湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期3月大联考数学试卷（解析版）

这是一份湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期3月大联考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，可得，所以，
由，解得，所以，
所以.
故选：B.
2. 在中，是边的中点，是边上靠近的一个三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
3. 已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】对于命题可以取到所有大于0的数显然成立；
时，，解得，所以.
对于命题在上恒成立.时显然成立；
时，，解得，所以.
所以是的充分不必要条件.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由知，
.
所以.
故选：D.
5. 若函数的大致图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得.
由图象知，，所以当时，；当时，.
当时，若，所以，
和图象不符，所以.所以一定有.
故选：B.
6. 锐角三角形的三个内角的对边分别是，若，则角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正弦定理得：，
所以.
又锐角三角形中，，则，即.
所以，由于锐角三角形，所以，
解得.
故选：D.
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
所以，
又，
所以.
故选：A.
8. 已知函数，对于任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
即，
所以.
设，则所求的式子转化为.
由，可知，
所以为上的偶函数.
当时，在区间上单调递减.
又为上的偶函数，所以在区间上单调递增.
又因为，所以，解得.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】BC
【解析】，结合函数的图象可知，
当时，既有最大值又有最小值.
故选：BC.
10. 若正实数满足，则（ ）
A. 的最大值是
B. 的最小值是
C. 的最大值是
D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】由基本不等式得，即，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
，当且仅当，
即时等号成立，所以最小值是9，故B错误；
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是，故C正确；
，
当时，取得最小值，故D正确.
故选：ACD.
11. 下图是以为圆心，半径分别是1和2的两个同心圆，现在小圆上任取一点，在大圆上任取两点，则（ ）
A. 的最小值是
B. 当时，
C. 当三点共线时，为定值
D. 当的面积最大时，
【答案】ABCD
【解析】，
当时，取得最小值，故A正确；
取的中点，
因为，所以，所以，
所以，故B正确；
当三点共线时，连接交大圆与，
由大圆同弧对应的圆周角相等，可得，
又，所以，
所以，
所以，易知，
所以，
所以，定值，故C正确；
对于D，
由对称性可取，当固定时，要使得三角形最大需满足到的距离最大，
此时，如图，可设，
此时，
设，
则，
令，
可得：，记，
当，即，
即，单调递增，
当，即，即即，单调递减，
所以当，取得最大值，
此时，
即，
同理可得，
即当的面积最大时，，
即，D正确.
故选：ABCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题分，共15分.
12. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意，，得.所以的取值范围是.
13. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“...”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得.类比上述过程，则__________.
【答案】
【解析】令，则两边平方得，则，
即，解得或（舍去）.
14. 的内角的对边分别为，已知，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
，
可得，因为，可得，
可得，由，
即，
所以，
可得，即，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
又，所以，即的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若关于的方程在上有两解，求.
解：（1）因为，
，
所以
，
所以的最小正周期为.
由，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）将的图象向左平移个单位，得，
从而，
因为，所以，
令，由已知可得当时，
方程有两个不同的解，，
所以当时，函数与的图象有两个不同的交点，
作函数，的图象可得，
结合的图象可得或.
当时，，故；
当时，，故.
16. 如图，在中，是的中点，点满足与交于点.
（1）设，求实数值；
（2）设是上一点，且，求的值.
解：（1）以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则.
由，得，所以.
由是的中点，得，所以.
设，则.
因为三点共线，
所以，即①，
因为三点共线，
所以，即②，
联立①②解得点的坐标为，所以.
所以，所以实数的值为.
（2）因为上的点满足，
设，则.
因为，所以，解得，所以点的坐标为，
所以.
又，所以
17. 已知函数为偶函数.
（1）若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）若，证明：.
解：（1）因为为偶函数，所以，
所以，所以，
又，所以.
不等式恒成立，即恒成立，
因为，
所以，
令，当且仅当时，等号成立，
因为函数在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围为.
（2）由，得，即，
设函数，则在上单调递增，因为，
，
所以，
设任意
，
因为，所以，即，
所以在上单调递增，则，
因为，
，即.
18. 通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本3万元，每生产万件，需要额外投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不少于万件时，（万元）.已知每件产品售价元，且生产的产品在当年可全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？
（注：若，当且仅当时等号成立）
解：（1）因为每件商品售价为元，则万件的商品销售收入为万元；
根据题意得，当时，；
当时，；
所以.
（2）当时，
，
当且仅当，即时，有最大值；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以当年产量为万件时，利润最大，最大利润为万元.
19. 设，集合，且，称为的生成集，为的伴生集.用表示集合中元素个数，定义.
（1）当时，求和；
（2）是否存在含有三个元素的正整数集合，使得和同时取最小值？若存在，给出一种集合；若不存在，请说明理由；
（3）当时，求的最小值，并给出此时的集合.
解：（1）由，可得：；
所以.
（2）不存在，理由如下：
假设存在这样的三元正整数集合满足条件，不妨设.
考虑：注意到，所以.
当时，，此时，
所以.
事实上，，
所以当取最小值时，一定有.
考虑：注意到，所以.
当时，，此时，
所以.
事实上，，
所以当取最小值时，一定有，所以.
即，此时，矛盾.
所以满足上述条件的集合不存在.
（3）当时，不妨假设，
此时总有，所以.
对应的，考虑中元素个数最多的情况，
此时显然有互不相同，所以.
所以，
下面证明当时，等号成立.
事实上，，
且在和之间的所有整数值都取得到，所以此时.
对于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
从小到大排序为：，，，，，，，，，
；
显然这10个数互不相等，此时.
综上，当时，，
即为的最小值.