江苏省无锡市江阴市2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省无锡市江阴市2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了 下列运算结果正确的是， 下列方程组的解为的是等内容，欢迎下载使用。
（满分120，考试时间100分钟）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列哪个图形是由左图平移得到的（ ）

A. B. C. D.
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列方程组的解为的是（ ）
A B. C. D.
5. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 若中不含项，则，满足的数量关系是（）
A B. C. D.
8. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 31
10. 在1，2，3，…，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（ ）
A. 7B. 1C. 3D. 9
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11. 近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺．7纳米毫米，将数据用科学记数法表示为______．
12. 已知2，3，则的值是________．
13. 在方程中，用的代数式表示，得_____．
14. 如果，那么_____ ．
15. 若是关于x完全平方式，则_____ ．
16. 一个正方形边长增加了3cm，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为________cm．
17. 如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有_____种．
18. 若a，b满足，则的值为_____．
三．解答题（共8小题，共66分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 计算：
（1）；
（2）．
21. 解方程组：
（1）
（2）
22. 先化简，再求值：，其中，．
23. 如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图．
（1）在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），线段扫过图形的面积为 ；
（2）在图（2）中画出将绕点A逆时针旋转得到的（点B的对应点为，点C的对应点为），线段与线段的位置关系为 ．
24. 如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．

（1）作边的中点D；
（2）作的平分线，交边于点E；
（3）作点C关于直线的对称点F；
（4）直接写出的长为 ．
25. 某实验室进行物体浸没实验，使用底面积为的长方体容器，初始水深为，已知每次实验物体均完全浸没．
第一次实验放入4个A型物体和3个B型物体后，水位上升至．
第二次实验放入2个A型物体和5个B型物体后，水位上升至．
（1）求每个A型物体和B型物体的体积；
（2）若第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，求此时容器内的水深．
26. 在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题．
（1）已知，
①求 m， n 的值；
②若，，求值．
（2）对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k．
2024—2025学年第二学期期中考试
初一数学试卷
（满分120，考试时间100分钟）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列哪个图形是由左图平移得到的（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平移的定义直接判断即可．
【详解】由平移知，C选项可以通过平移得到，其余选项都不可以通过平移得到，
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的定义，解题关键是平移前后图形的形状和大小不发生改变，同时图形的摆放角度也不发生改变．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原运算结果错误，不符合题意；
B、，原运算结果正确，符合题意；
C、，原运算结果错误，不符合题意；
D、，原运算结果错误，不符合题意；
故选：B．
3. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：．
根据平方差公式的形式求解即可．
【详解】解：A、不可以用平方差公式计算，不符合题意；
B、，可以用平方差公式计算，符合题意；
C、不可以用平方差公式计算，不符合题意；
D、不可以用平方差公式计算，不符合题意；
故选：B．
4. 下列方程组的解为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】把代入选项A第2个方程不成立，故错误；
把代入选项B第2个方程不成立，故错误；
把代入选项C第1个方程不成立，故错误；
把代入选项D两个方程均成立，故正确；
故选D.
5. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
6. 已知，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂的乘方法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的法则是解决问题的关键．
7. 若中不含项，则，满足的数量关系是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含项，即可求出a与b的值．
【详解】
∵不含项，
故选：C．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设客人为x人，银子为y两，根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键．
【详解】解：设客人x人，银子为y两，根据题意，得,
故选：A．
9. 如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 31
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先根据正方形的性质表示出，，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案．
【详解】解：正方形的边长为，，，
，
两个阴影部分都是正方形且面积和为60，
重叠部分的面积为
故选A．
10. 在1，2，3，…，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（ ）
A. 7B. 1C. 3D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究，根据不能被2整除也不能被5整除的数的尾数为1，3，7，9，分为10组，进行计算即可．
【详解】解：由题意可知：不能被2整除也不能被5整除的数的尾数为1，3，7，9，共分为10组，
∵，
∴每组乘积的个位数字为9，
∵，共有5个相乘，
故尾数为1；
故选：B．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11. 近年来我国芯片技术迅猛发展，麒麟系列芯片突破封锁，采用先进的7纳米工艺．7纳米毫米，将数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的是关键．
科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
12. 已知2，3，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算，根据相应的运算法则求解即可．
【详解】，
故答案为：．
13. 在方程中，用的代数式表示，得_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程进行变形，即可．
【详解】解：，
移项，得，
系数化为“”，得，
故答案为：．
14. 如果，那么_____ ．
【答案】729
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方的逆用，将转化为，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：729．
15. 若是关于x的完全平方式，则_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，结合完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
16. 一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为________cm．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了方程的应用，解题的关键是正确设出未知数，列出方程．设原来正方形的边长为acm，根据题意列出方程解答即可，
【详解】解：设原来正方形的边长为acm，则现在边长为，
根据题意可得：，
解得：
∴原来这个正方形的边长为5cm．
故答案为：5．
17. 如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有_____种．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答．
【详解】如图，
涂黑方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形，
即共计有8种；
故答案为：8．
18. 若a，b满足，则的值为_____．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，非负性，将等式左边化为两个完全平方式的和的性质，根据非负性进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：8．
三．解答题（共8小题，共66分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键：
（1）进行零指数幂，负整数指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可；
（2）进行同底数幂的乘法，积的乘方和同底数幂的除法运算即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
原式．
20 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法，熟练相关相关运算法则是解题的关键：
（1）利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可；
（2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
21. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键：
（1）代入消元法解方程组即可；
（2）加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
把①代入②，得：，解得：，
把代入①，得：，
∴方程组的解为：；
【小问2详解】
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：，
∴方程组的解为：．
22. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，4
【解析】
【分析】先提取公因式，再整理即可化简．将，代入化简后的式子求值即可．
【详解】
，
将，代入，得：．
【点睛】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键．
23. 如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图．
（1）在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），线段扫过图形的面积为 ；
（2）在图（2）中画出将绕点A逆时针旋转得到的（点B的对应点为，点C的对应点为），线段与线段的位置关系为 ．
【答案】（1）图见解析，14
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移的性质，旋转的性质，是解题的关键：
（1）根据平移规则，画出平移后的图形，根据分割法求出线段扫过图形的面积即可；
（2）根据旋转的性质，画出，判断线段与线段的位置关系即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
由图可知：线段扫过图形的面积为：；
【小问2详解】
如图，即为所求；
由图可知：，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．

（1）作边的中点D；
（2）作的平分线，交边于点E；
（3）作点C关于直线的对称点F；
（4）直接写出的长为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线和线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键：
（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可；
（2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可；
（3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可；
（4）根据线段中点定义，线段的和差关系进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
如图，点即为所求；
【小问4详解】
由作图可知：，
∴．
故答案为：3．
25. 某实验室进行物体浸没实验，使用底面积为的长方体容器，初始水深为，已知每次实验物体均完全浸没．
第一次实验放入4个A型物体和3个B型物体后，水位上升至．
第二次实验放入2个A型物体和5个B型物体后，水位上升至．
（1）求每个A型物体和B型物体的体积；
（2）若第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，求此时容器内的水深．
【答案】（1）每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为
（2）此时容器内的水深为
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
（1）先求得第一和第二次实验浸没物体总体积，再列二元一次方程组，求解即可；
（2）根据第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：第一次实验：浸没物体总体积，
第二次实验：浸没物体总体积．
列方程组，
解得：，
答：每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为；
【小问2详解】
解：，
答：此时容器内的水深为．
26. 在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题．
（1）已知，
①求 m， n 的值；
②若，，求的值．
（2）对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可；
（2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
两式相乘可得：，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵为正整数，为常数，为任意非零有理数，
∴；
综上：．