湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷 （原卷版+解析版）

这是一份湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷 （原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 化简：（ ）．
A. B. C. D.
2. 若复数，则（ ）
A. 2B. C. 10D.
3 已知平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，，则（ ）
A. 5B. 3或5C. 4D. 2或4
5. 若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（ ）
A B. C. D.
6. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ）
A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A. 在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的立体图形是棱锥
C. 存在每个面都是直角三角形的四面体
D. 半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球
10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数D. 若，则
11. 如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ）
A.
B. 当时，
C. 面积最大值为
D. 游览路线最长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______.
13. 用斜二测画法作一个水平放置平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______．
14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周.
（1）求所得几何体的体积；
（2）求所得几何体的表面积.
17. 在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记.
（1）用向量表示向量；
（2）求的值.
18. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 .
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①；②.
（1）证明：；
（2）若的平分线交于，，，求的值；
（3）求的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
19. 如图所示，设是平面内相交成角两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
（1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数；
（2）在仿射坐标系中，若，．
①当时，求；
②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值．
湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 化简：（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用向量加减法则化简即可得答案.
【详解】因为.
故选：C
2. 若复数，则（ ）
A. 2B. C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值.
【详解】因为，
所以
故选：D.
3. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出.
【详解】向量，，由，得，
所以.
故选：A
4. 在中，，则（ ）
A. 5B. 3或5C. 4D. 2或4
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理，得，
即，即，
解得或5，
经检验，均满足题意.
故选：B.
5. 若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据长方体外接球的直径为对角线，可得半径，从而求球的体积.
【详解】由已知长方体的对角线长为.
所以外接球半径为，
体积为.
故选：A.
6. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由已知平方得，再根据投影向量的定义求解.
【详解】因为，
所以，解得，
所以向量在向量上投影向量为.
故选：C.
7. 中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用球的体积公式、圆台的体积公式列式求出圆台两底半径，进而求出圆台的母线即可求出表面积.
【详解】依题意，圆台体积，
如图所示，设圆台较大的底面半径为，则较小的底面半径为，
于是，解得，
过点B作，垂足为，由圆台的结构特征得底面，
母线，
圆台表面积.
故选：B
8. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ）
A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角
【答案】B
【解析】
【分析】把条件转化为，再根据向量的运算法则逐步计算即可求解.
【详解】由条件得，则，
所以，
所以，
则，即，
所以，则，
所以向量与的夹角为．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A. 在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的立体图形是棱锥
C. 存在每个面都是直角三角形的四面体
D. 半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球
【答案】CD
【解析】
【分析】根据几何体的特征，对各选项逐一判断即可求解.
【详解】解：对A：圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，
因为圆台所有母线的延长线交于一点，且所有母线长相等，故A选项错误；
对B：由棱锥的定义知，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故B选项错误；
对C：如图，四面体ABCD的每个面都是直角三角形，故C选项正确；
对D：半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体是一个球体，故D选项正确；
故选：CD.
10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项.
【详解】因为，又，所以，A正确；
设，则，所以为实数，B正确；
设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确；
若，，则满足，而，D错误.
故选：ABC.
11. 如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ）
A.
B. 当时，
C. 面积的最大值为
D. 游览路线最长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】运用正余弦定理解三角形即可判断A B，在用余弦定理解三角形的同时结合基本不等式即可判断C D.
【详解】在中，由余弦定理得，
所以正确；
在中，由正弦定理，
得错误；
在中，由余弦定理，
，
当且仅当时等号成立，所以，
则的面积为，C正确；
由上可得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数的几何意义得出向量、的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量对应的复数.
【详解】因为复数、对应的向量分别是、，则，，
所以，则向量对应的复数为.
故答案为：.
13. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则即可求解．
【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4，
故原来的平行四边形的面积为，
故答案为：8．
14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三点共线的结论可得，进而可得，即可根据数量积的运算律求解.
【详解】因为，，三点共线，且，所以，所以，所以，
所以，
又，，，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由复数，，
可得，
因为复数为纯虚数，所以，解得．
小问2详解】
解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得
所以实数的取值范围为．
16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周.
（1）求所得几何体的体积；
（2）求所得几何体的表面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为4的圆柱挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥，求出体积可得答案；
（2）由可得答案.
【小问1详解】
将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥，
所以所得几何体的体积；
【小问2详解】
易知圆锥的母线为，所以，
，
所得几何体的表面积.
17. 在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记.
（1）用向量表示向量；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，可得、，利用向量的加法表示；
（2）由（1），过分别作的垂线，垂足分别为，得到，然后应用数量积的运算律求值.
【小问1详解】
如图所示，连接，则四边形为平行四边形，
所以，
因为点在上，且，所以，
所以.
小问2详解】
由（1）可知，，
在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为，
则，所以，
由题意知，且，
.
18. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 .
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①；②.
（1）证明：；
（2）若的平分线交于，，，求的值；
（3）求的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证；
（2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解；
（3）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角函数性质及基本初等函数的单调性可得取值范围.
【小问1详解】
若选①：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），即；
若选②：由正弦定理及，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以或（舍去），
所以；
【小问2详解】
因为，为锐角，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，；
【小问3详解】
由是锐角三角形，，，，可得，
所以，
，
令，则，在上单调递增，
而，，
所以，
所以.
19. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
（1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数；
（2）在仿射坐标系中，若，．
①当时，求；
②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合，得出方程，即可求解；
（2）①当时，利用数量积的公式，求得，，，结合向量的夹角公式，即可求解；
②由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案.
小问1详解】
因为，，
所以，
又因为，存在实数使得，即，
所以，可得，解得．
【小问2详解】
①当时，，，，
所以，
，
，
所以．
②因为，
，
，
由，得，
所以对恒成立，
又因为，所以，
解得，
因为，所以满足题意．
所以，
又因为，所以，
所以的最大值为．