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2023-2024学年海南省海口市海南中学高三（下）第五次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年海南省海口市海南中学高三（下）第五次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合M={x|0A. {x|02.设复数z=10i−3−i，则z−=( )
A. 1+3iB. −1−3iC. −1+3iD. 1−3i
3.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y=bx+a，已知i=110xi=225，i=110yi=1600，b=4.该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为( )
A. 160B. 163C. 166D. 170
4.等比数列{an}中，a1>0，则“a1A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP=3FQ，则|QF|=( )
A. 72B. 4C. 92D. 6
6.若正三棱台的上、下底面的边长分别为3和6，侧棱长为2，则其体积为( )
A. 21 34B. 14 3C. 21 32D. 7 3
7.设α∈(0,π2),β∈(0,π2)，且tanα=1−sinβcsβ，则( )
A. 3α−β=π2B. 3α+β=π2C. 2α−β=π2D. 2α+β=π2
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点.若F1A=AB，F1B⋅F2B=0，则双曲线C的离心率为( )
A. 2 33B. 2C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，其中x1是最小值，x7是最大值，则( )
A. x2，x3，x4，x5，x6的众数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的众数
B. x2，x3，x4，x5，x6的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的中位数
C. x2，x3，x4，x5，x6的方差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差
D. x2，x3，x4，x5，x6的极差不小于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的极差
10.已知函数f(x)=2sin(x+π6)，将f(x)图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12，再把所得图象向右平移π3个单位后得到函数g(x)的图象，则( )
A. g(x)是奇函数B. g(x)在区间[π6,2π3]上的值域为[0,2]
C. g(x)在区间[π4,π2]上单调递增D. 点(π4,0)是g(x)的图象的一个对称中心
11.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且3(n+1)an−nan+1=0(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A. 数列{nan}是等比数列B. 数列{ann}是等比数列
C. an=n⋅3n−1D. Sn=(2n−1)⋅3n+14
12.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，且f(2+x)=f(2−x)，则( )
A. f(1)=0
B. f(x)=f(x+4)
C. f(x+1)=−f(−x−1)
D. y=f(x)在区间[0,2024]上至少有1012个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=x(a⋅3x−3−x)是奇函数，则实数a= ______．
14.在(x−4+4x)4的展开式中，x2的系数为______．
15.已知△ABC是边长为4的正三角形，AD是BC边上的中线.现将△ABD沿AD折起，使二面角B−AD−C等于2π3，则四面体ABCD外接球的表面积为______．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知P( 3,0)，A，B是圆C：x2+(y−1)2=12上的两个动点，满足|PA|=|PB|，则△PAB面积的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn−2，其中λ为常数．
(1)证明：an+2−an=λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA= 3acsB．
(1)求角B的大小；
(2)设b=2，△ABC的面积为S，周长为L，求SL的最大值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥M−ABCD中，AB⊥AD，AB=AM=AD=2，MB=2 2，MD=2 3．
(1)证明：AB⊥平面ADM；
(2)若DC=23AB，BE=2EM，求直线CE与平面BDM所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：[0,200)，[200,400)，[400,600)，…，[1000,1200](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)请用抽样的数据预估2024年2月份健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人.现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
(3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P( 2, 22)，离心率为 32．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是椭圆C的左、右顶点)，且以线段MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+ax+14，g(x)=−lnx．
(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；
(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，是基础题．
直接利用交集运算求解．
【解答】
解：集合M={x|0故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：因为z=10i−3−i=10i(−3+i)(−3−i)(−3+i)=i(−3+i)=−1−3i，
则z−=−1+3i．
故选：C．
利用复数的运算性质求出z，再根据共轭复数的定义即可求解．
本题考查了复数的运算性质以及共轭复数的求解，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：x−=110i=110xi=22.5，y−=110i=110yi=160，
由y=bx+a，且b=4，得a=160−4×22.5=70，
∴y关于x的线性回归方程为y=4x+70，
取x=25，得y=170，
∴据此估计其身高为170．
故选：D．
由已知求得x−与y−，代入线性回归方程求得a，得到线性回归方程，取x=25求得y值即可．
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列的性质和必要条件，充分条件与充要条件的判断．属于基础题．
先用等比数列的通项公式，表示出a3【解答】
解：如果a1∴q2>1，
若q<−1，则a3=a1q2>0，a6=a1q5<0
∴a3>a6，
∴“a1如果a30，
∴1∴q>1，
∴a1故可判断，“a1综合可知，“a1故选B．
5.【答案】B
【解析】解：如图，
由抛物线C：y2=12x，得|FF′|=p=6．
过Q作准线l的垂线，垂足为Q′，根据已知条件，
结合抛物线的定义得|FF′||QQ′|=|PF||PQ|=32，
∴|QQ′|=4，则|QF|=4．
故选：B．
过Q作准线l的垂线，垂足为Q′，根据已知条件，结合抛物线的定义得|FF′||QQ′|=|PF||PQ|=32，从而可得结论．
本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：正三棱台ABC−A1B1C1上下底面的中心为D1，D，连接A1D1，AD，DD1，
过A1作A1E⊥AD交于E点，
∵A1B1=3，AB=6，∴A1D1=3×cs30°×23= 3，AD=6×cs30°×23=2 3，
∵DD1垂直于上下底面，且A1E⊥AD，∴∠A1ED=∠EDD1=∠DD1A1=90°，
∴四边形A1EDD1为矩形，
∴A1D1=DE= 3,A1E=DD1，
又AE=AD−DE=AD−A1D1= 3，
∴A1E= AA12−AE2=1，∴DD1=1，
又S△ABC= 34×62=9 3，S△A1B1C1= 34×32=9 34，
∴三棱台的体积为13×1×(9 34+9 3+ 9 34×9 3)=21 34．
故选：A．
根据条件先计算出正三棱台的高，然后根据棱台的体积公式求解出结果．
本题考查正三棱台的体积的求解，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：∵α∈(0,π2),β∈(0,π2)，∴α+β∈(0,π)．
∵tanα=1−sinβcsβ，即sinαcsα=1−sinβcsβ，即sin(α+β)=csα，∴α+β=π2−α，即2α+β=π2，
故选：D．
由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sin(α+β)=csα，可得α+β=π2−α，从而得出结论．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：∵F1A=AB，OF1=OF2，∠BF1F2=∠BF1F2，
∴△AF1O∽△BF1F2，
又∵F1B⋅F2B=0，
∴OA⊥F1B，
∴kF1B⋅(−ba)=−1，即kF1B=ab，
∴直线F1B的方程为y=ab(x+c)，
联立直线F1B与渐近线y=bax，即y=ab(x+c)y=bax，解得B(a2cb2−a2,abcb2−a2)，
∵OB=12F1F2=c，
∴a4c2(b2−a2)2+a2b2c2(b2−a2)2=c2，化简可得b2=3a2，
由双曲线的性质，可得c2−a2=b2=3a2，即c2=4a2，
∴c=2a，
∴e=ca=2．
故选：C．
结合已知条件，可得OA⊥F1B，联立直线F1B与渐近线y=bax，可推得B点的坐标，并由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可推得b2=3a2，再结合双曲线的性质和离心率的公式，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，以及离心率的求解，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对A：设样本数据为：1，2，2，3，4，4，4，则数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的众数为4，而数据x2，x3，x4，x5，x6的众数为2，4，
所以x2，x3，x4，x5，x6的众数不等于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的众数，
故A错误；
对B：把数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7按从小到大顺序排好，则数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的中位数为x4；数据x2，x3，x4，x5，x6的中位数也是x4，故B正确；
对C：一组数据是常数时，去掉两个值(可以理解为最大、最小值)，数据的波动性不变；当数据不是常数时，去掉最大、最小值，数据的波动性一定变小，也就是方差变小．所以x2，x3，x4，x5，x6的方差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差．故C正确；
对D：把数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7按从小到大的顺序排好，则x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的极差为x7−x1，数据x2，x3，x4，x5，x6的极差为x6−x2，因为x1≤x2，x6≤x7，故x6−x2≤x7−x1，即x2，x3，x4，x5，x6的极差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的极差．故D错误．
故选：BC．
根据众数、中位数、方差、极差的概念以及计算公式逐项判断即可．
本题主要考查众数、中位数、方差、极差的概念以及计算公式，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：将f(x)图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12，得到y=2sin(2x+π6)，
再把所得图象向右平移π3个单位后，得到g(x)=2sin[2(x−π3)+π6]=2sin(2x−π2)=−2cs2x，
对于选项A：显然g(x)的定义域为R，且g(−x)=−2cs(−2x)=−2cs2x=g(x)，
可知g(x)是偶函数，故A错误；
对于选项B：若x∈[π6,2π3]，则2x∈[π3,4π3]，可得cs2x∈[−1,12]，
所以g(x)∈[−1,2]，故B错误；
对于选项C：若x∈[π4,π2]，则2x∈[π2,π]，且y=csx在[π2,π]内单调递减，
所以g(x)在区间[π4,π2]上单调递增，故C正确；
对于选项D：g(π4)=−2csπ2=0，所以点(π4,0)是g(x)的图象的一个对称中心，故D正确．
故选：CD．
根据图象变换结合诱导公式可得g(x)=−2cs2x，再根据余弦函数性质逐项分析判断．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，诱导公式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由a1=1，且3(n+1)an−nan+1=0(n∈N*)，
可得an+1n+1=3ann，
则数列{ann}是首项为1，公比为3的等比数列，
可得ann=3n−1，即an=n⋅3n−1，nan=n2⋅3n−1，故A错误，BC正确；
由Sn=1⋅30+2⋅31+...+n⋅3n−1，3Sn=1⋅3+2⋅32+...+n⋅3n，
作差可得−2Sn=1+31+...+3n−1−n⋅3n=1−3n1−3−n⋅3n，
化简可得Sn=(2n−1)⋅3n+14，故D正确．
故选：BCD．
由等比数列的定义和通项公式，可怕的ABC；由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，因为函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，
所以f(−x+1)=−f(x+1)，即f(x+2)=−f(−x)，
令x=−1，则f(1)=−f(1)，即f(1)=0，故A正确；
对于B，因为f(2+x)=f(2−x)，
所以f(x+4)=f(−x)，即f(x+4)=−f(x+2)，
所以f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以4是函数f(x)的一个周期，故B正确；
对于C，假设f(x+1)=−f(−x−1)，则f(x)=−f(−x)，
因为f(x+4)=f(−x)=f(x)，且f(x)的定义域为R，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数，
所以f(x)=0恒成立，与题干矛盾，故C不正确；
对于选项D，因为f(1)=0，f(x+2)=−f(x)，
所以f(3)=−f(1)=0，
所以f(x)在(0,4)上至少有两个零点，
因为f(x+4)=f(x)，所以f(x)为周期为4的偶函数，
而2024=4×506，
所以f(x)在[0,2024]上至少有2×506=1012个零点，故D正确．
故选：ABD．
根据题意，利用特殊值法求得f(1)，进而判断A的正误；利用函数f(x)的对称性与奇偶性即可判断B、C的正误；利用该函数f(x)的周期性即可判断D的正误，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性和对称性的应用，涉及函数的周期性，属于中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x(a⋅3x−3−x)是奇函数，
则有f(−x)=−f(x)，即(−x)(a⋅3−x−3x)=−x(a⋅3x−3−x)，
变形可得：(a+1)(3x−3−x)=0，则有a=−1．
故答案为：−1．
根据题意，由奇函数的定义可得(−x)(a⋅3−x−3x)=−x(a⋅3x−3−x)，变形可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
14.【答案】112
【解析】解：由题意可得多项式(x−4+4x)4表示4个(x−4+4x)因式相乘，
由计数原理可得，所求的含x2的项为C42 x2⋅(−4)2+C43x3⋅4x=112x2，
则x2的系数为112．
故答案为：112．
由题意可得多项式(x−4+4x)4表示4个(x−4+4x)因式相乘，然后根据二项式定理求出含x2的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
15.【答案】28π
【解析】解：∵△ABC是正三角形，且AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BD，AD⊥CD，且BD∩CD=D，BD，CD⊂平面BCD，
∴AD⊥平面BCD，
记AD的中点为F，△BCD的外接圆圆心为E，
过E作平面BCD的垂线，则球心G在该垂线上，连接GF，
∵AD⊥BD，AD⊥CD，
∴∠BCD为二面角B−AD−C的平面角，
∴∠BDC=2π3，
由正弦定理可知2DE=CDsinπ6=4，∴DE=2，
由垂径定理以及线面垂直的性质易知四边形DEGF是矩形，
∴FG=DE=2,AF=12AD= 3，
∴AG= AF2+FG2= 7，即外接球的半径R= 7，
∴外接球的表面积为S=4πR2=28π，
故答案为：28π．
画出图形，由二面角B−AD−C等于2π3可得∠BDC=2π3，利用正弦定理求出DE的长，再结合勾股定理求解．
本题主要考查了二面角的定义，考查了三棱锥外接球问题，属于中档题．
16.【答案】8 2
【解析】解：设AB中点为M，因为|PA|=|PB|，所以PM⊥AB，
由垂径定理可知CM⊥AB，且PM，CM有公共点M，所以P，C，M共线，
所以PC⊥AB，
设C到AB的距离为d，所以|AB|=2 r2−d2=2 12−d2，|PC|= ( 3−0)2+(0−1)2=2，
所以P到AB的距离为d+2(C位于AB和P之间)或d−2(P位于AB和C之间)，且d+2>d−2，
所以S△PAB=12×|AB|×(d+2)= (d+2)2(12−d2)且0≤d<2 3，
设f(d)=(d+2)2(12−d2),d∈[0,2 3),
所以f′(d)=2(d+2)(12−d2)+(d+2)2⋅(−2d)=−4(d+2)(d+3)(d−2)，
当d∈[0,2)时，f′(d)>0，f(d)单调递增，
当d∈(2,2 3)时，f′(d)<0，f(d)单调递减，
所以f(d)max=f(2)=128，所以S△PAB的最大值为 128=8 2．
故答案为：8 2．
根据条件先确定出PC，AB的位置关系，然后利用C到AB的距离d表示出S△PAB，由此构造函数利用导数求解出S△PAB的最大值．
本题考查直线与圆的综合运用，涉及到几何法表示弦长、利用导数求最值，对学生的计算能力要求较高，难度较大，是难题．
17.【答案】解：(1)证明：由a1=1，an≠0，anan+1=λSn−2，
可得n≥2时，an−1an=λSn−1−2，
上面两式相减可得anan+1−an−1an=λSn−2−λSn−1+2=λan，
化为an+1−an−1=λ，
即为an+2−an=λ；
(2)假设存在λ，使得{an}为等差数列．
由anan+1=λSn−2，可得a2=λ−2，
由an+2−an=λ，可得a3=λ+1，
由a1，a2，a3成等差数列，可得2a2=a1+a3，
即2(λ−2)=1+λ+1，解得λ=6，
可得{an}的公差为a2−a1=4−1=3，an=1+3(n−1)=3n−2，
则an+2−an=3n+4−(3n−2)=6成立．
所以，存在λ，且λ=6．
【解析】(1)由数列的递推式，结合n≥2时，an=Sn−Sn−1，可得证明；
(2)假设存在λ，使得{an}为等差数列，由等差数列的性质和通项公式，可得结论．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义和通项公式、性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为bsinA= 3acsB，所以sinBsinA= 3sinAcsB，
又因为A∈(0,π)，所以sinA>0，
所以sinB= 3csB，
所以tanB= 3，
又因为B∈(0,π )，
所以B=π3；
(2)因为asinA=bsinβ=csinC=4 33，
所以a=4 33sinA，c=4 33sinC，
则S=12acsinB=12×4 33sinA×4 33sinC× 32=4 33sinAsinC，L=a+b+c=4 33(sinA+sinC)+2，
所以SL=sinAsinCsinA+sinC+ 32，
因为sinC=sin(A+π3)=12sinA+ 32csA，
所以SL=sinAsinCsinA+sinC+ 32=12sin2A+ 32sinAcsA32sinA+ 32csA+ 32= 34sin2A−14cs2A+14 3sin(A+π6)+ 32
=12sin(2A−π6)+14 3[sin(A+π6)+12]= 36×12−cs(2A+π3)12+sin(A+π6)
= 33×sin2(A+π6)−14sin(A+π6)+12
= 33[sin(A+π6)−12]，
因为0所以π6故当sin(A+π6)=1时，上式取得最大值 36．
【解析】(1)先根据正弦定理进行边化角，然后再根据弦化切求解出tanB的值，则B可知；(2)先根据正弦定理将a，c表示为角的正弦形式，然后表示出三角形面积和周长，利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合正弦型函数的性质可求SL的最大值．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数性质在最值求解中的应用，属于难题．
19.【答案】解：(1)因为AB=AM=2，MB=2 2，
所以AM2+AB2=MB2，
所以AB⊥AM，
又AB⊥AD，且AM∩AD=A，AM⊂平面ADM，AD⊂平面ADM，
所以AB⊥平面ADM．
(2)因为AM=AD=2，MD=2 3，
则cs∠MAD=4+4−122×2×2=−12，且0°<∠MAD<180°，可知∠MAD=120°，
在平面ADM内过点A作x轴垂直于AM，又由(1)知AB⊥平面ADM，
分别以AM，AB所在直线为y，z轴建立如图所示空间直角坐标系A−xyz，
则D( 3,−1,0)，C( 3,−1,43)，B(0,0,2)，M(0,2,0)，
因为BE=2EM，则E(0,43,23)，
可得EC=( 3,−73,23)，BM=(0,2,−2)，BD=( 3,−1,−2)，
设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)，
则BM⋅n=2y−2z=0BD⋅n= 3x−y−2z=0，
取z=1得n=( 3,1,1)，
设直线EC与平面BDM所成角为θ∈[0,π2]，
则sinθ=|cs|=|EC⋅n|EC||n||=|434 53× 5|=15，
所以直线EC与平面BDM所成角的正弦值为15．
【解析】(1)根据AB=AM=2，MB=2 2，利用勾股定理得到AB⊥AM，再由AB⊥AD，利用线面垂直的判定定理证明．
(2)由AM=AD=2，MD=2 3，易得∠MAD=120°，在平面ADM内过点A作x轴垂直于AM，再结合(1)以AM，AB所在直线为y，z轴建立空间直角坐标系，求得EC的坐标，平面BDM的一个法向量n，利用空间向量求线面夹角．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
20.【答案】解：(1)因为样本数据的平均数为：
(100×0.00050+300×0.00075+500×0.00100+700×0.00125+900×0.00100+1100×0.00050)×200=620，
所以预估2024年2月份健身客户人均消费的金额为620元；
(2)健身卫士中健身达人所占比例为+0.00050=13，
所以抽取的6人中健身达人有6×13=2人，
记“抽到的2人中至少1人为健身达人”为事件A，
所以P(A)=C41C21C62+C22C62=35；
(3)若选方案一，只需付款900元，
若选方案二，设付款金额为X元，则X可取700，800，900，1000，
所以P(X=700)=C33(1−12)0(12)3=18，
P(X=800)=C32(1−12)1(12)2=38，
P(X=800)=C31(1−12)2(12)1=38，
P(X=1000)=C30(1−12)3(12)0=18，
所以E(X)=700×18+800×38+900×38+1000×18=850元，
因为850<900，
所以应选择第二种促销方案．
【解析】(1)将组中值乘以对应频率并将所得结果相加即可求得健身客户人均消费的金额；
(2)先分析出抽取的6人中健身达人的人数，然后利用组合数求解出对应事件的概率；
(3)直接分析出方案一的付款金额；设方案二的付款金额为X元，先求解出X的概率分布，然后可求E(X)，比较E(X)与方案一的付款金额可知结果．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，以及离散型随机变量的期望，属于中档题．
21.【答案】(1)解：设椭圆的焦距为2c，
由题意知，( 2)2a2+( 22)2b2=1ca= 32a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c= 3，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(2)证明：由题意知，直线l的斜率不可能为0，设其方程为x=ty+m(m≠±2)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=ty+mx24+y2=1，得(t2+4)y2+2tmy+m2−4=0，
所以y1+y2=−2tmt2+4，y1y2=m2−4t2+4，
因为以线段MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，
所以AM⋅AN=(x1−2,y1)⋅(x2−2,y2)=(x1−2)(x2−2)+y1y2=(ty1+m−2)(ty2+m−2)+y1y2
=(t2+1)y1y2+t(m−2)(y1+y2)+(m−2)2=(t2+1)⋅m2−4t2+4+t(m−2)(−2tmt2+4)+(m−2)2=5m2−16m+12t2+4=0，
化简得(5m−6)(m−2)=0，
解得m=65或m=2(舍)，
所以m=65，即x=ty+65，
所以直线l过定点，且该定点的坐标为(65,0)．
【解析】(1)根据椭圆的方程与几何性质，列方程组求解即可；
(2)设直线l的方程为x=ty+m(m≠±2)，将其与椭圆方程联立，利用AM⋅AN=0，结合韦达定理，求出m的值，即可得解．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，平面向量数量积的坐标运算，灵活运用韦达定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)=0，f′(x0)=0，
f(x)=x3+ax+14，则f′(x)=3x2+a，
所以x03+ax0+14=03x02+a=0，解得x0=12,a=−34，
因此当a=−34时，x轴是曲线y=f(x)的切线．
(2)当x∈(1,+∞)时，g(x)=−lnx<0，从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0，
∴h(x)在(1,+∞)无零点，
当x=1时，若a≥−54，则f(1)=a+54≥0，h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0，
故x=1是h(x)的零点；若a<−54，则f(1)=a+54<0，h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0，
故x=1不是h(x)的零点，
当x∈(0,1)时，g(x)=−lnx>0，所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数，
(ⅰ)若a≤−3或a≥0，则f′(x)=3x2+a在(0,1)无零点，
故f(x)在(0,1)单调，而f(0)=14，f(1)=a+54，
所以当a≤−3时，f(x)在(0,1)有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0,1)无零点；
(ⅱ)若−3故当x= −a3时，f(x)取的最小值，最小值为f( −a3)=2a3 −a3+14，
①若f( −a3)>0，即−34②若f( −a3)=0，即a=−34，则f(x)在(0,1)有唯一零点，
③若f( −a3)<0，即−3综上，当a>−34或a<−54时，h(x)由一个零点；当a=−34或a=−54时，h(x)有两个零点；当−54【解析】(1)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；
(2)根据对数函数的图像与性质将x分为x>1，x=1，0本题主要考查了利用导数研究曲线的切线，考查了利用导数研究函数的零点个数问题，属于中档题．
1.设集合M={x|0
A. 1+3iB. −1−3iC. −1+3iD. 1−3i
3.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y=bx+a，已知i=110xi=225，i=110yi=1600，b=4.该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为( )
A. 160B. 163C. 166D. 170
4.等比数列{an}中，a1>0，则“a1
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP=3FQ，则|QF|=( )
A. 72B. 4C. 92D. 6
6.若正三棱台的上、下底面的边长分别为3和6，侧棱长为2，则其体积为( )
A. 21 34B. 14 3C. 21 32D. 7 3
7.设α∈(0,π2),β∈(0,π2)，且tanα=1−sinβcsβ，则( )
A. 3α−β=π2B. 3α+β=π2C. 2α−β=π2D. 2α+β=π2
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点.若F1A=AB，F1B⋅F2B=0，则双曲线C的离心率为( )
A. 2 33B. 2C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，其中x1是最小值，x7是最大值，则( )
A. x2，x3，x4，x5，x6的众数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的众数
B. x2，x3，x4，x5，x6的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的中位数
C. x2，x3，x4，x5，x6的方差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差
D. x2，x3，x4，x5，x6的极差不小于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的极差
10.已知函数f(x)=2sin(x+π6)，将f(x)图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12，再把所得图象向右平移π3个单位后得到函数g(x)的图象，则( )
A. g(x)是奇函数B. g(x)在区间[π6,2π3]上的值域为[0,2]
C. g(x)在区间[π4,π2]上单调递增D. 点(π4,0)是g(x)的图象的一个对称中心
11.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且3(n+1)an−nan+1=0(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A. 数列{nan}是等比数列B. 数列{ann}是等比数列
C. an=n⋅3n−1D. Sn=(2n−1)⋅3n+14
12.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，且f(2+x)=f(2−x)，则( )
A. f(1)=0
B. f(x)=f(x+4)
C. f(x+1)=−f(−x−1)
D. y=f(x)在区间[0,2024]上至少有1012个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=x(a⋅3x−3−x)是奇函数，则实数a= ______．
14.在(x−4+4x)4的展开式中，x2的系数为______．
15.已知△ABC是边长为4的正三角形，AD是BC边上的中线.现将△ABD沿AD折起，使二面角B−AD−C等于2π3，则四面体ABCD外接球的表面积为______．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知P( 3,0)，A，B是圆C：x2+(y−1)2=12上的两个动点，满足|PA|=|PB|，则△PAB面积的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn−2，其中λ为常数．
(1)证明：an+2−an=λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA= 3acsB．
(1)求角B的大小；
(2)设b=2，△ABC的面积为S，周长为L，求SL的最大值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥M−ABCD中，AB⊥AD，AB=AM=AD=2，MB=2 2，MD=2 3．
(1)证明：AB⊥平面ADM；
(2)若DC=23AB，BE=2EM，求直线CE与平面BDM所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：[0,200)，[200,400)，[400,600)，…，[1000,1200](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)请用抽样的数据预估2024年2月份健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人.现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
(3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P( 2, 22)，离心率为 32．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于M、N两点(M、N不是椭圆C的左、右顶点)，且以线段MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+ax+14，g(x)=−lnx．
(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；
(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，是基础题．
直接利用交集运算求解．
【解答】
解：集合M={x|0
2.【答案】C
【解析】解：因为z=10i−3−i=10i(−3+i)(−3−i)(−3+i)=i(−3+i)=−1−3i，
则z−=−1+3i．
故选：C．
利用复数的运算性质求出z，再根据共轭复数的定义即可求解．
本题考查了复数的运算性质以及共轭复数的求解，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：x−=110i=110xi=22.5，y−=110i=110yi=160，
由y=bx+a，且b=4，得a=160−4×22.5=70，
∴y关于x的线性回归方程为y=4x+70，
取x=25，得y=170，
∴据此估计其身高为170．
故选：D．
由已知求得x−与y−，代入线性回归方程求得a，得到线性回归方程，取x=25求得y值即可．
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列的性质和必要条件，充分条件与充要条件的判断．属于基础题．
先用等比数列的通项公式，表示出a3
解：如果a1
若q<−1，则a3=a1q2>0，a6=a1q5<0
∴a3>a6，
∴“a1
∴1
∴a1
5.【答案】B
【解析】解：如图，
由抛物线C：y2=12x，得|FF′|=p=6．
过Q作准线l的垂线，垂足为Q′，根据已知条件，
结合抛物线的定义得|FF′||QQ′|=|PF||PQ|=32，
∴|QQ′|=4，则|QF|=4．
故选：B．
过Q作准线l的垂线，垂足为Q′，根据已知条件，结合抛物线的定义得|FF′||QQ′|=|PF||PQ|=32，从而可得结论．
本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：正三棱台ABC−A1B1C1上下底面的中心为D1，D，连接A1D1，AD，DD1，
过A1作A1E⊥AD交于E点，
∵A1B1=3，AB=6，∴A1D1=3×cs30°×23= 3，AD=6×cs30°×23=2 3，
∵DD1垂直于上下底面，且A1E⊥AD，∴∠A1ED=∠EDD1=∠DD1A1=90°，
∴四边形A1EDD1为矩形，
∴A1D1=DE= 3,A1E=DD1，
又AE=AD−DE=AD−A1D1= 3，
∴A1E= AA12−AE2=1，∴DD1=1，
又S△ABC= 34×62=9 3，S△A1B1C1= 34×32=9 34，
∴三棱台的体积为13×1×(9 34+9 3+ 9 34×9 3)=21 34．
故选：A．
根据条件先计算出正三棱台的高，然后根据棱台的体积公式求解出结果．
本题考查正三棱台的体积的求解，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：∵α∈(0,π2),β∈(0,π2)，∴α+β∈(0,π)．
∵tanα=1−sinβcsβ，即sinαcsα=1−sinβcsβ，即sin(α+β)=csα，∴α+β=π2−α，即2α+β=π2，
故选：D．
由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sin(α+β)=csα，可得α+β=π2−α，从而得出结论．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：∵F1A=AB，OF1=OF2，∠BF1F2=∠BF1F2，
∴△AF1O∽△BF1F2，
又∵F1B⋅F2B=0，
∴OA⊥F1B，
∴kF1B⋅(−ba)=−1，即kF1B=ab，
∴直线F1B的方程为y=ab(x+c)，
联立直线F1B与渐近线y=bax，即y=ab(x+c)y=bax，解得B(a2cb2−a2,abcb2−a2)，
∵OB=12F1F2=c，
∴a4c2(b2−a2)2+a2b2c2(b2−a2)2=c2，化简可得b2=3a2，
由双曲线的性质，可得c2−a2=b2=3a2，即c2=4a2，
∴c=2a，
∴e=ca=2．
故选：C．
结合已知条件，可得OA⊥F1B，联立直线F1B与渐近线y=bax，可推得B点的坐标，并由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可推得b2=3a2，再结合双曲线的性质和离心率的公式，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，以及离心率的求解，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对A：设样本数据为：1，2，2，3，4，4，4，则数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的众数为4，而数据x2，x3，x4，x5，x6的众数为2，4，
所以x2，x3，x4，x5，x6的众数不等于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的众数，
故A错误；
对B：把数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7按从小到大顺序排好，则数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的中位数为x4；数据x2，x3，x4，x5，x6的中位数也是x4，故B正确；
对C：一组数据是常数时，去掉两个值(可以理解为最大、最小值)，数据的波动性不变；当数据不是常数时，去掉最大、最小值，数据的波动性一定变小，也就是方差变小．所以x2，x3，x4，x5，x6的方差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差．故C正确；
对D：把数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7按从小到大的顺序排好，则x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的极差为x7−x1，数据x2，x3，x4，x5，x6的极差为x6−x2，因为x1≤x2，x6≤x7，故x6−x2≤x7−x1，即x2，x3，x4，x5，x6的极差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的极差．故D错误．
故选：BC．
根据众数、中位数、方差、极差的概念以及计算公式逐项判断即可．
本题主要考查众数、中位数、方差、极差的概念以及计算公式，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：将f(x)图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12，得到y=2sin(2x+π6)，
再把所得图象向右平移π3个单位后，得到g(x)=2sin[2(x−π3)+π6]=2sin(2x−π2)=−2cs2x，
对于选项A：显然g(x)的定义域为R，且g(−x)=−2cs(−2x)=−2cs2x=g(x)，
可知g(x)是偶函数，故A错误；
对于选项B：若x∈[π6,2π3]，则2x∈[π3,4π3]，可得cs2x∈[−1,12]，
所以g(x)∈[−1,2]，故B错误；
对于选项C：若x∈[π4,π2]，则2x∈[π2,π]，且y=csx在[π2,π]内单调递减，
所以g(x)在区间[π4,π2]上单调递增，故C正确；
对于选项D：g(π4)=−2csπ2=0，所以点(π4,0)是g(x)的图象的一个对称中心，故D正确．
故选：CD．
根据图象变换结合诱导公式可得g(x)=−2cs2x，再根据余弦函数性质逐项分析判断．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，诱导公式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由a1=1，且3(n+1)an−nan+1=0(n∈N*)，
可得an+1n+1=3ann，
则数列{ann}是首项为1，公比为3的等比数列，
可得ann=3n−1，即an=n⋅3n−1，nan=n2⋅3n−1，故A错误，BC正确；
由Sn=1⋅30+2⋅31+...+n⋅3n−1，3Sn=1⋅3+2⋅32+...+n⋅3n，
作差可得−2Sn=1+31+...+3n−1−n⋅3n=1−3n1−3−n⋅3n，
化简可得Sn=(2n−1)⋅3n+14，故D正确．
故选：BCD．
由等比数列的定义和通项公式，可怕的ABC；由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，因为函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，
所以f(−x+1)=−f(x+1)，即f(x+2)=−f(−x)，
令x=−1，则f(1)=−f(1)，即f(1)=0，故A正确；
对于B，因为f(2+x)=f(2−x)，
所以f(x+4)=f(−x)，即f(x+4)=−f(x+2)，
所以f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以4是函数f(x)的一个周期，故B正确；
对于C，假设f(x+1)=−f(−x−1)，则f(x)=−f(−x)，
因为f(x+4)=f(−x)=f(x)，且f(x)的定义域为R，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数，
所以f(x)=0恒成立，与题干矛盾，故C不正确；
对于选项D，因为f(1)=0，f(x+2)=−f(x)，
所以f(3)=−f(1)=0，
所以f(x)在(0,4)上至少有两个零点，
因为f(x+4)=f(x)，所以f(x)为周期为4的偶函数，
而2024=4×506，
所以f(x)在[0,2024]上至少有2×506=1012个零点，故D正确．
故选：ABD．
根据题意，利用特殊值法求得f(1)，进而判断A的正误；利用函数f(x)的对称性与奇偶性即可判断B、C的正误；利用该函数f(x)的周期性即可判断D的正误，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性和对称性的应用，涉及函数的周期性，属于中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x(a⋅3x−3−x)是奇函数，
则有f(−x)=−f(x)，即(−x)(a⋅3−x−3x)=−x(a⋅3x−3−x)，
变形可得：(a+1)(3x−3−x)=0，则有a=−1．
故答案为：−1．
根据题意，由奇函数的定义可得(−x)(a⋅3−x−3x)=−x(a⋅3x−3−x)，变形可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
14.【答案】112
【解析】解：由题意可得多项式(x−4+4x)4表示4个(x−4+4x)因式相乘，
由计数原理可得，所求的含x2的项为C42 x2⋅(−4)2+C43x3⋅4x=112x2，
则x2的系数为112．
故答案为：112．
由题意可得多项式(x−4+4x)4表示4个(x−4+4x)因式相乘，然后根据二项式定理求出含x2的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
15.【答案】28π
【解析】解：∵△ABC是正三角形，且AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BD，AD⊥CD，且BD∩CD=D，BD，CD⊂平面BCD，
∴AD⊥平面BCD，
记AD的中点为F，△BCD的外接圆圆心为E，
过E作平面BCD的垂线，则球心G在该垂线上，连接GF，
∵AD⊥BD，AD⊥CD，
∴∠BCD为二面角B−AD−C的平面角，
∴∠BDC=2π3，
由正弦定理可知2DE=CDsinπ6=4，∴DE=2，
由垂径定理以及线面垂直的性质易知四边形DEGF是矩形，
∴FG=DE=2,AF=12AD= 3，
∴AG= AF2+FG2= 7，即外接球的半径R= 7，
∴外接球的表面积为S=4πR2=28π，
故答案为：28π．
画出图形，由二面角B−AD−C等于2π3可得∠BDC=2π3，利用正弦定理求出DE的长，再结合勾股定理求解．
本题主要考查了二面角的定义，考查了三棱锥外接球问题，属于中档题．
16.【答案】8 2
【解析】解：设AB中点为M，因为|PA|=|PB|，所以PM⊥AB，
由垂径定理可知CM⊥AB，且PM，CM有公共点M，所以P，C，M共线，
所以PC⊥AB，
设C到AB的距离为d，所以|AB|=2 r2−d2=2 12−d2，|PC|= ( 3−0)2+(0−1)2=2，
所以P到AB的距离为d+2(C位于AB和P之间)或d−2(P位于AB和C之间)，且d+2>d−2，
所以S△PAB=12×|AB|×(d+2)= (d+2)2(12−d2)且0≤d<2 3，
设f(d)=(d+2)2(12−d2),d∈[0,2 3),
所以f′(d)=2(d+2)(12−d2)+(d+2)2⋅(−2d)=−4(d+2)(d+3)(d−2)，
当d∈[0,2)时，f′(d)>0，f(d)单调递增，
当d∈(2,2 3)时，f′(d)<0，f(d)单调递减，
所以f(d)max=f(2)=128，所以S△PAB的最大值为 128=8 2．
故答案为：8 2．
根据条件先确定出PC，AB的位置关系，然后利用C到AB的距离d表示出S△PAB，由此构造函数利用导数求解出S△PAB的最大值．
本题考查直线与圆的综合运用，涉及到几何法表示弦长、利用导数求最值，对学生的计算能力要求较高，难度较大，是难题．
17.【答案】解：(1)证明：由a1=1，an≠0，anan+1=λSn−2，
可得n≥2时，an−1an=λSn−1−2，
上面两式相减可得anan+1−an−1an=λSn−2−λSn−1+2=λan，
化为an+1−an−1=λ，
即为an+2−an=λ；
(2)假设存在λ，使得{an}为等差数列．
由anan+1=λSn−2，可得a2=λ−2，
由an+2−an=λ，可得a3=λ+1，
由a1，a2，a3成等差数列，可得2a2=a1+a3，
即2(λ−2)=1+λ+1，解得λ=6，
可得{an}的公差为a2−a1=4−1=3，an=1+3(n−1)=3n−2，
则an+2−an=3n+4−(3n−2)=6成立．
所以，存在λ，且λ=6．
【解析】(1)由数列的递推式，结合n≥2时，an=Sn−Sn−1，可得证明；
(2)假设存在λ，使得{an}为等差数列，由等差数列的性质和通项公式，可得结论．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义和通项公式、性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为bsinA= 3acsB，所以sinBsinA= 3sinAcsB，
又因为A∈(0,π)，所以sinA>0，
所以sinB= 3csB，
所以tanB= 3，
又因为B∈(0,π )，
所以B=π3；
(2)因为asinA=bsinβ=csinC=4 33，
所以a=4 33sinA，c=4 33sinC，
则S=12acsinB=12×4 33sinA×4 33sinC× 32=4 33sinAsinC，L=a+b+c=4 33(sinA+sinC)+2，
所以SL=sinAsinCsinA+sinC+ 32，
因为sinC=sin(A+π3)=12sinA+ 32csA，
所以SL=sinAsinCsinA+sinC+ 32=12sin2A+ 32sinAcsA32sinA+ 32csA+ 32= 34sin2A−14cs2A+14 3sin(A+π6)+ 32
=12sin(2A−π6)+14 3[sin(A+π6)+12]= 36×12−cs(2A+π3)12+sin(A+π6)
= 33×sin2(A+π6)−14sin(A+π6)+12
= 33[sin(A+π6)−12]，
因为0
【解析】(1)先根据正弦定理进行边化角，然后再根据弦化切求解出tanB的值，则B可知；(2)先根据正弦定理将a，c表示为角的正弦形式，然后表示出三角形面积和周长，利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合正弦型函数的性质可求SL的最大值．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数性质在最值求解中的应用，属于难题．
19.【答案】解：(1)因为AB=AM=2，MB=2 2，
所以AM2+AB2=MB2，
所以AB⊥AM，
又AB⊥AD，且AM∩AD=A，AM⊂平面ADM，AD⊂平面ADM，
所以AB⊥平面ADM．
(2)因为AM=AD=2，MD=2 3，
则cs∠MAD=4+4−122×2×2=−12，且0°<∠MAD<180°，可知∠MAD=120°，
在平面ADM内过点A作x轴垂直于AM，又由(1)知AB⊥平面ADM，
分别以AM，AB所在直线为y，z轴建立如图所示空间直角坐标系A−xyz，
则D( 3,−1,0)，C( 3,−1,43)，B(0,0,2)，M(0,2,0)，
因为BE=2EM，则E(0,43,23)，
可得EC=( 3,−73,23)，BM=(0,2,−2)，BD=( 3,−1,−2)，
设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)，
则BM⋅n=2y−2z=0BD⋅n= 3x−y−2z=0，
取z=1得n=( 3,1,1)，
设直线EC与平面BDM所成角为θ∈[0,π2]，
则sinθ=|cs
所以直线EC与平面BDM所成角的正弦值为15．
【解析】(1)根据AB=AM=2，MB=2 2，利用勾股定理得到AB⊥AM，再由AB⊥AD，利用线面垂直的判定定理证明．
(2)由AM=AD=2，MD=2 3，易得∠MAD=120°，在平面ADM内过点A作x轴垂直于AM，再结合(1)以AM，AB所在直线为y，z轴建立空间直角坐标系，求得EC的坐标，平面BDM的一个法向量n，利用空间向量求线面夹角．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
20.【答案】解：(1)因为样本数据的平均数为：
(100×0.00050+300×0.00075+500×0.00100+700×0.00125+900×0.00100+1100×0.00050)×200=620，
所以预估2024年2月份健身客户人均消费的金额为620元；
(2)健身卫士中健身达人所占比例为+0.00050=13，
所以抽取的6人中健身达人有6×13=2人，
记“抽到的2人中至少1人为健身达人”为事件A，
所以P(A)=C41C21C62+C22C62=35；
(3)若选方案一，只需付款900元，
若选方案二，设付款金额为X元，则X可取700，800，900，1000，
所以P(X=700)=C33(1−12)0(12)3=18，
P(X=800)=C32(1−12)1(12)2=38，
P(X=800)=C31(1−12)2(12)1=38，
P(X=1000)=C30(1−12)3(12)0=18，
所以E(X)=700×18+800×38+900×38+1000×18=850元，
因为850<900，
所以应选择第二种促销方案．
【解析】(1)将组中值乘以对应频率并将所得结果相加即可求得健身客户人均消费的金额；
(2)先分析出抽取的6人中健身达人的人数，然后利用组合数求解出对应事件的概率；
(3)直接分析出方案一的付款金额；设方案二的付款金额为X元，先求解出X的概率分布，然后可求E(X)，比较E(X)与方案一的付款金额可知结果．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，以及离散型随机变量的期望，属于中档题．
21.【答案】(1)解：设椭圆的焦距为2c，
由题意知，( 2)2a2+( 22)2b2=1ca= 32a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c= 3，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(2)证明：由题意知，直线l的斜率不可能为0，设其方程为x=ty+m(m≠±2)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=ty+mx24+y2=1，得(t2+4)y2+2tmy+m2−4=0，
所以y1+y2=−2tmt2+4，y1y2=m2−4t2+4，
因为以线段MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，
所以AM⋅AN=(x1−2,y1)⋅(x2−2,y2)=(x1−2)(x2−2)+y1y2=(ty1+m−2)(ty2+m−2)+y1y2
=(t2+1)y1y2+t(m−2)(y1+y2)+(m−2)2=(t2+1)⋅m2−4t2+4+t(m−2)(−2tmt2+4)+(m−2)2=5m2−16m+12t2+4=0，
化简得(5m−6)(m−2)=0，
解得m=65或m=2(舍)，
所以m=65，即x=ty+65，
所以直线l过定点，且该定点的坐标为(65,0)．
【解析】(1)根据椭圆的方程与几何性质，列方程组求解即可；
(2)设直线l的方程为x=ty+m(m≠±2)，将其与椭圆方程联立，利用AM⋅AN=0，结合韦达定理，求出m的值，即可得解．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，平面向量数量积的坐标运算，灵活运用韦达定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)=0，f′(x0)=0，
f(x)=x3+ax+14，则f′(x)=3x2+a，
所以x03+ax0+14=03x02+a=0，解得x0=12,a=−34，
因此当a=−34时，x轴是曲线y=f(x)的切线．
(2)当x∈(1,+∞)时，g(x)=−lnx<0，从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0，
∴h(x)在(1,+∞)无零点，
当x=1时，若a≥−54，则f(1)=a+54≥0，h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0，
故x=1是h(x)的零点；若a<−54，则f(1)=a+54<0，h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0，
故x=1不是h(x)的零点，
当x∈(0,1)时，g(x)=−lnx>0，所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数，
(ⅰ)若a≤−3或a≥0，则f′(x)=3x2+a在(0,1)无零点，
故f(x)在(0,1)单调，而f(0)=14，f(1)=a+54，
所以当a≤−3时，f(x)在(0,1)有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0,1)无零点；
(ⅱ)若−3
①若f( −a3)>0，即−34
③若f( −a3)<0，即−3
(2)根据对数函数的图像与性质将x分为x>1，x=1，0
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