2023-2024学年安徽省芜湖市高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市高二下学期7月期末考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知数列{an}是等比数列，满足a1=1，公比q=2，则a3=( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
2.直线x−2y−2=0在y轴上的截距为( )
A. −2B. 2C. −1D. 1
3.随机变量X与Y满足Y=2X+1，若D(X)=2，则D(Y)=( )
A. 8B. 5C. 4D. 2
4.为研究数学成绩x(单位：分，满分150分)与物理成绩y(单位：分，满分100分)之间的关系，随机抽取了5名同学这两科考试的成绩(取高二学年这两科所有考试成绩的均分)，统计如下表
根据表中的五组数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为y=12x+28，由此可知表中的a的值为( )
A. 78B. 85C. 88D. 90
5.正态分布密度曲线的形状酷似钟的外型，因此又被称为钟形曲线.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，且P(X>4)=0.38，则P(X<−2)=( )
A. 0.76B. 0.38C. 0.24D. 0.12
6.已知F1，F2是椭圆C:x216+y212=1的两个焦点，点P在C上，且|PF2|=3，则△PF1F2的面积为( )
A. 3B. 4C. 6D. 10
7.在(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)的展开式中，含x的项的系数是( )
A. 120B. 240C. 274D. 282
8.若函数f(x)=ex+a−12x2+1有两个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. a≤−1B. a<−1C. −10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l:y=kx−k，圆C:x2+y2=4，则下列结论正确的有( )
A. 直线l过定点(1,0)
B. 直线l与圆C恒相交
C. 直线l被圆C截得的弦长最短为4
D. 若直线l被圆C截得的弦长为 14，则k=±1
10.不透明的盒子里装有除颜色外无异的5个小球，其中红色球有3个，蓝色球有2个，不放回地从中摸出小球2次，每次取1个，则下列说法正确的是( )
A. 两次摸到的都是红球的概率为310
B. 第二次摸到的是红球的概率为34
C. 第二次摸到红球的条件下，第一次摸到蓝球的概率为12
D. 第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为25
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AA1的中点，H为底面ABCD上一点，则下列结论正确的是( )
A. 若H为BD中点，则MH⊥BD1
B. 若MH/​/平面B1CD1，则点H的轨迹长度是 22
C. 若MH= 32，则点H在圆上
D. 若直线MH与AB所成角为45°，则点H在双曲线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.y=lnx+2x在点(1,2)处的切线方程为 ．
13.若安排5名同学去校园A，B，C三个劳动基地参加劳动实践活动，每名同学都需要完成1项劳动任务，且只能去一个基地，C处需要安排2名同学，则不同的安排方案共有 种. (用数字作答)
14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，左焦点为F.若过点F的直线l斜率为 3，且与双曲线C左支交于两点，则e的取值范围为 ;过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若|AF|=13|FB|，则e= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，M，N分别为PC，PD的中点．
(1)求证：MN/​/平面PAB;
(2)求直线PB与平面ABN所成角的大小．
16.(本小题15分)
石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
单位：次
(1)由等高堆积条形图提供的信息，填写2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为试验的结果与材料有关;
(2)以实验结果成功的频率为概率，用A材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
函数f(x)=ex，g(x)=kx+b(k,b∈R)
(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，讨论函数ℎ(x)的单调性;
(2)若k>0，且f(x)≥g(x)在实数R上恒成立，求k+b的最大值．
18.(本小题17分)
抛物线E的准线方程为y=−14，抛物线E上的三个点A，B，C构成一个以B为直角顶点的直角三角形．
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)若点B坐标为(1,1)，证明：直线AC过定点;
(3)若|BA|=|BC|，求△ABC面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12n2+32n.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布⋅伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式.伯努利不等式的一般形式为：若x>−1且n为正整数时，(1+x)n≥1+nx，当且仅当n=1或x=0时等号成立．
(ⅰ)证明：数列{(ann)n}为递增数列;
(ⅱ)已知n≥4(n∈N∗)时，(1−1n+2)n<12，证明：a1n+a2n+a3n+⋯+ann<(an+1)n．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：因为a1=1，公比q=2，
所以a3=a1q2=1×22=4．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：直线方程为x−2y−2=0，
令x=0，得y=−1，
所以直线x−2y−2=0在y轴上的截距为−1．
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：因为Y=2X+1，D(X)=2，
所以D(Y)=22D(X)=8．
故选A．
4.【答案】D
【解析】解：由题意可知：x=15(100+137+116+142+125)=124，
y=15(a+89+89+97+85)=15a+72，
因为x,y在经验回归直线上，
所以15a+72=12×124+28，
即15a=18，
解得a=90．
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，
所以μ=1，
因为P(X>4)=0.38，
所以P(X<−2)=0.38．
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：∵椭圆C:x216+y212=1，
∴a=4，b=2 3，
则c= a2−b2=2，
∴|PF1|+|PF2|=2a=8，
∵|PF2|=3，
∴|PF1|=8−3=5，且|F1F2|=2c=4，
∴PF22+F1F22=PF12，
∴PF2⊥F1F2，
∴S△PF1F2=12|PF2||F2F1|=12×3×4=6．
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：因为含x的项是由(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)的5个括号中4个括号选常数仅1个括号选x，
故在(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)的展开式中，含x的项的系数为：
2×3×4×5+1×3×4×5+1×2×4×5+1×2×3×5+1×2×3×4=274．
故选C．
8.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=ex+a−12x2+1的定义域为R，
f′(x)=ex+a−x，f(x)有两个极值点，即f′(x)=ex+a−x=0有两个根，
令g(x)=ex+a−x，则g(x)有两个零点，
g′(x)=ex+a−1，令g′(x)=0，即ex+a=1，x=−a，
x>−a，g′(x)>0，g(x)单调递增；
x<−a，g′(x)<0，g(x)单调递减；
所以当x=−a时取得极大值，g(−a)=1+a，
若g(x)有两个零点，则需1+a>0−a>0，解得：−1故选C．
9.【答案】ABD
【解析】解：A选项，直线l：y=kx−k整理得：y=k(x−1)，故直线过定点P(1,0)，故A正确；
B选项，由于点(1,0)在圆O内，故直线l与圆O相交，故B正确；
C选项，当点P(1,0)为弦的中点时，直线l被圆O截得的弦最短，
此时的弦长为2 r2−OP2=2 3，故C错误；
D选项，直线l的一般方程为kx−y−k=0，
则圆心到直线的距离d=−k k2+1，
所以直线l被圆C截得的弦长为2 r2−d2=2 4−k2k2+1，
由2 4−k2k2+1= 14，解得k=±1，故D正确．
故选ABD．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，两次摸到的都是红球的概率为C32C52=310，故A正确;
对于B，第二次摸到红球的概率为 35 × 24+ 25 × 34= 35，故B不正确;
对于C，第二次摸到红球的条件下，第一次摸到蓝球的概率为 25×3435×24+25×34=12，故C正确；
对于D，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球，相当于从剩下的2个红球和2个蓝球中摸出1个蓝球，其概率为 24=12则D不正确．
故选AC．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，如图1所示：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，当M为AA1的中点，H为BD中点时，MH⊥BD，假设MH⊥BD1，则由BD,BD1⊂平面BB1D1D，BD∩BD1=B，
得MH⊥平面BB1D1D，这是不可能的，所以假设不成立，A错误；
图1 图2
对于B，设AB，AD的中点分别为P，Q，因为在在正方体ABCD−A1B1C1D1中，MP//A1B，A1B//D1C，所以MP//D1C，而D1C⊂平面B1CD1，MP⊄平面B1CD1，
所以MP/​/平面B1CD1，同理可证MQ/​/平面B1CD1，
因为MP∩MQ=M，MP,MQ⊂平面MPQ，所以平面MPQ//平面B1CD1，
因为M∈平面MPQ，所以H∈平面MPQ，而H为底面ABCD上一点，所以H∈PQ，即这时点H的轨迹为线段PQ，由PQ=12BD= 22，知B正确；
对于C，如图3所示：因为H为底面ABCD上一点，当MH= 32时，AH= MH2−AM2= 22，所以点H在以A为圆心， 22为半径的圆上，C正确；
图3 图4
对于D，过点H作HN//AB，交AD于N，连接AH，DH，MN，则∠MHN是直线MH与AB所成角，大小为45°.以A为原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图4所示：则M(0,0,12)，
设Hx,y,0，则N0,y,0，所以由MN=NH，得： y2+14= x2，所以x2−y2=14，这说明点H在双曲线x2−y2=14上，D正确．
故选BCD．
12.【答案】3x−y−1=0
【解析】解：由函数y=lnx+2x知y′=1x+2，把x=1代入y′得到切线的斜率k=3，则切线方程为：y−2=3(x−1)，即3x−y−1=0．
故答案为3x−y−1=0．
13.【答案】60
【解析】解：由题意知，C处恰好要安排2名大学生，所以剩余3名大学生分成2组，一组1人，一组2人，然后再进行安排，所以不同的安排方法有C52C32C11A22=60种．
故答案为60．
14.【答案】(1,2)； 3/ 62
【解析】解：双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，因为过点F的直线l斜率为 3，且与双曲线C左支交于两点，所以ba< 3，
所以离心率e=ca= 1+b2a2< 1+3=2，故e的取值范围为(1,2)；
根据题意，tan∠AOB=2×ab1−a2b2=2abb2−a2，
左焦点F(−c,0)到渐近线y=bax的距离为−bca 1+b2a2=−bca a2+b2a2=b，即|AF|=b，
因为|AF|=13|FB|，所以|FB|=2b，或3b，
当|FB|=2b时，可知2abb2−a2=2ba，得b2a2=2，则e= 1+b2a2= 3；
当|FB|=3b时，可知2abb2−a2=b+3ba，得b2a2=32，则e= 1+b2a2= 62．
故答案为(1,2)； 3或 62．
15.【答案】解：(1)证明：因为M，N分别是PC，PD的中点，
在△PCD中，MN/​/CD，MN=12CD，
因为底面ABCD是正方形，所以AB/​/CD，
所以MN//AB，又因为MN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB；
所以MN/​/平面PAB；
(2)因为底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
所以AB，AD，AP两两垂直，
所以以AB，AD，AP方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
∵PA=AB=2，∴P(0,0,2)，B(2,0,0)，A(0,0,0)，N(0,1,1)，
∴PB=(2,0,−2)，AB=(2,0,0)，AN=(0,1,1)，
设平面ABN的法向量为m=(x,y,z)，
AB⋅m=2x=0AN⋅m=y+z=0，令y=1，则z=0，取m=(0,1,−1)，
所以cs⟨m,PB⟩=m⋅PB|m||PB|=24=12，
所以直线PB与平面ABN所成角的大小为π6．
【解析】
(1)根据三角形的中位线可得MN/​/CD，结合已知内容即可得MN//AB，进而由线面平行的判定定理证明MN //面PAB；
(2)建立空间直角坐标系，由空间向量法求出直线PB与平面ABN所成角的大小．
16.【答案】解：(1)依题意可得下表：
提出假设H0:实验的结果与材料无关，
根据列联表中的数据可求得，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=10×(4×2−3×1)25×5×7×3=1021≈0.476<2.706，
所以没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关;
(2)设产品制作成功件数为X，由题意可知X服从二项分布，成功的概率为45，即X∽B(2,45)，
则X的可能取值为0，1，2，
∴P(X=0)=C20(45)0(15)2=125，P(X=1)=C21(45)1(15)1=825，
P(X=2)=C22(45)2(15)0=1625．
∴分布列为
∴E(X)=0×125+1×825+2×1625=85．
【解析】
(1)利用已知条件填写列联表，然后计算χ2，判断即可；
(2)利用二项分布即可解得分布列，以及期望．
17.【答案】解：(1)∵ℎ(x)=f(x)−g(x)=ex−kx−b，∴ℎ(x)=ex−k
①k≤0时，ℎ(x)>0恒成立，ℎ(x)在R上单调递增;
②k>0时，ℎ′(x)=0时，x=lnk，xlnk，ℎ′(x)>0，ℎ(x)
在(lnk,+∞)上单调递增，
∴综上所述：k≤0时，ℎ(x)在R上单调递增k>0时，ℎ(x)在(−∞,lnk)上单调递减，
在(lnk,+∞)上单调递增
(2)结合(1)与题意可得ℎ(lnk)≥0，即elnk−klnk−b≥0，从而得k+b≤elnk−klnk+k=2k−klnk，
令p(k)=2k−klnk(k>0)∴p(k)=1−lnk=0⇒k=e∴x∈(0,e)时，p′(k)>0，p(k)在(0,e)上单调递增，
x∈(e,+∞)时，p′(k)<0，p(k)在(e,+∞)上单调递减，∴pmax=p(e)=e∴k+b≤e，即k+b的最大值为e．
【解析】
(1)求导，对k进行讨论即可；
(2)由已知得elnk−klnk−b≥0，化简整理得k+b≤elnk−klnk+k=2k−klnk，讨论p(k)=2k−klnk(k>0)即可．
18.【答案】解：(1)∵抛物线E的准线方程为y=−14⇒p2=14且焦点在y轴的非负半轴上，
∴抛物线E的标准方程为x2=y；
(2)设A，C点的坐标分别为(x1,x12)，(x2,x22)，直线AC的方程为y=kx+b，联立y=x2y=kx+b，
得x2−kx−b=0∴x1+x2=k，x1x2=−b，
∵∠B为直角，∴kBA⋅kBC=−1，∴x22−1x2−1×x12−1x1−1=−1，
∴x1+x2+x1x2+2=0，∴k−b+2=0，∴b=k+2，
∴直线AC的方程为y=kx+b=kx+k+2=k(x+1)+2，过定点(−1,2)；
(3)由抛物线的对称性，不妨设A、B、C三点的坐标分别为(x1,x12)，(x2,x22)，(x3,x32)，且x1不妨记直线BC的斜率为k，且k>0，则直线BA的斜率为−1k，则k=x3+x2，−1k=x2+x1(∗)，
∵|BA|=|BC|，∴ 1+(−1k)2(x2−x1)= 1+k2(x3−x2)⇒x2−x1=k(x3−x2)结合(∗)
得x2−(−1k−x2)=k(k−x2−x2)⇒x2=k3−12k(k+1)，
∴|BC|= 1+k2(x3−x2)= 1+k2(k−2x2)= 1+k2[k−k3−1k(k+1)]
=k2+1k⋅ k2+1k+1≥2kk⋅ (k+1)22k+1= 2(仅当k=1时取得等号)，
∴S△ABC=12|BC|2≥1(此时k=1，B为坐标原点)．
【解析】
(1)利用准线方程，求出p，即可求出方程；
(2)利用kBA⋅kBC=−1，可解得方程为y=k(x+1)+2，可求出定点坐标；
(3)求面积关键求|BC|的长，即可求出结果．
19.【答案】解：(1)因为Sn=12n2+32n;
当n=1时，a1=2，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n+1，n=1符合此式，所以an=n+1.(n∈N∗)
(2)(ⅰ)证明：记bn=(ann)n=(n+1n)n>0，
则bn+1bn=(n+2n+1)n+1(n+1n)n=[n(n+2)(n+1)2]n．n+2n+1=(1−1(n+1)2⋅n+2n+1>(1−n(n+1)2)⋅n+2n+1=n3+3n2+3n+2(n+1)3>1，则bn+1>bn，所以数列{(ann)n}为递增数列．
(ⅱ)当n≥4，k≤n时，∵(1−1n+2)n<12，由伯努利不等式，得(1−1n+2)k≥1−kn+2>0.于是(−kn+2)n<(1−1n+2)n=[(−1n+2)n]<(12)k(k=1,2,⋯,n)．
所以当n≥4时，(1−1n+2)n+(1−2n+2)n⋯+(1−nn+2)n<12+(12)2+⋯+(12)n=1−12n<1，
∴(n+1n+2)n+(nn+2)n+⋯+(2n+2)n<1，即2n+3n+⋯+(n+1)n<(n+2)n，
当n=1时，2<3，不等式成立;
当n=2时，22+32=13<42，不等式成立;当n=3时，23+33+43=99<53，不等式成立;
综上所述，不等式a1n+a2n+a3n+⋯+ann<(an+1)n恒成立．
【解析】
(1)利用Sn，求an即可；
(2)利用bn+1bn，即可证得，利用伯努利不等式可证得．数学成绩x
100
137
116
142
125
物理成绩y
a
89
89
97
85
A材料
B材料
合计
实验成功
实验失败
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2.
P
125
825
1625