2024-2025学年安徽省芜湖市高一数学下学期7月期末考试（附答案）

这是一份2024-2025学年安徽省芜湖市高一数学下学期7月期末考试（附答案），共22页。试卷主要包含了 已知复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某校高一年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配，那么男生、女生应分别抽取的人数为（）
A. 75；75B. 90；60C. 60；90D. 100；50
2. 在中，，，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
3. 下列四个命题，真命题为（）
A. 两两相交三条直线确定一个平面
B. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
C. 若直线a，b与直线c所成角相等，则
D. 若两条平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直
4. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（）
A. B. C. D.
5. 在三棱锥中，，，E，F分别是，中点，，则直线与所成的角的余弦值为（）
A. B. C. D.
6. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“x”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数.异常值是明显偏离样本的个别值.已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（）
A. 一班成绩比二班成绩集中B. 一班成绩上四分位数是80
C. 一班有同学的成绩超过140分D. 一班的平均分高于二班的平均分
7. 某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与（如图所示）.现测得，，，在点，测得塔顶的仰角分别为，则塔高约为（）（精确到，参考数据：）
A. B. C. D.
8. 在一次考试中有一道4个选项双选题，其中A和B是正确选项，C和D是错误选项，甲，乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（）
A. 事件M与事件N相互独立B. 事件M与事件Y互为对立事件
C. 事件X与事件Y相互独立D. 事件N与事件Y为互斥事件
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. 是纯虚数D. z在复平面内对应的点在第二象限
10. 安徽师范大学位于安徽省芜湖市，是安徽省人民政府与中华人民共和国教育部共建高校、国家“中西部高校基础能力建设工程”项目高校.在该校建校96周年之际，为回馈师生，学校安排专业人员驾船于校内花津湖中打捞“花津鱼”，为师生们筹备了一场为期三天的春日鱼宴.为调查该活动中同学们的参与情况，调查部门认为该活动大部分同学参与标志为连续调查10次，每次未参与的人数不超过7人.在过去10次中，甲、乙、丙、丁四个调查小组调查的未参与人数的信息如下，一定符合该活动大部分同学参与标志的是（）
A. 甲组：中位数为2，极差为5
B. 乙组：总体平均数为2，总体方差为3
C. 丙组：总体平均数为1，总体方差大于0
D. 丁组：总体平均数为2，众数为2
11. 已知正方体的体积为8，E是线段（不含端点）上的动点，下列说法正确的是（）
A. 不存在点E，使得直线平面
B. 对任意点E，直线都不垂直于平面
C. 过，，E的平面截该正方体所得的截面面积为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 有编号分别为1，2的2个红球和2个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是_______.
13. 底面半径为1，母线长为的圆锥的外接球的表面积为_______.
14. 在中，，，点在直线上，若的面积为，则的最小值是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，其中，.
（1）求；
（2）求
16. 马仁奇峰位于安徽省芜湖市繁昌县境内，居皖南旅游带中部，风景奇特，文化底蕴深厚，素有“皖南张家界，江滨小黄山”之称.现景区为提高服务水平，对当日购票的40名游客进行满意度调查问卷，根据所得评分，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中a的值；
（2）景区准备对本次评分较高的游客赠送小纪念品，由于纪念品数量有限，只对评分排在前13%的游客赠送，求收到纪念品的游客分数不低于多少?
（3）若从评分在的游客中随机抽出两位游客，求抽出的两位游客中至少有一位评分来自的概率.
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，E，G分别为线段，的中点，F为线段上的点.
（1）若，平面∥平面，求线段的长度．
（2）证明：平面平面；
（备注：用空间向量解答不给分）
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求A；
（2）若D为上一点，平分，且，，求的面积.
19. 如图，在梯形中，，，．把沿翻折，使得二面角的平面角为，M，N分别是和中点.
（1）若，E是线段的中点，动点F在三棱锥表面上运动，并且总保持，求动点F的轨迹的长度.
（2）若，P，Q分别为线段，上异于端点的点，满足，记分别与，所成角为，，若，求的取值范围.
（3）若，求二面角的正切值.
高一年级数学试题卷答案
注意事项：
1.本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某校高一年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配，那么男生、女生应分别抽取的人数为（）
A. 75；75B. 90；60C. 60；90D. 100；50
【答案】B
【解析】
【分析】根据分层抽样的比例，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意可得，样本中应抽取的男生有名，
样本中应抽取的男生有名.
故选：B.
2. 在中，，，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】由，知，为等腰直角三角形，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：C
3. 下列四个命题，真命题为（）
A. 两两相交的三条直线确定一个平面
B. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
C. 若直线a，b与直线c所成角相等，则
D. 若两条平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直
【答案】D
【解析】
【分析】借助正方体中直线的位置关系判断选项A，C；根据空间中两条直线的位置关系判断选项B；根据线面垂直的性质定理和判定定理判断选项D.
【详解】对于A，当三条直线相交于同一点时，如正方体中，直线不能确定平面，故A错误；
对于B，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故B错误；
对于C，若直线a，b与直线c所成角相等，如正方体中，，但与不平行，故C错误；
对于D，若两条平行直线a，b中的一条a与一个平面垂直，
则对于平面中的相交直线有，
因为，所以，所以，故D正确；
故选：D.
4. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解.
【详解】由题意可得，，
所以，
所以向量对应的复数为.
故选：.
5. 在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先作出辅助线，得到或其补角为线与所成的角，求出，结合，利用余弦定理求出余弦值.
【详解】取的中点，连接，
因为E，F分别是，的中点，
所以，故或其补角为直线与所成的角，
，
又，
故，
故直线与所成的角的余弦值为.
故选：A
6. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“x”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数.异常值是明显偏离样本的个别值.已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（）
A. 一班成绩比二班成绩集中B. 一班成绩的上四分位数是80
C. 一班有同学的成绩超过140分D. 一班的平均分高于二班的平均分
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定定义逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A，由图可得一班成绩比二班成绩集中，故A错误，
对于B，由图可得一班成绩的下四分位数是80，故B错误，
对于C，由图可得一班有异常值超过140分，故C正确，
对于D，由图可得一班的平均分低于二班的平均分，故D错误.
故选：C
7. 某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与（如图所示）.现测得，，，在点，测得塔顶的仰角分别为，则塔高约为（）（精确到，参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设塔高为，由题意可得，在中，余弦定理可得，求解即可.
【详解】设塔高为，由在点，测得塔顶的仰角分别为，
可得，
由，，可得，
在中，余弦定理可得，
所以，所以，
解得.
故选：B.
8. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中A和B是正确选项，C和D是错误选项，甲，乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（）
A. 事件M与事件N相互独立B. 事件M与事件Y互为对立事件
C. 事件X与事件Y相互独立D. 事件N与事件Y为互斥事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：
一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，
所以,,,,
因为事件与事件互斥，所以,又因为,
所以事件与事件不相互独立，故A错误；
由,所以事件与事件不互为对立事件，故B错误；
,故C错误；
“甲、乙两人所选选项完全不同”与“甲、乙两人均未选择B选项”不能同时发生，事件与事件互斥,故D错误.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. 是纯虚数D. z在复平面内对应的点在第二象限
【答案】BC
【解析】
【分析】先将复数化简成标准代数形式，后按照共轭复数概念，模长公式，纯虚数的概念和复数几何意义分别判断即可．
【详解】，则，故A错误；，故B正确；
，为纯虚数，故C正确；对于的点为，在第一象限，故D错误．
故选：BC.
10. 安徽师范大学位于安徽省芜湖市，是安徽省人民政府与中华人民共和国教育部共建高校、国家“中西部高校基础能力建设工程”项目高校.在该校建校96周年之际，为回馈师生，学校安排专业人员驾船于校内花津湖中打捞“花津鱼”，为师生们筹备了一场为期三天的春日鱼宴.为调查该活动中同学们的参与情况，调查部门认为该活动大部分同学参与标志为连续调查10次，每次未参与的人数不超过7人.在过去10次中，甲、乙、丙、丁四个调查小组调查的未参与人数的信息如下，一定符合该活动大部分同学参与标志的是（）
A. 甲组：中位数为2，极差为5
B. 乙组：总体平均数为2，总体方差为3
C. 丙组：总体平均数为1，总体方差大于0
D. 丁组：总体平均数为2，众数为2
【答案】AB
【解析】
【分析】设出最少的人数，利用极差和中位数的性质判断A，利用反证法判断B，举反例判断C，D即可.
【详解】对于A，设每次未参与的人数最少为，而中位数为2，故，
因为极差为5，所以，故符合情况，则A正确，
对于B，假设数据有1个数据为8，方差为，方差为，
故假设不成立，故此时符合情况，则B正确，
对于C，假设数据为，此时总体平均数为1，总体方差大于0，
但不满足每次未参与的人数不超过7人，故C错误，
对于D，假设数据为，满足总体平均数为2，众数为2，
但不满足每次未参与人数不超过7人，故D错误.
故选：AB
11. 已知正方体的体积为8，E是线段（不含端点）上的动点，下列说法正确的是（）
A. 不存在点E，使得直线平面
B. 对任意点E，直线都不垂直于平面
C. 过，，E的平面截该正方体所得的截面面积为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】举特殊点结合线面平行的判定定理判断A，利用异面直线的夹角证明不垂直，进而证明线面不垂直判断B，作出辅助线找到截面，判断截面为矩形，再利用矩形的面积公式判断C，将空间图形展开为平面图形，找到三点共线时线段和最小，再利用勾股定理求出长度，判断D即可.
【详解】
如图，假设E是线段的中点，连接，，
因为正方体，所以，，
故四边形是平行四边形，故，即，
而面，面，故平面成立，故A错误，
连接，，因为正方体，所以，，
故四边形是平行四边形，可得，
所以与所成夹角即为与所成夹角，且设该夹角为，
连接，而正方体的体积为8，设其边长为，
故得，解得，由勾股定理得，
，，故得，
故是等边三角形，则，得到与所成夹角为，
所以不垂直，所以直线都不垂直于平面，故B正确，
前面我们已经连接，再连接，因为正方体，
所以，，所以面，
所以四边形是平行四边形，所以四点共面，
故可得到过，，E的平面即为面，
故，所以四边形是矩形，由勾股定理得
其面积为，故截面面积为，则C正确，
我们把展开，得到如下平面图，
因为正方体，所以，，
可得是等腰直角三角形，故，
延长到，且作，连接与交于，
故得，，，
而，当且仅当共线时取等，
此时由勾股定理得，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是将空间图形展开为平面图形，然后得到共线时线段和最小，最后利用勾股定理得到所要求的长度即可．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 有编号分别为1，2的2个红球和2个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用组合求出基本事件数，列举出符合条件的事件数，求解概率即可.
【详解】首先，我们把编号为1的红球记为，编号为2的红球记为，
编号为1的黑球记为，编号为2的黑球记为，
则基本事件总数为种，符合条件的有，共4种，
且设概率为，则.
故答案为：
13. 底面半径为1，母线长为的圆锥的外接球的表面积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆锥的高，设出外接球的半径，从而列出方程，求出半径，得到外接球的表面积.
【详解】设圆锥的高为，则，
设外接球的半径为，则，解得，
故圆锥的外接球的表面积为.
故答案为：
14. 在中，，，点在直线上，若的面积为，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，过点作于，是的高，由题意可得，，进而利用基本不等式可求得最小值.
【详解】在中，，，所以，
取的中点，连接，过点作于，是的高，
由的面积为，所以，所以，
由，所以可得，所以，
由题意可得，
所以，
所以
，
当且仅当，即且与重合时取等号.
所以的最小值是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，其中，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，，进而利用向量的数量积的坐标运算可求数量积；
（2）由（1）可得，进而利用向量的模的坐标运算公式可求.
【小问1详解】
因为，
由于，
，
因此；
【小问2详解】
由（1）可得，
所以.
16. 马仁奇峰位于安徽省芜湖市繁昌县境内，居皖南旅游带中部，风景奇特，文化底蕴深厚，素有“皖南张家界，江滨小黄山”之称.现景区为提高服务水平，对当日购票的40名游客进行满意度调查问卷，根据所得评分，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中a的值；
（2）景区准备对本次评分较高的游客赠送小纪念品，由于纪念品数量有限，只对评分排在前13%的游客赠送，求收到纪念品的游客分数不低于多少?
（3）若从评分在的游客中随机抽出两位游客，求抽出的两位游客中至少有一位评分来自的概率.
【答案】（1）
（2）88 （3）
【解析】
【分析】（1）根据直方图的长方形面积之和为1计算即可；
（2）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.13对应的分数即可；
（3）根据古典概型的概率公式，结合列举法可解.
【小问1详解】
由，解得；
【小问2详解】
设收到纪念品的游客评分不低于x分
因为，对应的频率分别为0.15，0.1
所以，解得
故收到纪念品的游客评分不低于88.
【小问3详解】
有人，分别记为a，b
有人，分别记为1，2，3，4，5，6
记事件A为“在评分在中随机抽两人，至少一人评分在”，则
所以.
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，E，G分别为线段，的中点，F为线段上的点.
（1）若，平面∥平面，求线段的长度．
（2）证明：平面平面；
（备注：用空间向量解答不给分）
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接，由，可求得，由面面平行的性质可得，则F为线段上的中点，从而可求得线段的长度；
（2）由平面，得，再结合底面为正方形和线面垂直的判定定理可得平面，则，则等腰三角形的性质得，则得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论.
【小问1详解】
解：连接，因为底面，底面，所以，
所以，
因为底面是正方形，，所以,
所以，因为，所以，
由平面∥平面，平面平面，平面平面，
所以∥，又E为线段的中点，得F为线段上的中点，
所以；
【小问2详解】
证明：因为平面，平面，所以，
又底面是正方形，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，E为线段的中点，所以，
又，，平面，得平面，
因为平面，所以平面平面.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求A；
（2）若D为上一点，平分，且，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用二倍角公式将化为，再边角互化，三角恒等变换化解即可；
（2）用等面积法和用余弦定理结合即可求解．
【小问1详解】
因为
由正弦定理得
化简得
又因为
所以
由于，所以
则，即
【小问2详解】
如图所示，
因为
所以，即
由余弦定理知.即
所以，解得或（舍去）
所以．
19. 如图，在梯形中，，，．把沿翻折，使得二面角的平面角为，M，N分别是和中点.
（1）若，E是线段的中点，动点F在三棱锥表面上运动，并且总保持，求动点F的轨迹的长度.
（2）若，P，Q分别为线段，上异于端点点，满足，记分别与，所成角为，，若，求的取值范围.
（3）若，求二面角的正切值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，故只需找出过点且与直线垂直的平面即可得，结合题目所给条件，取，的中点为F，O，连接，，结合线面垂直的判定定理与性质定理即可得平面，即可得动点F的轨迹的长度；
（2）在线段上取点结合等角定理得到，，结合三角形大边对大角计算即可得；
（3）作于点S，作于点T，连接，结合题目条件，借助二面角定义可得即为二面角的平面角，从而可通过正切定义计算即可得.
【小问1详解】
梯形中，由，，，
则，又，故，则四边形是正方形，
则在三棱锥中有，，，
，平面，所以平面，
二面角的平面角即为，
分别取，的中点为F，O，连接，，则，平面，
平面，所以平面，同理平面，
由于，，平面，故平面平面，
平面，故点F的轨迹为三角形，
因此点F轨迹长度为：
；
【小问2详解】
在线段取点R使得，则，，
由于平面，平面，所以，即，
易得，，且，若，则，
即，即，又，得；
【小问3详解】
作于点S，作于点T，连，
由，得是边长为的等边三角形，则S为的中点，且，
由S为中点，易得，
由平面，平面，得，又，，
得平面，又，得，又，，
得平面，则即为二面角的平面角，
故其正切值为.
【点睛】关键点点睛：（1）中关键点在于找出过点且与直线垂直的平面即可得；（2）中关键点在于线段上取点结合等角定理得到，；（3）中关键点在于借助二面角定义找到二面角的平面角.