河南省豫东部分名校2025届高三下学期模拟测试（三） 数学试题（含解析）

这是一份河南省豫东部分名校2025届高三下学期模拟测试（三） 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数满足，则的实部与虚部之和为（ ）
A．B．C．1D．
2．如表是某公司员工月收入的资料.
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）
A．平均数和众数B．平均数和中位数
C．中位数和众数D．平均数和方差
3．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面向量满足，与的夹角为且，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
6．存在三个实数，使其分别满足下述两个等式：
（1） （2）
其中M表示三个实数中的最小值，则（ ）
A．M的最大值是B．M的最大值是
C．M的最小值是D．M的最小值是
7．对于两个实数，我们定义：，有下列说法：
①；
②；
③若，则.
其中说法正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
10．设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 是的环
B．若，则存在的一个环，含有8个元素
C．若，则存在的一个环，含有4个元素且
D．若，则存在的一个环，含有7个元素且
11．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：若，则）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
三、填空题（本大题共3小题）
12．设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 .
13．在中，内角所对的边分别为.已知的面积为，，，则的值为 ．
14．已知圆台的上､下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是 ；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，．
(1)求E的方程；
(2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程．
17．如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2 所示的五棱锥．
(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
18．在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为．
(1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；
(2)某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案：
方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止．
方案二：从袋中进行有放回摸球次．
分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理．
19．已知函数的定义域和值域分别为，若函数满足：（i）的定义域为；（ii）的值域为；（iii），则称与具有关系.
(1)若，判断下列两个函数是否与具有关系，并说明理由；
①；②.
(2)若与具有关系，证明：函数的图象与的图象关于直线对称；
(3)已知函数与具有关系，令.
①判断函数的单调性；
②证明：.
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简求得，结合复数的概念，即可求解.
【详解】因为，所以，则，
所以的实部为，虚部为，则的实部与虚部之和为.
故选D.
2．【答案】C
【分析】求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可.
【详解】公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25（人），
该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有24人这此数据及以上，
因此众数能够反映该公司全体员工月收入水平；
月收入由小到大排列，3400为第13个数，因此该公司员工月收入的中位数为3400元；
在25名员工中在此数据及以上的有13人，则中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平，
而25名员工月收入的平均数（元）
受极端数据45000，18000等影响，平均数偏离多数人的收入水平，而方差是表示数据波动大小的量，
所以能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数.
故选C.
3．【答案】C
【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；
又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，
综合知“身正”是“令行”的充要条件，
故选C．
4．【答案】C
【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，
因为，所以，即，
由于，所以，
由可知，所以，而，
由可知，即的方程为．故C正确.
故选C.
5．【答案】B
【详解】依题意，，
由，得，
即，当且仅当同向共线时取等号，
于是，解得，
所以的最大值为.
故选B
6．【答案】B
【详解】由已知得，中必有个正数，1个负数，
设，，则，
因为，所以，
所以，即，
所以，由得，，即，
所以，
故选B．
7．【答案】B
【详解】两个实数，.
①，故①错误；
②
，故②正确；
③若，
由定义可得，
令，，
则等式左边，右边，
故左边右边，即满足条件，
但当，时，
,
即，不满足，故③错误；
综上所述，三个说法中正确的只有1个.
故选B.
8．【答案】D
【详解】的定义域是，，令，
所以，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
要使恰有两个极值点，则，解得，
此时，
所以在上有唯一的零点，
令，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，
所以，
所以在上有唯一的零点，
综上，当时，在上有两个不同的零点，且零点两侧的函数异号，
所以a的取值范围是．
故选D．
9．【答案】ABD
【详解】因为点在函数的图象上，
所以，且，所以.故A正确；
因为，由，，
得函数的对称中心为：，，
当时，得对称中心为：，故B正确；
.
其对称轴为：，，所以不是函数的对称轴，故C错误；
，
由，，.
所以函数的单调减区间为：，，
因为，，
所以函数在区间上单调递减，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】ABC
【详解】由题意知：①，②若，则且，
对于A，全集且，
满足且当时，可得且，所以A正确；
对于B，由的子集，共8个元素，
若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确；
对于C，若，可得，
所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确；
对于D，若，
可得，， ，
，，且，
所以集合中至少有8个元素，所以D错误.
故选ABC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率
大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A正确；
对于B，由，得，
又，
于是，即，
因此，即，则，B错误；
对于C，
，C正确；
对于D，，
设，，
解得，，由，
解得，即，
所以取得最大值时，的估计值为53，D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】由题意知，，，
所以，解得；
又，所以，
所以椭圆的离心率为．
13．【答案】
【详解】因为，所以＝，
又，故
解方程组，得
由余弦定理得，解得.
14．【答案】
【详解】圆台外接球的球心必在圆台的轴线上，因为在圆台外，则球心在下底面下方，
设到下底面的距离为，则，所以，
所以，
所以圆台的外接球表面积为
，
易知在时单调递减，且，
所以．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
得，即，
当时，，
两式相减得，
化简得，
当时，，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
.
16．【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）由题意可知：，直线的斜率存在且不为0，
此时直线AB、CD均与抛物线相交，

设，则，
联立方程，消去可得，
则，
可得，
若，根据抛物线的对称性不妨令直线的倾斜角为，即，
可得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）可知：，，，
且，
则，即，
同理可得：，
由题意可知：，
则，
因为，解得，
则，，即，.
17．【答案】(1)总有平面平面，证明详见解析
(2)存在，是的靠近的三等分点，理由见解析.
【详解】（1）折叠前，因为四边形是菱形，所以，
由于分别是边，的中点，所以，
所以，
折叠过程中，平面，
所以平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）存在，理由如下：
当平面平面时，由于平面平面，平面，，
所以平面，由于平面，所以，
由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
依题意可知
，，
设，则，
平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
则，
故可设，
设平面与平面所成角为，
由于平面与平面所成角的余弦值为，
所以，
解得,
所以当是的靠近的三等分点时，平面与平面所成角的余弦值为.
18．【答案】(1)；
(2)答案见解析
【详解】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，
则，，
所以；
（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，
则的可能取值为，
且，，，
，，，
所以的分布列为：
则
，
“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，因为，
所以的分布列为，
即的分布列为：
所以，则，
因为，，所以“方案二”估计的值更合理.
19．【答案】(1)与①不具有关系，详细见解析，与②具有关系，详细见解析；
(2)证明见解析；
(3)①单调递增，详细见解析，②证明见解析.
【详解】（1）根据题意知的定义域为，值域为，
①的定义域为，值域为，满足（i）（ii），
，所以与①不具有关系；
②的定义域为，值域为，满足（i）（ii），
，满足（iii），
所以与②具有关系.
（2）设上任一点为，上任意一点为则，
若与具有关系，则，则，
，
这就意味着与互为反函数，则互为反函数的图象关于直线对称；
（3）①由(2)知若与具有关系，则与互为反函数，
函数，则函数，
，对求导，
可得，令，
，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，
所以，所以，
则单调递增.
②根据题意知，
当时，，令，
则，
令，则，
所以单调递增，则，
所以，则单调递增，
则，
所以，
则
月收入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3300
1000
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
0
1
0
1