广西百所名校2023-2024学年高二下学期入学联合检测数学试卷(含答案)
展开一、选择题
1.已知等比数列的首项为,公比为,则该数列的第3项为( )
A.B.C.6D.9
2.曲线在点处的切线的斜率为( )
A.5B.6C.7D.8
3.在空间直角坐标系中,已知平面,的一个法向量分别为,,则与的夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
4.椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为( )
A.B.C.2D.
5.在四面体ABCD中,,,则( )
A.B.
C.D.
6.现有3个数列:,,.其中递增数列的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
7.已知过点的直线l与圆M:交于A,B两点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8.已知甲植物生长了一天,长度为,乙植物生长了一天,长度为.从第二天起,甲每天的生长速度是前一天的倍,乙每天的生长速度是前一天的,则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是(参考数据:取,)( )
A.第6天B.第7天C.第8天D.第9天
二、多项选择题
9.若直线:,:,:,:,则( )
A.B.与之间的距离为C.D.与的倾斜角互补
10.在数列中,,且,则( )
A.B.为等比数列
C.D.为等差数列
11.已知,分别是椭圆M:的左、右焦点,点P在椭圆M上,且,则M的离心率可能为( )
A.B.C.D.
三、填空题
12.抛物线的准线方程为________.
四、双空题
13.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线:和:上,且AB的中点为,则________,直线AB的一般式方程为________.
14.已知向量在向量上的投影向量的模为,则________,使为整数的n的值按照从小到大的顺序排列,得到的新数列的前n项和________.
五、解答题
15.在等差数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
16.已知点,,动点P满足,记点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)若A,B是C上不同的两点,且直线AB的斜率为5,线段AB的中点为Q,证明:点Q在直线上.
17.如图,四棱锥的底面ABCD是平行四边形,是边长为2的正三角形,平面平面ABCD,,,E为棱PD的中点.
(1)证明:平面PAB.
(2)求直线BE与平面PAC所成角的正弦值.
18.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若对恒成立,求a的取值范围.
19.已知A,B为抛物线C:上的两点,是边长为的等边三角形,其中O为坐标原点.
(1)求C的方程.
(2)过C的焦点F作圆M:的两条切线,.
①证明:,的斜率之积为定值.
②若,与C分别交于点D,E和H,G,求的最小值.
参考答案
1.答案:A
解析:该数列的第3项为.
2.答案:B
解析:因为,所以曲线在点处的切线的斜率为.
3.答案:D
解析:设,,则,所以与的夹角的余弦值为.
4.答案:B
解析:椭圆的上顶点为,双曲线的渐近线方程为,则椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.
5.答案:C
解析:由题意得
.
6.答案:C
解析:易知,分别是递增、递减数列.设函数,则在上单调递增,
所以在上单调递增,所以是递增数列.
7.答案:D
解析:因为,所以点P在圆M内.易得,当时,取得最小值,且最小值为.
8.答案:C
解析:由题意得甲、乙每天的生长速度均为等比数列,两个等比数列分别设为,,其前n项和分别设为,,则,.
由,得,
解得或(舍去),
由,得.
因为.
所以n的最小值为8.
9.答案:BCD
解析:由,得,所以与重合,,A错误,C正确.
与之间的距离为,B正确.
因为与的斜率互为相反数,所以与的倾斜角互补,D正确.
10.答案:ABD
解析:因为,且,
所以,,A正确,C错误.
因为,所以,又,
所以,所以为等比数列,且首项为3,公比为3,
所以,所以,
所以为等差数列,且公差为3,B,D均正确.
11.答案:AC
解析:由题意得,
则,.
由,,得,即,
得,
所以M的离心率的取值范围为.故选AC.
12.答案:
解析:因为,所以,所以抛物线的准线方程为.
13.答案:1;
解析:由题意得,得.
设,
由,
得,
即,,则直线AB的方程为,即.
14.答案:5;(或)
解析:因为,所以.
通过计算可得,当或时,均不是整数,
当时,.由此可得新数列为5,18,31,44,……,该数列是首项为5,公差为13的等差数列,
所以.
15.答案:(1)
(2)(或)
解析:(1)设的公差为d,则,
解得,
所以.
(2)由(1)知,
所以
(或).
16.答案:(1)
(2)证明见解析
解析:(1)因为,
所以根据双曲线的定义可知,点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为4的双曲线的右支.
由,,得,,
所以C的方程为.
(2)证明:设,,
则,
两式相减并整理得,
设,依题意可得,
所以,
即,
所以,
即,所以点Q在直线上.
17、
(1)答案:证明见解析
解析:(1)证明:,
,即.
平面平面ABCD,平面平面,
平面PAB.
(2)答案:
解析:如图,分别取AB,BC的中点O,F,连接OP,OF.
,平面PAB.
以O为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,,
设是平面PAC的法向量,则,
令,得,则,
故直线BE与平面PAC所成角的正弦值为.
18.答案:(1)在,上单调递增,在上单调递减
(2)
解析:(1),则,
令,得,.
当时,,在R上单调递增.
当时,令,得,令,得,
所以在,上单调递增,在上单调递减.
当时,令,得,
令,得,
所以在,上单调递增,在上单调递减.
(2)当时,在上单调递增,则,
所以满足题意.
当时,在处取得极大值,在处取得极小值,
所以,
解得,
当时,在处取得极大值,在处取得极小值,
所以,
解得,
综上,a的取值范围为.
19.答案:(1)
(2)①证明见解析;②最小值为
解析:(1)易知A,B关于x轴对称,连接AB,交x轴于点M(图略).
不妨设,则,
由题意得,
得,
则,得.
故C的方程为.
(2)①证明:由(1)得,易得,的斜率均不为0,
设:,:.
由,
得,
同理可得,
则m,n可以看作方程的两根,
易得,
所以,
所以,的斜率之积为,是定值.
②设,,,,
由,
得,
易得,则,
所以,
同理可得,
由,得,
则得,,
所以
,
当,即时,
取得最小值,且最小值为.
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