江西省赣州市大余县部分学校联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省赣州市大余县部分学校联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
▶下册第十六～十七章◀
说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1. 下列二次根式中，是最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 在下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A. 9，12，15B. 1，，
C. ，，D. 4，5，6
3. 下列二次根式中，与能合并是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，，两点分别位于坐标轴上，且，若，，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. 2025D. 4050
6. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A. 直角三角形的面积
B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积
D. 最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
8. “两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为_______________．
9 已知，则______．
10. 如图，将弹性皮筋拉直放置在一数轴上，固定两端点和，然后把中点竖直向上拉升至点．已知，，则弹性皮筋被拉长了______．
11. 如图，A，B，C，D四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠ADB﹣∠BDC＝__°
12. 如图，在中，，，为的中点，．是边上一动点，点在射线上，为等边三角形．若为整数．则的面积等于______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在中，，，，求的长．
14. 如图，在四边形中，，，，，，求正方形的面积．
15. 如图，某乡村有块形状为长方形的空地，长为，宽为，现要在空地上建休闲广场，中间修建长方形的儿童活动区（图中阴影部分），儿童活动区的长为，宽为．
（1）求长方形的周长．（结果需要化简）
（2）除去儿童活动区，空地其他地方全部浇筑水泥，求浇筑水泥区的面积．
16. 某数学小组开展“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本电脑的宽为，当顶部边缘离桌面的高时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高，最后发现当顶部边缘离桌面的高时，用眼舒适度比较理想．已知点，，，在同一条直线上，求调整前后顶部边缘移动的水平距离．
17. 如图，在由边长相等的小正方形组成的网格中，已画出线段，其中，均在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作，为斜边，点在格点上，且的面积最小．
（2）在图2中，作，点在格点上，且．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在四边形中，，．现沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点．若，．
（1）求证：．
（2）求的长．
19. 有个填写运算符号的游戏：在“”，中的每个“□”内，分别填入“”“”“”“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：．
（2）若，则“□”内的符号是______．
（3）在“”的“□”内填入运算符号，使计算结果最大，并直接写出最大值．
20. 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离，．
（1）求供水点到喷泉需要铺设的管道长．
（2）求证：．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）化简：______；______．
（2）比较大小：______．（填“”“”或“”）
（3）已知，求多项式的值．
22. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的大正方形，中空的部分是一个小正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在证明勾股定理，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
（1）如图1，这是小军制作的一个“赵爽弦图”纸板．
①设，，，请验证：．
②已知大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，求直角三角形两直角边之和．
（2）如图2，把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知“风车”外围轮廓（实线）的周长为80，，求“风车”图形的面积．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图1，在中，，点D在边上，点F在射线上，连接，，作，交射线于点E，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，当，时．
①若，求的长；
②若，直接写出的长．
江西省2025届八年级第五次阶段适应性评估
数学
▶下册第十六～十七章◀
说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A：，不是最简二次根式；
B：，不是最简二次根式；
C：，是最简二次根式；
D：，不是最简二次根式．
故选：C．
2. 在下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A. 9，12，15B. 1，，
C. ，，D. 4，5，6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，是勾股数，故本选项符合题意；
B、不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：A．
3. 下列二次根式中，与能合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：，
根据同类二次根式的定义可知能与合并，
故选：D．
4. 如图，在平面直角坐标系中，，两点分别位于坐标轴上，且，若，，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，勾股定理等知识，先根据勾股定理求出，然后根据全等三角形的性质求出，，最后根据第四象限内点的坐标特点求解即可．
【详解】解：在，，，
∴，
∵
∴，，
又点D在第四象限，，
∴点D的坐标为，
故选：D．
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. 2025D. 4050
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得，则，代入求值即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【详解】解：由题意，得，
解得．
∴，
∴．
故选：B．
6. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A. 直角三角形的面积
B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积
D. 最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2=a2+b2，
阴影部分面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），
较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，
则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
8. “两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为_______________．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】根据题意写出逆命题即可，每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．
【详解】解：两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行
故答案为：同旁内角互补，两直线平行
【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，掌握逆命题中的题设与结论与原命题互换是解题的关键．
9. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的加减运算，由条件可得，再结合平方根的含义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；经检验符合题意；
故答案为：
10. 如图，将弹性皮筋拉直放置在一数轴上，固定两端点和，然后把中点竖直向上拉升至点．已知，，则弹性皮筋被拉长了______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，理解题意是解题关键．由题意可知，垂直平分，利用勾股定理得到，从而得出弹性皮筋拉伸之后的长度为，即可求解．
【详解】解：由题意可知，垂直平分，
，，，
，
，即弹性皮筋拉伸之后的长度为，
弹性皮筋被拉长了，
故答案为：．
11. 如图，A，B，C，D四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠ADB﹣∠BDC＝__°
【答案】45
【解析】
【分析】根据轴对称图形的性质得到∠EDB＝∠CDB，可得∠ADB−∠BDC＝∠ADE，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到△EAD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】如图，找到C点关于DB的对应点，连结DE，AE，
则∠EDB＝∠CDB，
∴∠ADB−∠BDC＝∠ADB−∠BDE＝∠ADE，
∵，，
∴
∴，
∴△EAD是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，即∠ADB−∠BDC＝45°．
故答案为：45．
【点睛】此题主要考查了轴对称、勾股定理和勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，得出∠ADB−∠BDC＝∠ADE是解题关键．
12. 如图，在中，，，为的中点，．是边上一动点，点在射线上，为等边三角形．若为整数．则的面积等于______．
【答案】或或；
【解析】
【分析】证明，，可得，，证明，再进一步解答即可．
【详解】解：∵，，为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是边上一动点，
当时，最短，
此时，
∴，
∴，
∵为整数，
∴或或，
如图，过作于，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：或或；
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的大小比较，清晰的分类讨论是解本题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在中，，，，求的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用；
（1）直接利用平方差公式进行二次根式的乘法运算即可；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质求解，再利用勾股定理进行计算即可．
详解】解：（1）
；
（2）∵在中，，，，
∴，
∴；
14. 如图，在四边形中，，，，，，求正方形的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先利用勾股定理计算，再求解，进一步可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴正方形的面积为
15. 如图，某乡村有块形状为长方形的空地，长为，宽为，现要在空地上建休闲广场，中间修建长方形的儿童活动区（图中阴影部分），儿童活动区的长为，宽为．
（1）求长方形的周长．（结果需要化简）
（2）除去儿童活动区，空地的其他地方全部浇筑水泥，求浇筑水泥区的面积．
【答案】（1）长方形的周长为米．
（2）浇筑水泥区的面积为平方米．
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的应用；
（1）由长方形的周长公式列式，再化简计算即可；
（2）由大的长方形的面积减去小的长方形的面积即可；
【小问1详解】
解：米，
答：长方形的周长为米．
【小问2详解】
解：由题意可得：
平方米，
答：浇筑水泥区的面积为平方米．
16. 某数学小组开展“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本电脑的宽为，当顶部边缘离桌面的高时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高，最后发现当顶部边缘离桌面的高时，用眼舒适度比较理想．已知点，，，在同一条直线上，求调整前后顶部边缘移动的水平距离．
【答案】调整前后顶部边缘移动的水平距离的长为
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，在中求得，根据题意得，在中求得，利用求解即可．
【详解】解：∵，，
在中，，
∴，
解得：，
∵，，
在中，，
∴，
解得： ，
∴．
答：调整前后顶部边缘移动的水平距离为．
17. 如图，在由边长相等的小正方形组成的网格中，已画出线段，其中，均在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作，为斜边，点在格点上，且的面积最小．
（2）在图2中，作，点在格点上，且．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】本题考查的是网格作图题，勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，二次根式的乘法运算；
（1）根据网格特点作，，且即可；
（2）利用勾股定理先求解，，，再进一步解答即可．
【小问1详解】
解：如图，或即为所求；
而；
∴或都符合要求，
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
；
理由如下：∵，，
，
∴，，
∴，
∴即为所求．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在四边形中，，．现沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点．若，．
（1）求证：．
（2）求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，勾股定理的应用；
（1）由平行线的性质证明，由轴对称证明，可得，从而可得结论；
（2）设，而，，可得，，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
由翻折的性质可知，
，
∴，
；
【小问2详解】
解：设，而，，
∴，，
∵，，
∴，
解得：；
∴；
19. 有个填写运算符号的游戏：在“”，中的每个“□”内，分别填入“”“”“”“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：．
（2）若，则“□”内符号是______．
（3）在“”的“□”内填入运算符号，使计算结果最大，并直接写出最大值．
【答案】（1）1.25
（2）
（3）“□”内依次填入“”“”．运算结果为
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，清楚运算顺序是解题的关键．
(1)先化成最简二次根式，后合并同类二次根式计算即可．
(2)先按照运算顺序依次计算，后比较□前后两个数与结果，计算推想即可．
(3)要想使得结果最大，只需前三个数的和或积最大即可，比较和与积的大小，计算判断即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
∵
，
∴，
∴“□”内的符号为“”．
【小问3详解】
∵，，，
∴“□”内依次填入“”“”，计算所得结果最大，
则
．
20. 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离，．
（1）求供水点到喷泉需要铺设的管道长．
（2）求证：．
【答案】（1）供水点到喷泉需要铺设的管道长为；
（2）见详解．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键，要注意勾股定理逆定理的格式．
（1）在中，先利用勾股定理求出，从而求出，再在中，利用勾股定理求出；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到．
【小问1详解】
解：由题意可知：，
在中，，
，
，
中，，
，
供水点到喷泉需要铺设的管道长为；
【小问2详解】
证明：，，，
，
是直角三角形，．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）化简：______；______．
（2）比较大小：______．（填“”“”或“”）
（3）已知，求多项式的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键．
（1）利用二次根式的运算法则进行化简求解；
（2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解；
（3）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解．
【小问1详解】
解：；；
【小问2详解】
解：∵，
而，
∴，
∴14-13>15-14；
【小问3详解】
解： ，
，
，
．
22. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的大正方形，中空的部分是一个小正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在证明勾股定理，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
（1）如图1，这是小军制作的一个“赵爽弦图”纸板．
①设，，，请验证：．
②已知大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，求直角三角形两直角边之和．
（2）如图2，把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知“风车”外围轮廓（实线）的周长为80，，求“风车”图形的面积．
【答案】（1）①证明见解析；②
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键．
（1）①用两种不同的方法去求正方形的面积即可．②利用①中发现的结论即可解决问题．
（2）设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题．
【小问1详解】
证明：①中间小正方形的边长为，
小正方形的面积为
又四个直角三角形的面积为：，
大正方形的面积为：
又大正方形的边长为c，
大正方形的面积还可以表示为，
；
②由①可知，
，
，
，
，
，
（舍去），
即直角三角形两直角边之和为；
【小问2详解】
解：设，
，
外围轮廓（实线）的周长为80，
，
则
在中，
，
解得，
即，
．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图1，在中，，点D在边上，点F在射线上，连接，，作，交射线于点E，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，当，时．
①若，求的长；
②若，直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2）①；②或
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质得，结合外角性质，得，则；
（2）①先由等边对等角得，结合（1）的，则，然后证明，故，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
②如图1，过点A作于点M，当点D在点M的右侧时，运用勾股定理得，结合等面积法列式计算，得，结合线段的和差关系得，再证明，如图2，当点D在点M的左侧时，同理可得，，，得．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
①∵，，
∴．
∵，
，
∴．
∵，
∴．
由（1）已证，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
易得．
②或，过程如下：
如图1，过点A作于点M，当点D在点M的右侧时，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
由（1）得，而，，
∴，
∴．
如图2，当点D在点M的左侧时，
同理可得，，，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键．