江苏省常州市2024-2025学年高二下学期4月期中质量调研 数学试题（含解析）

这是一份江苏省常州市2024-2025学年高二下学期4月期中质量调研 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知点，若向量，则点B的坐标是（ ）.
A．B．C．D．
2．设随机变量服从正态分布，则等于（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
3．已知直线的一个方向向量为，且直线与过和两点的直线垂直，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为. 若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为
B．的单调递减区间为
C．的极值点有两个
D．直线与曲线有两个不同的交点
7．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．设，则（ ）
A．的极大值为1B．与有不同的极大值
C．时，D．时，
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列关于随机变量的说法正确的是（ ）
A．若服从正态分布，则
B．服从两点分布，且，设，那么
C．若服从超几何分布，则期望
D．若服从二项分布，则
10．已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数有两个极值点，且点和点关于点对称
B．若关于的方程有一解，则
C．若在上有极小值，则
D．若在上有最大值3，则
11．如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ）
A．异面直线和所成的角为
B．平面和平面有相同的法向量
C．异面直线和的距离为
D．二面角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设，且，则 .
13．如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ．
14．已知函数的最小值是，则实数 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，．
(1)若，求；
(2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值．
16．设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值：（其中e为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的极大值；
(3)若在上存在减区间，求实数的取值范围．
17．如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，为底面圆周上异于一点，且四边形是边长为2的正方形．
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
18．某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
(1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比；
(2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且．
①若落在和落在内的概率相等，求的值；
②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望．
19．已知函数．
(1)若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围；
(2)若，且有两个极值点，其中，问：是否存在实数，使得成立？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，试说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据空间向量的坐标表示可得.
【详解】由空间向量的坐标表示可知，，
所以，
所以点B的坐标为.
故选：B
2．【答案】C
【详解】因为且，所以，
所以.
故选C.
3．【答案】A
【详解】已知，，根据向量坐标运算，可得.
因为直线与过、两点的直线垂直，所以直线的方向向量与垂直.
根据向量垂直的性质，可得.
化简得,解得.
故选A.
4．【答案】C
【详解】如图，连接，
正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形，
，
设点到平面的距离为，
由，得，
可得，则点到平面的距离为．
故选C．
5．【答案】A
【分析】由已知条件，直接使用全概率公式即可得到结果.
【详解】设分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”，则由已知条件知，，，这得到.
故.
故选A.
6．【答案】D
【详解】因为，定义域为，
所以，
对于A，因为,，所以切点为，切线斜率，切线方程为，故A不正确；
对于B，，得且，所以的单调递减区间为和，故B不正确；
对于C，令，得，故的极值点不可能有两个，故C不正确
对于D，令，则.
又，
令，则
所以在上单调递减，在上单调递增,
所以，即在恒成立，
所以在上单调递增，
故在上有唯一零点.
当时，，所以在上单调递减，
而，.
故在上有唯一零点.
综上，有两个零点，即直线与曲线有两个不同的交点.故D正确.
故选D.
7．【答案】C
【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案.
【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件，
，
，
则.
故选C.
8．【答案】D
【详解】由，得，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，极大值为，故A错误；
由，得，得，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，极大值为，
与的极大值相同，故B错误；
当时，函数单调递增，
又时，，所以，
而时，，所以，故C错误；
当时，，所以，故D正确.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，若服从正态分布，则，由方差的性质可知：，故选项A错误；
对于B，若服从两点分布，且，所以.
又，所以，故选项B正确；
对于C，若服从超几何分布，则根据超几何分布的期望公式可知：，故选项C正确；
对于D，若服从二项分布，则由二项分布的，故选项D正确.
故选BCD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，，令，则，
且，对应点为，因为，
所以关于点对称，故A正确；
对于B，因为，所以当时，，
所以在上单调递减，当或时，，
所以在上单调递增，且，
画出简图为
结合图象知，有一解则或，故B错误；
对于C，结合图象，为极小值点，所以在上有极小值，则，故C正确；
对于D，令，则或，
结合图象知，在上有最大值3，则，故D正确，
故选ACD.
11．【答案】ABC
【详解】连接、交于点，连接，，
因为四边形为正方形，则，
又因为八面体的每个面都是正三角形，所以，，三点共线，且面，
所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
对于A：，
设异面直线与所成角为，
则，
所以，即异面直线与所成角大小为，故A正确；
对于B：，
设面的一个法向量为，
则，取，则，，则，
因为
设面的一个法向量为，
则，取，则，，则，
所以平面和平面有相同的法向量，故B正确；
对于C：在线段任取一点，在线段任取一点，链接
则可设，
因为，
所以，
则
当时，即为异面直线和的距离，
所以，则，
所以，故异面直线和的距离为，故C正确；
对于D：因为，
设面的一个法向量为，
则，取，则，，则，
所以，
又因为面与所成的二面角的平面角为钝角，
所以二面角的平面角的余弦值为，故D错误；
故选ABC.
12．【答案】
【详解】，,,
，
.
13．【答案】
【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，
设，，则，
故，所以，
则，
因为为钝角，而三点不共线，
故，
解得，即的取值范围为.
14．【答案】
【详解】因为，所以，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，即在上单调递增，
又，
则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
故函数的最小值是，所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知，，可得,解得.
所以，则.
根据向量模的计算公式可得.
（2）已知，，,
先求出.
因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面.
即存在实数，使得，则.
由此可得方程组.由可得，将其代入中，得到，解得.
把代入，可得.
再把，代入，
可得，解得.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，可得.
曲线在点处的切线斜率为.
将直线，化为斜截式，其斜率为.
因为曲线在点处的切线与直线垂直，根据两直线垂直斜率之积为，可得.
化简方程，解得.
（2）由（1）知，则，.
令，即，因为，所以，解得.
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
所以在处取得极大值，.
（3）因为，对求导得.
因为在上存在减区间，所以在上有解，
即在上有解，等价于在上有解，也就是在上有解.
令，对求导得.
令，即，解得或（舍去）.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在处取得极小值，也是最小值，.
所以.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为为底面圆周上异于一点，
可得：,
又四边形是边长为2的正方形，得，
又平面，
所以平面，又在平面内，
所以，又为平面内两条相交直线，
所以平面，
（2）
解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，所以，
取的中点，连接，，，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以，
所以二面角的正弦值
18．【答案】(1)
(2)①；②分布列见解析，.
【详解】（1）由题意得：，，，，
所以，，
所以.
所以事件发生的条件下事件发生的似然比为.
（2）①已知，且，落在和落在内的概率相等，
根据正态分布的对称性，.
②因为，所以从一线工作者中抽1人为轻压力工作者的概率为：.
所以从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数，即：
的可能取值为：
且，，
，.
所以的分布列为：
且.
19．【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由，，
则，
因为函数在上单调递减，
所以对于恒成立，
则对于恒成立，
则对于恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，则，
即实数的取值范围为.
（2）由（1）知，，，
令，得，
因为有两个极值点，其中，且，
则，
即，则，则，
则
，
由，
则，
设，，
则，
则函数在和上单调递增，
又，且时，，
则，则.
工作强度指数
人数
10
81
9
名称
无压力工作者
轻压力工作者
重压力工作者
0
1
2
3