2023-2024学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷 （含解析），共18页。试卷主要包含了直线在轴上的截距是，下列命题中，真命题是，方程的根是　　，方程的解是 　　等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）直线在轴上的截距是
A．B．C．1D．2
2．（2分）下列关于的方程中，其中说法正确的是
A．方程是一元三次方程
B．方程是一元三次方程
C．方程是一元二次方程
D．方程是分式方程
3．（2分）用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为
A．B．C．D．
4．（2分）已知关于的一次函数，那么它的图象一定经过
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限
5．（2分）下列命题中，真命题是
A．若，则B．若则C．若，则D．若，则
6．（2分）已知四边形中，与交于点，，那么下列命题中错误的是
A．如果，，那么四边形是菱形
B．如果，，那么四边形是菱形
C．如果，，那么四边形是矩形
D．如果，，那么四边形是矩形
二.填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分）
7．（3分）方程的根是 ．
8．（3分）方程的解是 ．
9．（3分）已知直线经过点，那么不等式的解集是 ．
10．（3分）在分别标有1、2、3、4、6的五张卡片中随机抽取2张卡片，那么抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率是 ．
11．（3分）某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为，那么可以列出的方程是 ．
12．（3分）已知：一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形的边数为 ．
13．（3分）在直角坐标平面内，如果的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，已知点，那么点的坐标是 ．
14．（3分）在矩形中，对角线、交于点，已知，，那么的长是 ．
15．（3分）如图，在梯形中，，，已知，，那么梯形的中位线长是 （用含、的式子表示）．
16．（3分）如图，是矩形的对角线，已知，，点在边上，将矩形沿直线翻折，如果点恰好落在对角线上，那么的长是 ．
三.（本大题共8题，第17-18题每题5分；第19-22题每题7分；第23题8分；第24题12分；满分58分）
17．（5分）解方程：．
18．（5分）解方程组：
19．（7分）某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程，据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可完成；如果甲队先做10天后，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天才能完工，甲乙两队单独完成此项工程各需多少天？
20．（7分）如图，在梯形中，，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）设，，当时，试用向量、表示向量．
21．（7分）某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中种桂花树苗的价格为每株75元，种桂花树苗的价格为每株100元，如果购买这两种桂花树苗共45株，其中种桂花树苗的数量不超过种桂花树苗数量的2倍．设购买种桂花树苗株，购买、两种桂花树苗的总费用是元．
（1）求关于的函数关系式；
（2）根据（1）的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用．
22．（7分）如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，联结．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，四边形的面积是30，求的长．
23．（8分）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点．
（1）求点的坐标；
（2）一次函数的图象分别与轴、轴交于点、（如图），如果直线将的面积平分，求的值；
（3）在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线，点是直线上的点，如果，求点的坐标．
24．（12分）如图，点是正方形的边上的一点，过点作交的延长线于点，联结交于点．
（1）求的大小；
（2）如果，求证：；
（3）如果，当时，求的长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一.选择题（共6题，每题2分，满分12分）.
1．（2分）直线在轴上的截距是
A．B．C．1D．2
解：根据题意，得，
所以直线在轴上的截距是1．
故选：．
2．（2分）下列关于的方程中，其中说法正确的是
A．方程是一元三次方程
B．方程是一元三次方程
C．方程是一元二次方程
D．方程是分式方程
解：、方程是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；
、方程是一元三次方程，故本选项正确，符合题意；
、方程是一元一次方程，故本选项错误，不符合题意；
、方程是一元一次方程，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
3．（2分）用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为
A．B．C．D．
解：，
设，
则原方程化为，
整理得：，
故选：．
4．（2分）已知关于的一次函数，那么它的图象一定经过
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限
解：因为一次函数的解析式为，
所以，
所以随的增大而增大，
故不论取何值，此函数图象一定经过第一、三象限．
故选：．
5．（2分）下列命题中，真命题是
A．若，则B．若则C．若，则D．若，则
解：．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意；
．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意；
．若，则，故原说法是真命题，该选项符合题意；
．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意；
故选：．
6．（2分）已知四边形中，与交于点，，那么下列命题中错误的是
A．如果，，那么四边形是菱形
B．如果，，那么四边形是菱形
C．如果，，那么四边形是矩形
D．如果，，那么四边形是矩形
解：、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是菱形；不符合题意；
、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是菱形；不符合题意；
、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是矩形；不符合题意；
、如果，，那么四边形是等腰梯形，不一定矩形，符合题意；
故选：．
二.填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分）
7．（3分）方程的根是 ．
解：，
，
解得：．
故答案为：．
8．（3分）方程的解是 ．
解：，
，
，
，
，
或，
，，
检验：把代入，
是原分式方程的解；
把代入，
不是原分式方程的解，
是原分式方程的解，
故答案为：．
9．（3分）已知直线经过点，那么不等式的解集是 ．
解：将点代入直线的函数解析式得，
，
则．
由得，
，
即．
因为，
所以，
解得．
故答案为：．
10．（3分）在分别标有1、2、3、4、6的五张卡片中随机抽取2张卡片，那么抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率是 ．
解：1既不是素数也不是合数，2和3是素数，4和6是合数，
树状图如下所示：
由上可得，一共有20种等可能性，其中抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数的可能性有8种，
故抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率为，
故答案为：．
11．（3分）某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为，那么可以列出的方程是 ．
解：企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，这三年中每年的增长率相同，
设这三年中每年的增长率为，那么可以列出的方程是
．
12．（3分）已知：一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形的边数为 18 ．
解：多边形的每一个内角都等于，
多边形的每一个外角都等于，
边数．
故答案为：18．
13．（3分）在直角坐标平面内，如果的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，已知点，那么点的坐标是 ．
解：平行四边形对角线的交点恰好与坐标原点重合，
点和点关于原点中心对称，
，
，
故答案为：．
14．（3分）在矩形中，对角线、交于点，已知，，那么的长是 ．
解：如图，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
15．（3分）如图，在梯形中，，，已知，，那么梯形的中位线长是 （用含、的式子表示）．
解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
由勾股定理得：，
梯形的中位线长是，
故答案为：．
16．（3分）如图，是矩形的对角线，已知，，点在边上，将矩形沿直线翻折，如果点恰好落在对角线上，那么的长是 5 ．
解：四边形是矩形，
，
，，
，
将沿直线翻折，点的对应点为点
，，，
，，
，
，
，
故答案为：5．
三.（本大题共8题，第17-18题每题5分；第19-22题每题7分；第23题8分；第24题12分；满分58分）
17．（5分）解方程：．
解：，
移项得：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验：是原方程的解，不是原方程的增根，舍去，
原方程的解是．
18．（5分）解方程组：
解：
由①得：，
，
由②得：，
，，
即原方程组化为：，，，，
解得：，，，，
所以原方程组的解为：，，，．
19．（7分）某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程，据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可完成；如果甲队先做10天后，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天才能完工，甲乙两队单独完成此项工程各需多少天？
解：设甲乙两队单独完成此项工程分别需要天和天．根据题意，可列出方程组：
，
解得：，
经检验是原方程组的解，且符合题意，
答：甲乙两队单独完成此项工程分别需要20天和30天．
20．（7分）如图，在梯形中，，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）设，，当时，试用向量、表示向量．
【解答】（1）证明：，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
．
．
21．（7分）某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中种桂花树苗的价格为每株75元，种桂花树苗的价格为每株100元，如果购买这两种桂花树苗共45株，其中种桂花树苗的数量不超过种桂花树苗数量的2倍．设购买种桂花树苗株，购买、两种桂花树苗的总费用是元．
（1）求关于的函数关系式；
（2）根据（1）的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用．
解：（1）由题意得：；
（2）由题意得：，
解得：，
又，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，为（元，
此时需要购买种桂花树苗30棵，种桂花树苗15棵，总费用3750元．
22．（7分）如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，联结．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，四边形的面积是30，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
是斜边上的中线，
，
，且，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）解：联结，
四边形是菱形，且，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
的长为10．
23．（8分）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点．
（1）求点的坐标；
（2）一次函数的图象分别与轴、轴交于点、（如图），如果直线将的面积平分，求的值；
（3）在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线，点是直线上的点，如果，求点的坐标．
解：（1），
当时，，即点；
（2）一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，则点、，
设直线交于点，交轴于点，
则，即，
则，
即点，，
将点的坐标代入得：，
解得：；
（3）平移后的一次函数表达式为：，
设点，
由得：，
解得：，
即点．
24．（12分）如图，点是正方形的边上的一点，过点作交的延长线于点，联结交于点．
（1）求的大小；
（2）如果，求证：；
（3）如果，当时，求的长．
【解答】（1）解：正方形，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）证明：在上截取点，使，连接，如图1，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（3）解：由（1）知，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
即是的角平分线，
作于点，如图2，
则，
，，
，
，
正方形，，
，，
，是等腰直角三角形，
．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
A
B
C
D