湖北省鄂南高级中学等三校联考2025届高三下学期4月模拟数学试卷（Word版附解析）

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高三数学试卷
命题学校：鄂州高中 命题教师：吕长征 胡俊峰 李来贵 审题教师：祝开 张俊勇
考试时间：2025年4月23日15：00-17：00 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 记复数的共轭复数为，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
4. 已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A B. C. 2D.
5. 如图，在下列正方体中，分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这四个正方体中， 四点共面的是（ ）
A B.
C D.
6. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A. 4B. 9C. 10D. 12
8. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知、均为正实数，且过点的直线与抛物线相切于点，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 的最小值为3
D. 的最小值为2
10. 已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为、、，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B.
C. 若函数，则在上有7个零点
D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则在上的值域为
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则有2个零点
B. 若，则的解集为
C. 在上有极小值
D. 在上有极大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2025年3月23日武汉马拉松比赛，其中有6名（4男2女）志愿者，他们决定分成两个小组，到甲乙两个赛道维护秩序，若要求每组至多4人，且女志愿者不能单独成组，则不同的方案共有______种.（用数字作答）
13. 已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足，则周长的最大值为______.
14. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，与底面所成的角分别为和，已知，当四棱锥体积最小时，其外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，四棱锥的体积为，点是棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16. 定义函数满足，且的定义域均为，，已知函数.
（1）求的解析式和定义域；
（2）求的最小值.
17. 如图，已知椭圆的离心率为，线段，分别为的长轴与短轴，四边形的面积为.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与分别交于，两点，且总有平分.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
18. 甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙；若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中.
（1）设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中次数为，求的分布列和数学期望；
（2）抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式；
（3）求证：.
19. 定义：若对任意，，，数列的第项都等于数列的第项，则称数列为数列的“分段反序数列”.已知数列的“分段反序数列”为，数列的前项和为.
（1）若，求，的值；
（2）若，求；
（3）若，证明：数列常数列.