安徽省安庆市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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命 题 ： 余 晓 燕 审题：刘贵红
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1. 在复平面内，复数 满足 ，则复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量 ，向量 ，则实数 x 等于
A. 9 B. 4 C. 0 D.
3. 圆锥的底面半径为 1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（ ）
A. 1 B. C. D. 2
4. 如图， 是 上靠近 的四等分点， 是 上靠近 的四等分点， 是 的中点，设 ，
，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 在正四棱柱 中， ， 分别为侧棱 上一点，则
最小值为（ ）
A. B. C. D. 14
6. 如图所示，已知正方形 的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其
原图形的周长为（ ）
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A B.
C. D.
7. 若 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， ，则 B 的解的个数是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定
8. 已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分）
9. 已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. 对于 ，有如下判断，其中正确 判断是（ ）
A. 若 ，则 为等腰三角形
B 若 ，则
C. 若 ， ， ，则符合条件的 有两个
D. 若 ，则 是钝角三角形
11. 如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛
有 a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P．如果将容器倒置，水面也恰好过点 P（图 2），则（ ）
A. 若往容器内再注入 a 升水，则容器恰好能装满
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B. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
C. 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 P
D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 P
三 、填空题（每小题 5 分，共 15 分 ）
12. 已知 ， ， 是表面积为 的球 的球面上的三个点，且 ，则球心 到平面
的距离为_______．
13. 已知复数 满足 ，则 的最大值为__________.
14. 在正方体 中，已知 ，点 在棱 上，且 ，则正方体表面上到点
距离为 的点的轨迹的总长度为__________.
四 、解答题（第 15 小题 13 分，第 16、17 小题 15 分，第 18、19 小题 17 分，共 77 分）
15. 已知 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 ．
（1）求角 A；
（2）若 ， ，求边 c 及 的面积；
16. 已知 ， ， .
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 .求 及 .
17. 如图，某人开车在山脚下水平公路上自 向 行驶，在 处测得山顶 处的仰角 ，该车以
的速度匀速行驶 4 分钟后，到达 处，此时测得仰角 ，且 .
（1）求此山的高 的值；
（2）求该车从 到 行驶过程中观测 点的仰角正切值的最大值．
18. 已知在锐角 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边， .
（1）求角 ；
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（2）若 ，D 为 中点， ，求 b；
（3）若 ，求 的取值范围.
19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并
画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高
的 4 倍.
（1）若 ；
(i)求该模型的体积；
(ii)求顶部正四棱锥的侧面积；
（2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积 S 最大?并求出 S 的最大值
.
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