2024—2025学年安徽宣城高一数学下册（7月）期末考试【含答案】

这是一份2024—2025学年安徽宣城高一数学下册（7月）期末考试【含答案】，共24页。试卷主要包含了考试结束时，务必将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
考生注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域．
3．考生作答时，请将答案答在答题卷上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题券、草稿纸上作答无效．
4．考试结束时，务必将答题卡交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（）
A. 44.5B. 45C. 45.5D. 46
2. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则（）
A. 2B. 3C. D.
3. 若向量，，满足，，且，则与的夹角为（）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
4. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A. 事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
B. 事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件
C. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D. 事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互对立事件
5. 在中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且，则（）
A. B. C. D. 1
6. 如图，在正四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则EF与平面BCD所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
7. 某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中取出2个，则这2个三角形的面积之和小于另外3个三角形面积之和的概率是（）
A. B. C. D.
8. 如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分．
9. 已知复数（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（）
A. z的虚部为B.
C. D. z在复平面内对应的点在第四象限
10. 在中，若，则的形状为（）
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
11. 如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 的最小值为
D. 三棱锥内切球的半径是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若男生样本量为33，则__________.
13. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离为______．
14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线交AB于点D，且，则面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角B；
（2）若的面积为，求BC边上中线的长．
16. 已知，，.
（1）求：
（2）当实数k何值时，与垂直？
（3）若不共线，与反向，求实数k的值.
17. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．
（1）求证：平面平面PAB；
（2）求三棱锥的体积和表面积．
18. 某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照,,,,,分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数和平均数；
（3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于和的两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在内的概率．
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，．
（1）若，求：向量在向量上投影向量的模；
（2）当，且时，四棱锥是否有外接球?若有，请求出四棱锥的外接球的表面积．
（3）若，且，求二面角的正切值．
高一数学试题答案
考生注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域．
3．考生作答时，请将答案答在答题卷上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题券、草稿纸上作答无效．
4．考试结束时，务必将答题卡交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（）
A. 44.5B. 45C. 45.5D. 46
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.
【详解】将数据从小到大排序为：38，41，42，43，44，45，46，47，
因为，所以分位数为.
故选：C
2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理边角互化即可求解.
【详解】由结合正弦定理可得，
所以，
故选：D
3. 若向量，，满足，，且，则与的夹角为（）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】本题利用向量的数量积公式，代入题目所给数据，进行运算即可得出答案.
【详解】由题意可得，
且，，
计算得到，即.
又，所以与的夹角为.
故选: B.
4. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A. 事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
B. 事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件
C. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D. 事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
【答案】AC
【解析】
【分析】写出事件包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的概念作出判断.
【详解】对于A，事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中“，
与事件“两次均击中”是对立事件，故A正确；
对于B，事件“最少一次击中”包含“一次击中”与 “二次击中”，
事件“最多次击中”包含“一次击中”与 “0次击中”，
故两事件可以同时发生，不是互斥事件，故B不正确；
对于C，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D错误.
故选：AC
5. 在中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且，则（）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用，即可求出，从而可求出结果.
【详解】因为D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，
所以
，
因为，
所以，所以.
故选：A
6. 如图，在正四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则EF与平面BCD所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先构造线面角再设边长求线面角的正弦.
【详解】如图：
连接，取的中心，则G在上，连接，则平面，
作平面，E为AD的中点，则T为中点.所以为直线与平面所成的角，
设,
在中，，
则,
连接是中点，所以,
所以，故C正确；
故选：C.
7. 某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中取出2个，则这2个三角形的面积之和小于另外3个三角形面积之和的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别求出五个等腰直角三角形的面积，然后利用列举法求解即可
【详解】由题意得，
分别记为，
则从这5个三角形中任取2个，有：
，10种，
其中取出的2个三角形的面积之和小于另外3个三角形面积之和的有：
，7种，
所以所求概率为.
故选：B
8. 如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案．
【详解】延长交于点，则，
即为的中点，
连接，取中点，连接，则，
所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形，
，，
，
记边上的高为，
则解得
所以．
故选：D．
二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分．
9. 已知复数（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（）
A. z虚部为B.
C. D. z在复平面内对应的点在第四象限
【答案】BC
【解析】
【分析】根据复数代数形式的运算，复数的有关概念以及几何意义即可判断．
【详解】对于选项A，，z的虚部为，故A错；
对于选项B，，故B对；
对于选项C，，故C对；
对于选项D，，可得在复平面内点为，在虚轴上，故D错；
故选：BC.
10. 在中，若，则的形状为（）
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，结合两角和与差的正弦公式，化简得到，求得或，即可求解.
【详解】由
因为，且，
可得，
所以，可得或，
因为，所以或，所以为直角或等腰三角形.
故选：BC.
11. 如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 的最小值为
D. 三棱锥内切球的半径是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，易知，，可证平面，再由线面垂直性质定理即可得证；对于B，取中点，连接，，由，知即为异面直线和所成角，由，可推出，再由三角函数的知识即可求解；对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形，连接，交于点，此时是最小值，再结合二倍角公式与余弦定理即可求解；对于D，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心，球与平面相切于点，设三棱锥内切球的半径为，由相似于，即可求解.
【详解】对于A，如图1所示，连接，，
由正三棱锥的性质可知，，
因为为中点，
所以，，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面
所以，故A正确；
对于B，如图①，取中点，连接，，
因为、分别为，的中点，
所以，，
所以即为异面直线和所成角或其补角，
因为、分别为，的中点，
所以，
由选项A知，，同理可得，
所以，
所以,
所以，
所以，
即异面直线和所成角的余弦值为，故B错误；
对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形，
如图②所示，连接，交于点，此时是最小值，
连接，则，
所以，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
即的最小值是，故C正确；
对于D，如图③所示，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心，
球与平面相切于点，则在上，且，
在中，，
在中，,
因为为的重心，所以，
在中，，
设三棱锥内切球的半径为，
由相似于，得,
即，解得，故D正确；
故选：ACD.
图① 图② 图③
【点睛】关键点点睛：本题考查了异面直线所成角、最短距离及内切球，解题关键是作出异面直线所成角、平面展开求最值以及通过相似三角形求内切球的半径.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若男生样本量为33，则__________.
【答案】60
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可.
【详解】由分层随机抽样的定义可得，
解得.
故答案为：60
13. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用余弦定理求出，再求出，，再由利用等体积法计算可得.
【详解】因为平面，平面，所以，，
又，，，
所以，
所以，，
所以，
，
设点到平面的距离为，则，即，解得，
即点到平面的距离为.
故答案为：
14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线交AB于点D，且，则面积的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由三角形的等面积法得到，利用基本不等式得，可求面积的最小值.
【详解】若，的角平分线交AB于点D，则，
由且，得，
整理得，由，得，当且仅当时等号成立，
则最小值为，由，
面积的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角B；
（2）若的面积为，求BC边上中线的长．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）边化角加二倍角公式即可得到角B.
（2）根据，得，再根据三角形面积公式即可得到，在由正弦定理得边，再由即可得到答案.
【小问1详解】
，
，
或
或（舍）
【小问2详解】
，即，得
由正弦定理得，
设边的中点为，连接，如下图
,即
，得.
16. 已知，，.
（1）求：
（2）当实数k为何值时，与垂直？
（3）若不共线，与反向，求实数k的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求得，然后通过平方的方法求得；
（2）根据向量垂直列方程，化简求得的值；
（3）利用向量反向共线得到关于的方程，解之即可得解.
【小问1详解】
因为，，，
所以，
则.
【小问2详解】
因为与垂直，
所以，
解得.
【小问3详解】
因为与反向，
所以存在，使得，
因为不共线，所以，解得或（舍去），
所以
17. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．
（1）求证：平面平面PAB；
（2）求三棱锥的体积和表面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理先证明平面PAB，再应用面面垂直判定定理证明即可；
（2）应用线面垂直再转换顶点求体积，最后计算表面积即可.
【小问1详解】
由题可知，，，
因为，，所以为等边三角形，所以，
所以，所以．
因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．
又平面PBE，所以平面平面PAB．
【小问2详解】
由（1）得平面PAB，所以，
由三角形面积公式得，
故．
由（1）得，，，所以，
由三角形面积公式得，，
故三棱锥的表面积为．
18. 某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照,,,,,分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数和平均数；
（3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于和的两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在内的概率．
【答案】（1）
（2）中位数约为97.5分，平均数约为93分．
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用频率之和为1，即可计算出；
（2）利用中位数和平均数运算方法即可；
（3）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽2人，在分数段内抽3人，根据古典概率公式计算即可.
【小问1详解】
由，可得．
【小问2详解】
由（1）知样本数据中数学考试成绩90分以下学生所占比例为，
110分以下学生所占比例为，
因此，中位数一定位于内，所以中位数，
根据率分布直方图，设平均数为，
则（分）；
据此可以估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数约为97.5分，平均数约为93分．
【小问3详解】
由题意分数段的人数为，
分数段的人数为，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽取2人，分别记为，，
分数段内抽取3人，分别记为，，．
设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在内”为事件A，
则样本空间，共包含10个样本点，而事件A包含7个样本点，
所以，故抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为．
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，．
（1）若，求：向量在向量上的投影向量的模；
（2）当，且时，四棱锥是否有外接球?若有，请求出四棱锥的外接球的表面积．
（3）若，且，求二面角的正切值．
【答案】（1）1 （2）有外接球，
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质可得线线垂直，进而可得平面，进而，即可求解投影向量，进而可求解，或者利用投影向量的计算公式求解,
（2）利用长方体的外接球即可求解，
（3）利用线面垂直可得平面平面，进而可得平面，即可利用二面角的垂线法求解即为二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系i求解.
【小问1详解】
因为平面ABCD，而平面ABCD，所以，
又，，PB，平面，
所以平面，而平面，
所以．
因为，所以，根据平面知识可知，
结合平面PAB，可知平面，平面，所以，
故在向量上的投影向量的模即为向量的模长1．
或者利用是和的夹角，在中，，，，，故向量在上的投影向量的模为．
【小问2详解】
“当，且时”，则四边形ABCD是长方形，可将四棱锥补成一个长、宽、高分别为、1、2的长方体，体对角线长度为，
则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，所以四棱锥有外接球，且该外接球半径为，表面积；
【小问3详解】
如图所示，过点D作于E，过点E作于点F，连接DF，
因为平面ABCD，平面，所以平面平面，
而平面平面，平面，所以平面，
平面，所以，
又，平面，所以平面DEF，
平面DEF，故,
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
因为，，，则，
在中由等面积法可得，，
所以在中，，而为等腰直角三角形，所以，
故．