海南省海口市海南中学2025届高三下学期4月半月考 数学试题（含解析）

这是一份海南省海口市海南中学2025届高三下学期4月半月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A．B．
C．D．
3．数列，则（ ）
A．44B．143C．165D．502
4．我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是，一年后“进步”的约是“落后”的几倍？（ ）
A．10B．100C．1000D．10000
5．已知，，则
A．B．C．D．
6．函数在时的瞬时变化率是（ ）
A．B．C．0D．1
7．在边长为2的正方形中，点分别是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥外接球的表面积（ ）
A．B．C．D．
8．已知点和以点为圆心的圆，以为直径的圆与圆相交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知一关于坐标轴对称的双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则该双曲线的离心率的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．
11．已知，以下几种说法正确的是（ ）
A．（精确到小数点后一位）B．
C．D．有最大值
三、填空题（本大题共3小题）
12．知，，，则在上的投影向量是 ．（用坐标表示）
13．上的点到直线的最大距离是 ．
14．甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则n次传球后球在甲手中的概率 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，，
(1)判断函数的单调性；
(2)若，求的取值范围．
16．已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
17．如图，和所在平面垂直，且，，点分别在直线和上移动，
(1)证明：；
(2)当的长最小时，求点到直线的距离．
18．现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.
(1)当时，
①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；
②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；
(2)记第三次取到白球的概率为，证明：.
19．已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知，试判断以为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由；
(3)过第一象限的点作的垂线，交轴于点，过点作的垂线交直线于点，过点作的切线，切点为，试判断直线是否过定点．若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【详解】联立，解得，
故.
故选B.
2．【答案】D
【详解】这一事实表示为一个不等式为．
证明：，
又，，
，即，
即.
故选.
3．【答案】C
【详解】易知.
故选C.
4．【答案】C
【详解】，则，
所以.
故选C.
5．【答案】A
【详解】,
,
两式相加得： ，则 ，选A.
6．【答案】A
【详解】，
令，可得，
解得，
故选A
7．【答案】D
【详解】显然，两两垂直，其中，
故三棱锥的外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，
故外接球半径为，
故三棱锥外接球表面积为.
故选D.
8．【答案】B
【详解】
已知圆的方程为，
所以，且，则的中点为，
圆的半径为，
故圆的方程为，即，
又圆的方程为，
所以公共弦的方程为，
设与交于点，则，
则，
又圆的半径，
所以.
故选B.
9．【答案】BCD
【详解】因为该双曲线关于坐标轴对称，所以我们对其焦点位置进行讨论，
当焦点在轴上时，渐近线的斜率的绝对值为，
因为渐近线的斜率的绝对值小于，所以，
且，故解得，则，
得到，解得，
当焦点在轴上时，渐近线的斜率的绝对值为，
因为渐近线的斜率的绝对值小于，所以，
且，解得，则，
得到，解得，
综上可得，下面我们开始检验选项，
对于A，，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】CD
【详解】当，，则，
，
所以是以4为周期的函数，
又时，，作出的图象如图所示，
对于A，，故A错误；
对于B，由图象可得是奇函数，故B错误；
对于C，由图象可得关于直线对称，所以，故C正确；
对于D，由C选项可得，又，则，故D正确.
故选CD.
11．【答案】AC
【详解】首先，我们用二项式定理对进行展开，
得到
，
同样的，我们用二项式定理对进行展开，
，
因为，所以，
易得的前两项相同，则从第三项以后开始比较大小即可，
因为，，
，
所以从第三项以后的每一项都比要大，
而比多了一个恒正的项，故，则是单调递增数列，
下面，我们开始逐个判断各个选项，
对于A，当时，
，
则，而后面的项相对较小，我们忽略，只取前四项
故，故A正确，
对于B，因为是单调递增数列，所以，故B错误，
对于C，因为是单调递增数列，且，所以，故C正确，
对于D，因为，且是单调递增数列，所以没有最大值，故D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】因为，，
所以在上的投影向量.
13．【答案】
【详解】不妨设，显然该点满足椭圆方程，
则该点到直线的距离为，
其中，显然.
14．【答案】
【详解】解：记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”，
设次传球后球再甲手中的概率为，
则有，
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
即n次传球后球在甲手中的概率是．
15．【答案】(1)答案见解析
(2)．
【详解】（1），，
①若，则，是上的增函数；
②若，则在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
③若，则在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）若，则当时，，不符合题意；
若，则由（1）知，，
又由，则，即．
综上，若，则的取值范围为．
16．【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析．
【分析】(1)直接赋值，然后建立等式求解即可；
(2)先假设存在，然后计算不同项的值，最后利用等比中项来判断假设是否正确即可.
【详解】(1)设等比数列的公比为，由题意知：
当时，，①
当时，，②
联立①②，解得（舍去），
所以数列的通项公式．
(2)由(1)知．
所以，
所以．
设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列．
则，
所以，即，
又因为成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以，
又，所以，与已知矛盾，
所以在数列中不存在不同的3项成等比数列．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）
依题意，由平面平面，得以点为坐标原点，以所在直线为轴，
分别在平面、平面内过点作垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，，
，，，，
，，
则，所以，故．
（2）设，，则，
则，，
，
当，即时，的长最小值为，
此时，，
，即，
故，又点在直线上，
因此当的长最小时，点到直线的距离为．
18．【答案】(1)①；②；
(2)证明见解析.
【分析】（1）①时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率；
②先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率，再结合条件概率即可得解；
（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率，进而得证．
【详解】（1）①时，第二个袋中有2白2红，共4个球，
从中连续取出三个球（每个取后不放回），
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
所以第三次取出为白球的概率为；
②设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），若则，取法数为，
若或或，取法数为，也满足关系，
故取（白，白，白）的取法可表示为，
同理（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
，
所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为；
（2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，
所以．
【思路导引】根据题意首先分类讨论不同值情况下的抽取总数(可直接用值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中与的关系可简化累加步骤.
19．【答案】(1)
(2)以为直径的圆内切于圆，理由见解析
(3)直线过定点．
【详解】（1）
依题意，设，，则，
且，即，
又点在圆上，
故，即点的轨迹的方程为．
（2）
由（1）知点为椭圆的上焦点，设其下焦点为，
中点为，以为直径的圆半径为，圆的半径为，
则，即，
所以以为直径的圆内切于圆．
（3）
设，则，，
则直线，
令，得，，
则，即，①
又，②
联立①②得，
解得，
设，
将①式代入椭圆，得，
，直线与椭圆相切．
设，则直线，
由点在直线和直线上，得，
则直线，
直线过定点．