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广东省惠州市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段考试（4月）数学试题(无答案)
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这是一份广东省惠州市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段考试（4月）数学试题(无答案)，共5页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前n项和为，
A．7B．8C．9D．10
3．已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（ ）
A．1B．C．D．
4．2023年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥六号月球采样任务提供支持，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．下图是嫦娥六号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点D表示地球中心，点M表示月球．中心．嫦娥六号采样返回器将先沿近地球表面轨道作圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点A处沿圆D的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道C运行，并且点D为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月球表面附近的点B处减速变轨作圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3．7倍．则椭圆轨道C的离心率约为
A．0.67B．0.77C．0.87D．0.97
5．已知直线l经过点，则“直线l的斜率为-1”是“直线l与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知，则满的有序数组的个数是（ ）
A．B．C．D．
7．已知是自然对数的底数，设，则（ ）
A．B．C．D．
8．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件D．与为互斥事件
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若数列的前n项和，数列的通项，则（ ）
A．B．数列的前n项和
C．若，数列的前n项和D．的前20项积为
10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）．把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
图1 图2 图3
A．
B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最大值为2
C．点P到直线CQ的距离是
D．异面直线与所成角的正切值为
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B．若圆与双曲线C的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率
B．为定值
C．的最小值为3
D．若直线与双曲线C的渐近线交于M、N两点，点D为MN的中点，OD（O为坐标原点）的斜率为，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在的展开式中，x的一次项的系数为______________（用数字作答）．
13．2024年3月17日惠州马拉松赛事设置了江北体育馆、惠州西湖、东坡祠、金山湖、惠州奥林匹克体育场等5个志愿者服务点，小明和另3名同学要去以上5个服务点中的某一个服务点参加志愿者服务活动，则小明去东坡祠服务点，且4人中恰有两人去同一志愿者服务点的概率为______________．
14．已知函数满足若，函数，则**．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知点，动点P满足，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设动点P的轨迹为曲线C，若直线l过点，且曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程．
16．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点Q在线段上．
（1）当时，证明：B，N，M，Q四点共面；
（2）若平面与平面MBQ夹角的余弦值为时，求的长度．
17．（本小题满分15分）
已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值．
18．（本小题满分17分）
设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）在（1）条件下，若对任意，有恒成立，求m的最大值．
19．（本小题满分17分）
已知抛物线过焦点F的直线交抛物线于两点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若线段PA，PB交y轴于两点，判断是否是定值，若是，求出该值，否则说明理由．
（3）若直线交抛物线于C，D两点，是否存在整数m，使得的重心恰在抛物线上．若存在，求出满足条件的所有m的值，否则说明理由．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前n项和为，
A．7B．8C．9D．10
3．已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（ ）
A．1B．C．D．
4．2023年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥六号月球采样任务提供支持，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．下图是嫦娥六号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点D表示地球中心，点M表示月球．中心．嫦娥六号采样返回器将先沿近地球表面轨道作圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点A处沿圆D的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道C运行，并且点D为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月球表面附近的点B处减速变轨作圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3．7倍．则椭圆轨道C的离心率约为
A．0.67B．0.77C．0.87D．0.97
5．已知直线l经过点，则“直线l的斜率为-1”是“直线l与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知，则满的有序数组的个数是（ ）
A．B．C．D．
7．已知是自然对数的底数，设，则（ ）
A．B．C．D．
8．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件D．与为互斥事件
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若数列的前n项和，数列的通项，则（ ）
A．B．数列的前n项和
C．若，数列的前n项和D．的前20项积为
10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）．把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
图1 图2 图3
A．
B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最大值为2
C．点P到直线CQ的距离是
D．异面直线与所成角的正切值为
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B．若圆与双曲线C的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率
B．为定值
C．的最小值为3
D．若直线与双曲线C的渐近线交于M、N两点，点D为MN的中点，OD（O为坐标原点）的斜率为，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在的展开式中，x的一次项的系数为______________（用数字作答）．
13．2024年3月17日惠州马拉松赛事设置了江北体育馆、惠州西湖、东坡祠、金山湖、惠州奥林匹克体育场等5个志愿者服务点，小明和另3名同学要去以上5个服务点中的某一个服务点参加志愿者服务活动，则小明去东坡祠服务点，且4人中恰有两人去同一志愿者服务点的概率为______________．
14．已知函数满足若，函数，则**．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知点，动点P满足，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设动点P的轨迹为曲线C，若直线l过点，且曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程．
16．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点Q在线段上．
（1）当时，证明：B，N，M，Q四点共面；
（2）若平面与平面MBQ夹角的余弦值为时，求的长度．
17．（本小题满分15分）
已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值．
18．（本小题满分17分）
设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）在（1）条件下，若对任意，有恒成立，求m的最大值．
19．（本小题满分17分）
已知抛物线过焦点F的直线交抛物线于两点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若线段PA，PB交y轴于两点，判断是否是定值，若是，求出该值，否则说明理由．
（3）若直线交抛物线于C，D两点，是否存在整数m，使得的重心恰在抛物线上．若存在，求出满足条件的所有m的值，否则说明理由．
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