安徽省鼎尖教育2024-2025学年高一上学期11月期中考试（A卷）数学试题（解析版）

这是一份安徽省鼎尖教育2024-2025学年高一上学期11月期中考试（A卷）数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，则.
故选：A.
2. 命题 ，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题 ，为存在量词命题，
其否定为：，.
故选：C
3. 下列函数为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A：为指数函数，属于非奇非偶函数，不符合；
B：定义域为关于原点对称，，为奇函数，符合；
C：定义域为关于原点对称，，，所以，不符合；
D：定义域为关于原点对称，，为偶函数，不符合；故选：B.
4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为的定义域为，则，故，
所以的定义域为，要使函数有意义，
则，解得.
所以函数的定义域为.
故选：D.
5. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，，且，则，
所以，
当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
6. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题，，，即，即在上有解，
设，则，，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
，则，所以.
故选：B.
7. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，恒成立，
函数在上为单调增函数，
函数是偶函数，即，
函数的图象关于直线对称，
，，
，即，.故选：D.
8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在中取得，结合归纳可知.
所以对任意正有理数有，故.
而增函数，故对任意正实数都有.
这表明原不等式等价于，即
解得或，所以原不等式的解集为，选项A正确.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分,
9. 设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】由题，，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，
因为，所以，即或.
当时，满足，所以，
当，满足，所以，所以的值可以是，.
故选：AD.
10. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则是一个戴德金分割
B. 若，，则是一个戴德金分割
C. 若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割
D. 若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，故A错误；
对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确；
对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确；
对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则或或
C. ，，
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】对于A，，所以，故A正确；
对于B，由，得且.
因为为整数，所以或或或，故B错误；
对于C，由于，则，设，则，
若，则，
若，则，
所以，，，故C正确；
对于D，得，解得，
由，得；由，得，所以不等式的解集为，
故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,
12. 若关于的不等式的解集是，则_________.
【答案】或
【解析】由题可知和4是方程的根，
由根与系数关系得，即，，所以.
故答案为：.
13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】因为是上的减函数，所以，解得，
所以的取值范围是，故答案为：.
14. 已知实数，命题，为真命题，则的最小值为__________.
【答案】6
【解析】当时，单调递增，且当时，，此时，当时，，，
所以，即，则，
当且仅当，时，等号成立.
故答案为：6
四、解答题：本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,
15. （1）求值：；
（2）已知，求的值.
解：（1）原式；
（2）由，
因为，所以，，
所以.故.
16. 为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完.
（1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式；
（2）更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润.
解：（1）由已知，，
又
所以；
（2）当时，，
则当时，；
当时，，
当且仅当，即时，.
因为，所以的最大值为390，
故当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元.
17. 已知幂函数是非奇非偶函数.
（1）求函数解析式；
（2）已知是定义在上的奇函数，当时，.
（ⅰ）求函数的解析式；
（ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
解：（1）由题知，，即，
即，解得或，
当时，，是非奇非偶函数，
当时，，是偶函数，
所以的解析式是.
（2）当时，，
（ⅰ）设，则，所以，
又为奇函数，所以，所以当时，.
即.
（ⅱ）作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
18. 已知定义在上的函数，且有，.
（1）求函数的解析式并判断其奇偶性；
（2）解不等式；
（3）设函数，若，，使得，求实数m的取值范围.
解：（1）因为，所以，解得，
所以；
为奇函数，证明如下：
定义域为且关于原点对称，因为，
所以为上的奇函数.
（2），
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以在上单调递减，所以在上单调递减；
因为，所以，
所以，
所以，所以或，解得或，
所以不等式解集为.
（3）因为，，使得，所以；
因为，，所以，
由指数函数性质可知，无最大值，但可以无限接近；
又因为，令，
所以，对称轴为且开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以当时有，所以，
若，则，
综上所述，的取值范围是.
19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都有且仅有n个不同的实数，使得（其中，），则称为的“n重覆盖函数”.
（1）（ⅰ）判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
（ⅱ）设是的“n重覆盖函数”，求n的值；
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围.
解：（1）（ⅰ）不是的“2重覆盖函数”，理由如下：不妨取，则，令，解得，仅解，不符合定义，所以不是的“2重覆盖函数”；
（ⅱ），则，令，
所以，
令，则，，且，
所以总有两个不相等的正根，
又因，所以，四个根互不相等且非零，
所以是的“重覆盖函数”，故.
（2）当时，由指数函数性质可知单调递增，
所以，
因为为的“重覆盖函数”，
即，总有两个不同的实根；
当时，在上单调递增，所以，
如下图，
此时图象恒有一个交点，所以恒有一个实根，
故当时，也需恒有一个实根；
当时，，如下图，
此时的图象恒有一个交点，所以恒有一个实根，符合要求；
当时，是开口向下的二次函数且有最大值，
所以对，恒有一个实根不成立，故不满足要求；
当时，是开口向上的二次函数，
若满足条件只需，即，解得；
综上所述，的取值范围是.