江西省宜黄县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月） 数学试卷（含解析）

这是一份江西省宜黄县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月） 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
（范围：北师大选修第一册全册-选修第二册第一章数列）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．52B．104C．112D．120
2.记等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24B．28C．48D．84
3.数列满足，且，则（ ）
A．B．4C．D．2
4．设.则当数列的前项和取得最小值时，的值为（ ）
A．4或5B．4C．5D．5或6
5．已知等比数列的前项和，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
7．在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则（ ）
A．118B．119C．120D．121
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0
9.下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列的项可以相等
B．数列可表示为
C．数列的一个通项公式是
D．数列是递减数列
10.已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11.如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ）
A．直线与平行 B．四面体的体积为定值
C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成的角为
三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在等比数列中，，则 ．
13．已知、分别为等差数列、的前项和，，则 ．
14．某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C 3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有 种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有 种不同的派驻方式．(用数字填写答案)(前一空2分，后一空3分).
四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）
为了解某地区年月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据．
(1)求关于的线性回归方程；
(2)该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有人，女性有人，购买电动汽车的男性有人，女性有人，请问是否有的把握认为购买电动汽车与性别有关．
附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；②，其中．
16．（15分）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
17.（15分）
已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列满足，求的前项和．
18．（17分）
某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表：
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
参考数据：；若随机变量，则，
，.
(1)试估计这批零件直径在的概率；
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望；
(3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.
19．（17分）
已知、分别为椭圆的左、右焦点，若点在椭圆上，且的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与椭圆交于、两点，且直线与直线的斜率之积为，作于点．
①证明：直线过定点，并求此定点的坐标；
②是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1.A【解析】.故选A.
2.D【解析】由等比数列的性质，得成等比数列，所以，
又因为，，即，解得．故选D.
3.A【解析】由题意知，所以，
所以可得是周期为2的周期数列，则．故A正确.故选A.
4.A【解析】由于，令，则，故当,时，，
当,时，，,时，，
因此的前项和取得最小值时，或，故选A.
5.C
6.A【解析】抛物线的准线方程为，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，所以，截圆所得的弦长为，故选A.
7.A【解析】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以.故选A.
8.C【解析】因为数列的各项均为正数，，
所以，则是以4为首项，以4为公差的等差数列，
所以，则，所以，
所以数列的前n项和为，
令，解得，故选C
9. AD
10.BC 【解析】由可知显然不合题意，故有，解得，故A错B对；，，，代入C，D选项验证，C正确；
D选项右边，D错误.故选BC.
11.ABC【解析】对于A，连接，
因为是侧面的中心，是底面的中心，
则为的中点，为的中点，
所以在中，为的中位线，即，A正确；
对于B选项，因为，平面平面，
所以平面，又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，
又为定值，所以四面体的体积为定值，B正确；
对于C选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
解得，令，得，则，
所以点到平面的距离，C正确；
对于D选项，，,
则，
故异面直线与所成的角不为，D错误.
故选ABC.
12.6 13.
14. 15,72.【解析】第一空，隔板法，将7个名额排成一排，在除去两端的6个空位中选择2个空位插入隔板，共有种分配方式；第二空，先将3女分配到3个乡村，有种，
再将4男分成3组，有种，将有男性甲的一组分配到A乡村有1种，
然后将剩余两组分配到其他两个乡村，有种分法，
所以共有种分配方式.
15.解：(1)由题可知，，
所以，，
故所求的线性回归方程为．(7分)
（2）由题可得列联表如下．
因为，
故有的把握认为购买电动汽车与性别有关．（13分）
16.解：（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以.(7分)
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；（11分）
当时，则，可得
；（14分）
综上所述：.（15分）
17.解：（1）当时，，即，
当时，联立
①－②，可得，
即，
所以，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（8分）
（2）由（1）可得，则，，
所以
．(15分)
18.解：（1）由平均数与方差的计算公式分别得
.
.
故，.
设表示零件直径，则，即.
则，
，即.（5分）
（2）由题意知，这批零件直径在的概率为.
Z的取值范围为，
则，
，
，
，
，
因此可得Z的分布列为
因为Z服从二项分布，则Z的数学期望.（12分）
（3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件B，
则，，，，
则，
，
所以这个零件是甲机器生产的概率为.(17分)
19.解：（1）由的面积为，得到：，所以．（2分）
又因为点在椭圆上，所以，且，
所以，，解得，所以椭圆的方程为．(5分)
（2）当直线斜率不存在时，设直线的方程为，
设点，由对称性质可知，则有，可得，
又，解得（舍）；（8分）
②当直线l斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
由，消去得到，
所以，即，
由韦达定理可得，．
所以，
，
将，，
代入化简得，即，
故或，
当时，直线的方程可化为，
此时，直线过点，
当时，直线的方程可化为，
此时，直线过点，
又因为直线不过点，故直线l过定点.
综上所述，直线l过定点.（13分）
②因为，由①知直线过定点，所以点在以为直径的圆上，
故当为圆心时，，
故存在定点，使为定值，定值为．(17分)月份
月
月
月
月
月
月份代码
销售总额亿元
零件直径（单位：厘米）
零件个数
10
25
30
25
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
D
A
A
C
A
A
C
AD
BC
ABC
性别
购买种类
合计
非电动汽车
电动汽车
男
女
合计
Z
0
1
2
3
4
P