广西名校联合2023−2024学年高二下学期联考 数学试题（含解析）

这是一份广西名校联合2023−2024学年高二下学期联考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数在处的导数为3，则（ ）
A．3B．C．6D．
2．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（ ）
A．18种B．36种C．68种D．84种
3．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值为B．的极大值为
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
4．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A．B．20C．D．15
5．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数在处有极值，则等于（ ）
A．B．16C．或16D．16或18
7．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，则有（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列求函数的导数正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第7项
D．有理项共4项
11．身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A,C,D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与同学不相邻，共有种站法
C．A,C,D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
12．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有两个零点
C．直线是的切线
D．点是的对称中心
三、填空题（本大题共4小题）
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
14．如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
15．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 .
16．已知函数，若函数=0恰有一个实根，则实数的取值范围是
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求在上的最值.
18．若，且．
(1)求实数a的值；
(2)求的值．
19．若的展开式中，第二､三､四项的二项式系数成等差数列．
(1)求的值；
(2)此展开式中是否有常数项？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．
20．已知0，1，2，3，4，5，6共7个数字．
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数？（结果用数字作答）
21．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有一个零点，求的取值范围．
22．已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，证明：；
（2）设，若对，均有，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.
【详解】因为函数在处的导数为3，
所以，
所以．
故选B.
2．【答案】B
【分析】由题意：2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案.
【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况:
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.
②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有种方法.
故一共有36种分配方法.
故选B.
3．【答案】B
【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值.
【详解】因为，所以，
令，得或；令，得；
所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
所以在处有极大值，极大值为；
在处有极小值，极小值为.
故选B.
4．【答案】A
【分析】首先根据题意得到的第项为，再令求解即可.
【详解】的第项为，
令，则，
所以的展开式中，含项为，系数为.
故选A.
5．【答案】D
【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选D.
6．【答案】A
【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可.
【详解】，
若函数在处有极值8，
则 且，即 ，
解得：或 ，
当时，，此时不是极值点，故舍去，
当时，，
当或时，，当，故是极值点，
故符合题意，
故，
故，
故选A.
7．【答案】C
【分析】根据函数奇偶性，以及求导判断函数的单调性，即可求解相应不等式.
【详解】，
，为奇函数，
则，
，，
，为减函数，
又，
则，
，
或.
故选C.
8．【答案】C
【分析】函数，则，确定函数的单调性，通过单调性可确定大小.
【详解】把a，b，c变形得，，，
所以构造函数，则.
令，则在上恒成立，
所以在区间上单调递增，因为，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
故选C.
【方法总结】根据题意构造函数，令，确定函数的单调性，通过单调性可确定大小.
9．【答案】BC
【分析】利用导数的运算法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D错误；
故选BC.
10．【答案】AC
【分析】根据二项式定理及二项式系数的性质、各项系数之和、展开式通项性质逐项判断即可得结论.
【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故正确；
令，得所有项的系数和为，故错误；
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故正确；
因为展开式通项为，
所以当为整数时，即时为有理项，共有5项，故D错误.
故选AC.
11．【答案】ABD
【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论的位置即可判断D．
【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法，故A正确；
对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法，故共有种站法，故B正确；
对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况，捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误；
对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法；
当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种，共有种，
故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确；
故选ABD．
12．【答案】BD
【分析】对于A，极值点不是点，由此即可判断；对于B，令即可判断；对于C，由即可判断；对于D，由即可判断.
【详解】
对于A，令，解得，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以有两个极值点，故A错误；
对于B，令，得或，
所以有两个零点，故B正确；
对于C，因为，所以直线不可能是的切线，故C错误；
对于D，因为，
所以点是的对称中心，故D正确.
故选BD.
【关键点拨】A选项的关键是明确极值点不是“点”，由此即可顺利得解.
13．【答案】80
【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
令，则，有.
故答案为：.
14．【答案】48
【分析】利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色.
【详解】按照分步计数原理，
第一步：涂区域A，有4种方法；
第二步：涂区域B，有3种方法；
第三步：涂区域C，分两类：（1）区域C与A同色，则区域D有2种方法；（2）区域C与1不同色，则区域C有2种方法，区域D有1种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：48.
15．【答案】
【解析】若恰好有三个单调区间,则应有两个不同的零点,据此列式求解即可.
【详解】,则,
若函数恰好有三个单调区间,
则有两个不同的零点,
即有两个不同的根,
所以且,
故答案为：.
16．【答案】
【分析】利用导数求出的单调性，即可得到的取值情况，依题意函数与恰有一个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为，
当时，则，
所以当时，当时，所以在上单调递增，
在上单调递减，
即在处取得极大值，又，
且当时，当时，当时，，
当时，则，
所以在上单调递减，且，当时，
因为函数=0恰有一个实根，即恰有一个实根，
即函数与恰有一个交点，
所以或，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【方法总结】用导数求出的单调性，即可得到的取值情况，根据题意把问题等价为函数与恰有一个交点，即可求出参数的取值范围.
17．【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为16.
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再根据点斜式方程即可得切线方程；
（2）求出函数在上的所有极值和，通过比较即可得最值.
【详解】（1）因为，所以.
因为，，
所以所求切线方程为，即.
（2），令，得或.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，取极大值；当时，取极小值，
又因为，，
所以在上的最小值为，最大值为16.
18．【答案】(1)1；
(2)2.
【分析】（1）根据给定条件，利用二项式定理求出的表达式即可计算作答.
（2）利用赋值法求出，再取即可求解作答.
【详解】（1）依题意，，因此，解得，
所以实数a的值是1.
（2）由（1）知，，当时，，
当时，，
因此，
所以.
19．【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得.
（2）根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】（1）由题意得：，
，
化简得：，
解得：或（舍去），所以.
（2）不存在，理由如下：
且，
时，解得，
所以展开式中不存在常数项.2
20．【答案】(1)720
(2)420
(3)220
【分析】（1）分两步，先排最高位，其余的3个位置没有限制任意排；
（2）分末尾是0，和末尾是2，4，6排列；
（3）分末尾是0和5排列.
【详解】（1）先排最高位有6种方法，其余的3个位置没有限制，任意排，有种方法．
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数为；
（2）末尾是0，则有＝120个；末尾不是0，则末尾是2，4，6，有个，
共有120+300＝420个．
（3）5的倍数末尾是0，则有＝120个；末尾是5，有个．
共有120+100＝220个．
21．【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）根据题意转化为在有一个根，即直线与函数在上有一个交点，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，进而确定的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，可得
当时，恒成立，函数在上单调递减；
当时，令，可得，令，可得，
故函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：函数在有一个零点，等价于方程在有一个根，即方程在有一个根，
即直线与函数在上有一个交点，
令，可得，
令，即，解得；令，即为，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时最大，，又因为，
当时，，且时，，当时，，
所以当或时，函数有一个零点，即的取值范围为.
【方法总结】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
22．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用条件求出，然后研究函数的最值即可证明不等式；
（2）原不等式等价于，分类讨论研究函数的单调性，结合极值即可得到实数的取值范围．
【详解】（1）证明：因为，所以切线的斜率．
又因为切线与直线平行，所以，解得，
所以．
，
由得，则函数的单调递增区间为；
由得，则函数的单调递减区间为，
所以在处取极大值，也为最大值，
且．所以；
（2）证明：由得，
整理得．
设，则在上
恒成立，
①当时，，在上单调递增，依题意得．满足题意；
②当时，
由得，则函数在上单调递减，
由得，则函数在上单调递增，
所以在处取极小值，也为最小值．
．
依题意得．可得，解得．
综上可得实数的取值范围为．