作交直线于，
因平面,平面平面,故平面.
过点作交直线于点，
因平面，平面,则,得矩形，则,
故,连接，因平面，平面,则,
因,故平面, 平面,则,
所以为二面角的平面角.
易得,由,则,
即，故.
在中，则，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为；
法二：如图建系，
因为，．
所以
设平面的法向量，
所以，
不妨设，
于是，，
所以，
设平面的法向量，
所以，
，
不妨设，于是，
所以，
于是，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
20. 某校为了了解学生体能情况，从全校男女生体能测试成绩中随机抽取容量为20的样本数据进行统计分析，样本数据整理如下（满分100分）：
女生 75 70 75 70 75 95 85 75 90 75
男生 75 70 80 85 90 80 85 80 90 80
若规定成绩不低于80为A等，成绩低于80为B等．
（1）完成上表，依据的独立性检验，能否认为体能测试成绩与性别有关联?
（2）从这20名体能测试成绩为等的学生中随机挑选3名，求挑选出男生成绩为等的人数的分布列与数学期望．
附：，其中．
解：（1）填表如下：
假设：体能测试成绩与性别无关．
．
假设不成立，认为体能测试成绩与性别有关．
（2）由题知且．
于是，的分布列为
所以的数学期望．
21. 已知为抛物线的焦点，是抛物线上一点，且的最小值为1．
（1）求的方程；
（2）过的直线与交于两点，过原点作直线的垂线交于点（异于点）．当四边形的面积为时，求直线的方程．
解：（1）由题知，当点在原点上时，的最小，所以，所以，所以抛物线的方程为．
（2）设方程为
由联立得：．于是，，
于是，
直线方程为．
由联立得：．解得或．
于是，点，所以
所以四边形的面积
即，令，则，所以
于是，．
即
即解得或
于是，或
所以直线的方程为或
22. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围．
解：（1）当时，
当时，，当时，．
所以的单调递减区间为；单调递增区间为
（2）因为对任意恒成立．设．
所以．
分类：①当时，，知在单调递增，
所以，不成立．
②当时，，知在单调递减，所以成立．
③当时，令．
所以．
（ⅰ）若即时，，知在单调递减，
所以，
所以，所以在单调递减，
所以对任意时，成立．
（ⅱ）若即时，由可得，
所以当时，，于是，在单调递增，
所以对任意时，，所以，
所以在单调递增，所以对任意时，恒成立．
综上所述：的取值范围是．城市
广告费万元
3
6
8
10
5
8
336
214
销售额/百万元
6
8
14
15
性别
成绩
合计
A等
B等
女生
10
男生
10
合计
20
0.05
0.005
3.841
7.897
性别
成绩
合计
A等
B等
女生
3
7
10
男生
8
2
10
合计
11
9
20
0
1
2