江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知为等差数列的前项和，且，则（ ）
A. 24B. 36C. 48D. 72
2. 函数 的大致图象是
A. B.
C. D.
3. 已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
4. 已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ）
A. 98B. 99C. 100D. 101
8. 对于任意正实数，都有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
10. 关于函数，下列判断正确的是（ ）．
A. 是的极大值点
B 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对任意两个正实数，且，若，则．
11. 函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称
C. 是周期函数D.
三、填空题
12. 数列满足，则________.
13. 是函数的极值点，则的值为________．
14. 设函数，则函数的最小值为______；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是______．
四、解答题
15 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16. 已知函数，.
（1）当时，求的极值点；
（2）讨论的单调性；
（3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围.
17. 已知数列为等差数列，首项，公差．
（1）若，证明：是等比数列；
（2）若，设数列前项和为，求满足的的最小值．
（3）若，求数列的前项和；
18. 已知，．
（1）若，求函数的极值；
（2）当时，若的图象始终在图象的上方，求实数的取值范围．
19. 已知函数，．
（1）讨论单调性；
（2）若过点恰有2条与图象相切的直线，求的取值范围；
（3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
宜春一中2024-2025学年第二学期高二年级第一次月考
强基班数学试卷
一、单选题
1. 已知为等差数列的前项和，且，则（ ）
A. 24B. 36C. 48D. 72
【答案】D
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，由已知可求得，利用等差数列的前项和求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，由，
得，所以，
所以
故选：D.
2. 函数 的大致图象是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解．
【详解】函数y=的导数为，
令y′=0，得x=，
时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．
∴函数在（﹣），（）递减，在（）递增．
且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0排除C，
故选A．
【点睛】本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题，
3. 已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】易知，所以.
故选：A
4. 已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据与的关系可得，进而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求通项公式后代入不等式整理可得恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可.
【详解】由，令，解得，
当时，由得，即，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，
由，即恒成立，
令，则，而，所以，
即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为.
故选：C
5. 已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，在点的切线与直线平行，利用导数的几何意义求出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】设，因为，则，由题有，
解得或（舍），所以，
此时到直线的距离为，
故选：B.
6. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先设，对求导，结合题中条件，判断的单调性，再根据函数为奇函数，得到的奇偶性，进而可得出结果.
【详解】设，则，
因为当时，，所以当时,，即；
当时,，即；
所以在上单调递增，在上单调递减；
又函数为奇函数，所以，因此，
故函数为偶函数，
所以，，，
因为在上单调递减，所以，
故.
故选：B
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，根据条件构造出函数是解题的关键，属于常考题型.
7. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ）
A. 98B. 99C. 100D. 101
【答案】B
【解析】
【分析】利用取倒数法并构造新数列求其通项公式，再由等比数列求和公式结合数列的单调性解不等式即可.
【详解】由，可得，
易知，两侧同时除，可得，整理得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，
故，
故，
易知单调递增，，所以.
故选：B
8. 对于任意正实数，都有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题得，设，，，求出，解不等式即得解.
【详解】，
则，
设，，，
则，，
恒成立，导函数单调递减，
故时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故，故，故.
故选：A
【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、多选题
9. 设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据的取值对选项进行分析，结合等差数列、等比数列的知识求得正确答案.
【详解】A选项，，，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以A选项错误.
B选项，，，，
所以，，所以B选项正确.
CD选项，，，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，C选项正确.
，D选项错误.
故选：BC
10. 关于函数，下列判断正确的是（ ）．
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对任意两个正实数，且，若，则．
【答案】BD
【解析】
【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D.
【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，
所以在内，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增，
所以是的极小值点，故A错误；
对于选项B，由，得，
由于分子判别式小于零，所以恒成立，
所以函数在，上单调递减，
且，
所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对于选项C，若，可得，
令，则，
令，则，
所以在内，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
所以，所以，
所以函数在上单调递减．
又因为当时，，
所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；
对于选项D，设，即有，
，即为，
化为，
故，所以，
则，
设（），可得，
令，则在上恒成立，
可得，所以，故单调递增，
可得，故成立，故D正确．
故选：BD.
【点睛】方法点睛：
（1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析；
（2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围；
（3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得
11. 函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称
C. 是周期函数D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由是奇函数可判断A；利用向右平移1个单位后可得可判断B；利用是奇函数，得到关系式，两边同时求导可得，再由可求出的周期可判断C；由可得，即可判断D.
【详解】对于A，因为是奇函数，所以，
则有，的图象关于点对称，故A错误；
对于B，是奇函数，其图象关于原点对称，
向右平移1个单位后可得，所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，因为是奇函数，所以，
所以，所以，
所以，所以①，
因为，所以②，
由①②可得：，所以，
所以，，
所以是函数的一个周期函数，所以是周期函数，故C正确；
对于D，因为，所以，
，，，
所以，
而，故D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1）关于轴对称，
（2）关于中心对称，
（3）的一个周期为，
（4）的一个周期为.
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
三、填空题
12. 数列满足，则________.
【答案】
【解析】
【分析】当时求出，当时，得到，作差即可得到，再检验时是否满足，即可得解；
【详解】因为，
当时，，
当时，，
则得：，
所以，
当时，不成立，所以．
故答案为：.
13. 是函数的极值点，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由求得的可能取值，再通过验证来确定正确答案.
【详解】，
由于是函数的极值点，
所以，
，解得或.
当时，，
则在上单调递减，
在上单调递增，所以是的极小值点，符合题意.
当时，，
在上单调递增，没有极值点，不符合题意.
综上所述，的值为.
故答案为：
14. 设函数，则函数的最小值为______；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用导数研究函数单调性，求最小值；令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求两个函数最小值即可.
【详解】的导数为，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
可得在处取得极小值，且为最小值；
令，，
又对任意，存在，
有恒成立，即恒成立，即；
时，，当且仅当时取得最小值2，
，，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
可得在处取得极小值，且为最小值；
所以，由，可得．
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
不等式恒成立问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
四、解答题
15. 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用题中条件整理可得即可得等比数列，再用等比数列的通项公式即可；
（2）运用分组求和法与错位相减法求和.
小问1详解】
因为，，
所以，，
所以.
因为，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
【小问2详解】
因为，
所以.
其中.
令，
，
两式相减，得.
所以，
所以.
16. 已知函数，.
（1）当时，求的极值点；
（2）讨论的单调性；
（3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围.
【答案】（1）极大值点，无极小值点；
（2）当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
（3）.
【解析】
【分析】（1）当时，利用导数求得函数 单调区间，进而得到极值．
（2）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案.
（3）讨论，，，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案.
【小问1详解】
当时，，定义域为.
，
令，得,
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
在时取得极大值，无极小值.
所以的极大值点是，无极小值点.
【小问2详解】
，则，，
当时，恒成立，函数单调递减；
当时，，
，，函数单调递增，
，，函数单调递减.
综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
【小问3详解】
函数在上恒小于0，等价于.
由（2）知，
当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意；
当时，若，即，函数在上单调递减，
故，成立，故符合题意；
若，即，函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，解得，故；
若，即，函数在上单调递增，
故，解得，
故无解.
综上所述：.
17. 已知数列为等差数列，首项，公差．
（1）若，证明：是等比数列；
（2）若，设数列的前项和为，求满足的的最小值．
（3）若，求数列的前项和；
【答案】（1）证明见详解
（2）13 （3）
【解析】
【分析】（1）由等差数列通项公式可得，结合等比数列定义分析证明；
（2）由题意可得，利用裂项相消法求和；
（3）由题意可得以及数列的前项和，根据的符号去绝对值求和.
【小问1详解】
因为数列为等差数列，首项，公差，
所以.
对于，且，
所以是等比数列.
【小问2详解】
由（1）可知：，
可得，
令，解得，
所以满足的的最小值为13.
【小问3详解】
由（1）可知：，
则，可知数列为等差数列，
设数列的前n项和为，则，
令，解得，
当时，，则；
当时，，则
；
综上所述：.
18. 已知，．
（1）若，求函数的极值；
（2）当时，若的图象始终在图象的上方，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值1，无极小值
（2）
【解析】
【分析】（1）求导确定函数的单调性，即可求解；
（2）由题意得到恒成立，构造函数，通过求导确定最小值即可求解；
小问1详解】
当时，，
则，
由，可得：，
由，可得：，
所以在单调递增，在单调递减；
所以的极大值为：，无极小值；
【小问2详解】
由题意可得：，
即恒成立，
即恒成立，
构造函数，
，令，
恒成立，
所以在单调递增，
易知，，
所以唯一使得，且，
即，所以，同时取对数可得：
所以当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
所以.
所以实数的取值范围.
19. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围；
（3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求导，结合函数的定义域，分情况讨论导函数的符号，分析函数的单调性.
（2）首先问题转化为与函数（）的图象有两个交点，再利用导数分析函数的单调性、极值，可得的取值范围.
（3）假设满足条件的点存在，则问题可以转化成函数（）存在零点的问题.求导，分析函数单调性，判断函数的零点存在情况即可得到结论.
【小问1详解】
因为，，所以，.
因为，所以.
所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数；
若，由；由.
所以函数在上递减，在上递增.
综上：当时，在为增函数；
当时，在上递减，在上递增.
【小问2详解】
设切点，切线斜率为：，所以切线方程为：.
因为切线过点，所以.整理得：（）.
设（），则（）.
由，由.所以在上递减，在上递增.
又过点恰有2条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点.
因为，，，所以.
即所求的取值范围为.
【小问3详解】
当时，，，.
设，则.
假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率，即，
因为，所以.
设（），则（当且仅当时取“”）.
但，所以在恒成立.所以在上单调递增，又.
所以在上恒成立.即方程在上无解.
即满足条件的点不存在.
【点睛】关键点点睛：第二问中，求参数的取值范围，可采用分离参数法，得到，再设函数（），数形结合，可得实数的取值范围.