安徽省淮南第四中学2024-2025学年高三下学期第一次调研考试数学试题（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸
上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在
答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则 （ ）
A B. C. D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ）
A. 72 B. 108 C. 120 D. 144
4. 空间中，已知两条直线 ，其方向向量分别为 ，则“ ”是“ 与 所成角为” 的
（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
5. 某科技公司使用新开发的人像识别模型对 5 个人像进行识别，每个人像识别成功的概率均为 p，且每次
是否成功相互独立，设 X 为这 5 个人像中识别成功的个数，若 ，且全部识别成功的概率大于全
部识别失败的概率，则 p=（ ）
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2
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6. 函数 在 上单调递减，则 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 若正整数 a，b 满足等式 ，且 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 2022 D. 2023
8. 已知正方体 的棱长为 2，点 为 的中点，若点 E，A，C， 都在球 的表面上，
则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 一组样本数据 ．其中 ， ， ，求得其经
验回归方程为： ，残差为 ．对样本数据进行处理： ，得到新的数据
， 求 得 其 经 验 回 归 方 程 为 ： ， 其 残 差 为 ， 、 分 布 如 图 所 示 ， 且
， ，则（ ）
A. 样本 正相关 B.
C. D. 处理后的决定系数变小
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 的图象关于点 对称
B. 在区间 上单调递增
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C. 在区间 上的极值点个数为 4
D. 的图象可以由 的图象向左平移 个单位长度得到
11. 已知抛物线 与 围成的封闭曲线 如图所示，设 的上、
下顶点分别为 ，左、右顶点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 恒关于点 中心对称
B. 若 ，则 与 的准线之间的距离为
C. 若 上一点 的横坐标 ，则
D. 若 ，且对于任意给定 常数 ， 上任意一点 均满足 为定值，则 的
取值范围是
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 二项式 的展开式中含 项的系数为______．
13. 已知椭圆 的左顶点为 A，上，下顶点分别为 B，C，右焦点为 F，直线 与
交于点 P，若 ，则 ________．（S 表示面积）
14. 已知正三棱台 的上、下底面边长分别为 1 和 2，且体积不大于 ，若该棱台的外接球球
心 位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
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15. 已知 ， ，函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 中，若 ， ，且 的面积为 ，求 ．
16. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取 80 名学生．通过测验得到了如
表数据：
数学成绩
学校 合计
不优秀 优秀
甲校 30 10 40
乙校 20 20 40
合计 50 30 80
（1）依据小概率值 的 独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果
表中所有数据都扩大为原来的 10 倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关
联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．
（2）据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为 30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数
比例依次抽取了 24 人，30 人，30 人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自
丙校的概率．
附：临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3 841 6.635 7.879 10.828
17. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 ．
（1）求 方程；
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（2）过点 作两条互相垂直 直线 ， ，直线 与 交于 两点，直线 与 交于 两点，设线
段 的中点分别为 ，证明：直线 过定点．
18. 设函数 .
（1）当 时，证明： ；
（2）若 在 上为增函数，求 a 的取值范围；
（3）证明： .
19. 如图，正四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形，平面α与底面 ABCD 平行且与四棱锥的四条侧
棱（不含端点）分别交于点 E，F，G，H，四棱台 与四棱锥 的棱长和相等（“棱
长和”指多面体的所有棱长之和）．
（1）若 E 是棱 PA 的中点，求四棱台 的体积；
（2）求平面 PAD 与平面 PBC 的夹角的余弦值；
（3）已知四棱柱Ω的底面是边长为 m 的正方形，侧棱长为 n，且侧棱与底面所在平面所成的角为
，若平面α任意上下平移时，总存在正数 m，n，使得四棱柱Ω与四棱台 有
相同的体积，也有相同的棱长和，求 的取值范围．
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