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上海市徐汇区2022-2023学年下学期八年级期末数学试卷（含答案）
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这是一份上海市徐汇区2022-2023学年下学期八年级期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，简答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列函数中，一次函数是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝kx+b C． D．y＝x2﹣2x
2．（3分）一次函数y＝﹣2（x﹣1）在y轴上的截距是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．（3分）下列各式错误的是（ ）
A．||＝0 B．+（﹣）＝0 C．+＝+ D．＝+（﹣）
4．（3分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）下列事件中，属于确定事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，落地后正面朝上
B．菱形的两条对角线相等
C．两个非零实数的积为正
D．10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只
6．（3分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD
二、填空题。（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）将直线y＝2x+1平移，使平移后的直线经过点（0，﹣3），所得直线的表达式是 ．
8．（2分）方程（x﹣1）2＝27的根是 ．
9．（2分）方程的解为 ．
10．（2分）在分式方程+＝1中，令y＝，则原方程可化为关于y的方程是 ．
11．（2分）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 ．
12．（2分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ．
13．（2分）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若BF平分∠ABC，BC＝6，则BE的长为 ．
15．（2分）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 ．
16．（2分）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为点O，如果BD＝8cm，那么梯形ABCD的上下底之和等于 cm．
17．（2分）我们把两条对角线长度之比为1：2的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的面积为8，那么它的边长是 ．
18．（2分）如图，▱ABCD中，AB∥x轴，AB＝12．点A的坐标为（2，﹣8），点D的坐标为（﹣6，8），点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为 ．
三、计算题。（每题8分，共16分）
19．（8分）解方程：．
20．（8分）解方程组：．
四、简答题。（第21、22题每题7分，第23、24题每题6分，共26分）
21．（7分）如图，四边形ABCD和四边形ACDE都是平行四边形，
（1）填空：＝ ；＝ ；
（2）求作：．
22．（7分）有两个不透明的袋子分别装有除颜色外其余均相同的小球，甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和1个白球．
（1）如果在甲袋中摸出一个小球，那么摸到黑球是 （填“确定事件”或“随机事件”）；
（2）如果在乙袋中摸出一个小球，那么摸到红球或白球的概率是 ；
（3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明）
23．（6分）某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．
24．（6分）如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC＝2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC＝2DG．
五、综合题。（每题8分，共16分）
25．（8分）如图，一次函数y＝x+b的图象与x轴相交于点A（5，0），与y轴相交于点B
（1）求点B的坐标及∠ABO的度数；
（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标．
26．（8分）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中（0≤t≤10）．
（1）如图1，M、N分别是AB、CD中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值；
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，与EF相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的，则t的值是 ．
2022-2023学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列函数中，一次函数是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝kx+b C． D．y＝x2﹣2x
【分析】根据一次函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、是一次函数，故此选项符合题意；
B、当k≠0时，y＝kx+b是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2﹣2x是二次函数，不是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
2．（3分）一次函数y＝﹣2（x﹣1）在y轴上的截距是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】代入x＝0求出y值，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2×（0﹣1）＝2，
∴一次函数y＝﹣2（x﹣1）在y轴上的截距是2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“代入x＝0，求出的y值即为一次函数图象在y轴上的截距”是解题的关键．
3．（3分）下列各式错误的是（ ）
A．||＝0 B．+（﹣）＝0 C．+＝+ D．＝+（﹣）
【分析】根据平面向量的意义和性质进行分析作答．
【解答】解：A、||＝0，不符合题意．
B、+（﹣）＝，符合题意．
C、+＝+，不符合题意．
D、＝+（﹣），不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向，且实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中．
4．（3分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：一次函数y＝﹣2x﹣1中，
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
5．（3分）下列事件中，属于确定事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，落地后正面朝上
B．菱形的两条对角线相等
C．两个非零实数的积为正
D．10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，属于不确定事件，故A不符合题意；
B、菱形的两条对角线相等，是随机事件，属于不确定事件，故B不符合题意；
C、两个非零实数的积为正，是随机事件，属于不确定事件，故C不符合题意；
D、10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只，是必然事件，属于确定事件，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，菱形的性质，实数的运算，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
6．（3分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD
【分析】先判断四边形ABCD是矩形，由正方形的判定可直接判断D正确．
【解答】解：在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形，
故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定等．
二、填空题。（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）将直线y＝2x+1平移，使平移后的直线经过点（0，﹣3），所得直线的表达式是 y＝2x﹣3 ．
【分析】根据平移不改变k的值可设y＝2x+b，然后将点（0，﹣3）代入即可得出直线的函数解析式．
【解答】解：设平移后的函数表达式是y＝2x+b，
∵它经过点（0，﹣3），
∴﹣3＝b，
解得：b＝﹣3．
∴平移后的函数解析式为：y＝2x﹣3．
故答案为：y＝2x﹣3．
【点评】此题考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．
8．（2分）方程（x﹣1）2＝27的根是 x1＝1+3，x2＝1﹣3 ．
【分析】方程两边开方得出x﹣1＝，再求出方程的解即可．
【解答】解：（x﹣1）2＝27，
方程两边开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+3，x2＝1﹣3．
故答案为：x1＝1+3，x2＝1﹣3．
【点评】本题考查了接一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
9．（2分）方程的解为 3 ．
【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．
【解答】解：两边平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，
检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，
当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x的值代入原方程进行检验．
10．（2分）在分式方程+＝1中，令y＝，则原方程可化为关于y的方程是 y2﹣y+2＝0 ．
【分析】设y＝，则＝，原方程可化为y+＝1，求出即可．
【解答】解：设y＝，则原方程可化为y+＝1，
即y2﹣y+2＝0，
故答案为：y2﹣y+2＝0．
【点评】本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键，难度适中．
11．（2分）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 120° ．
【分析】根据n边形内角和公式（n﹣2）⋅180°求解即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（5﹣2）×180°＝540°，∠A＝∠B＝∠D，∠C＝∠E＝90°，
∴3∠A+2×90°＝540°，
则∠A＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了多边形的内角和问题，掌握多边形的内角和公式是解答的关键．
12．（2分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 x＜2 ．
【分析】根据一次函数的性质和函数图象，可以直接写出当y＞0时，x的取值范围．
【解答】解：由图象可得，
当y＞0时，x的取值范围是x＜2，
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．（2分）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 y＝2.4x+6.8 ．
【分析】根据乘车费用＝起步价+超过3千米的付费得出．
【解答】解：依题意有：y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8．
故答案为：y＝2.4x+6.8．
【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用＝起步价+超过3千米的付费．
14．（2分）如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若BF平分∠ABC，BC＝6，则BE的长为 3 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，EF＝BC，根据平行线的性质得到∠EFB＝∠FBC，进而得出∠EFB＝∠ABF，得到BE＝EF＝3．
【解答】解：∴E，F分别是AB，AC的中点，BC＝6，
∴EF∥BC，EF＝BC＝×6＝3，
∴∠EFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠EFB＝∠ABF，
∴BE＝EF＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（2分）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 9 ．
【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解．
【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了矩形是中心对称．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
16．（2分）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为点O，如果BD＝8cm，那么梯形ABCD的上下底之和等于 8 cm．
【分析】根据等腰梯形的性质得出AC＝BD，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：过D点作DE∥AC，交BC的延长线于E，
∴∠BDE＝∠BOC，
∵AC⊥BD，
∴∠BDE＝∠BOC＝90°，
∵等腰梯形ABCD，
∴AC＝BD＝8，
∵AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝BD，AD＝CE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE＝8＝BC+CE＝BC+AD，
即梯形ABCD的上下底之和等于8cm，
故答案为：8．
【点评】此题考查等腰梯形的性质，关键是根据等腰梯形的对角线相等解答．
17．（2分）我们把两条对角线长度之比为1：2的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的面积为8，那么它的边长是 ．
【分析】设BD＝x，AC＝2x，由菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积＝AC•BD＝8，得到x2＝8，求出x＝2，得到OD＝，AO＝2，由勾股定理得到AD＝＝，即可得到菱形的边长是．
【解答】解：如图，菱形ABCD中，BD：AC＝1：2，
设BD＝x，AC＝2x，
∵菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积＝AC•OD+AC•OB＝AC•BD＝8，
∴×2x•x＝8，
∴x2＝8，
∴x＝2，
∵OD＝BD＝x＝，AO＝AC＝x＝2，
∴AD＝＝，
∴菱形的边长是．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OD，AO的长．
18．（2分）如图，▱ABCD中，AB∥x轴，AB＝12．点A的坐标为（2，﹣8），点D的坐标为（﹣6，8），点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为 （，8）或（﹣，8） ．
【分析】先求出直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣4，则可求G（0，﹣4），设P（m，8），则M（m，﹣4），可求PM＝12，PN＝8，分两种情况讨论：当M'在x轴负半轴时，由折叠可知PM'＝12，在Rt△M'NP中，由勾股定理可求M'N＝4，在Rt△M'OG中，M'G＝x，OG＝4，可求M'O＝，所以+x＝4，解得x＝，则P（，8）；当M'在x轴正半轴时，同理可得，﹣x+＝4，解得x＝﹣，求得P（﹣，8）．
【解答】解：设AD的直线解析式为y＝kx+b，
将A（2，﹣8），D（﹣6，8）代入可得，
，
解得，
∴y＝﹣2x﹣4，
∴G（0，﹣4），
∵点P是CD边上，CD∥x轴，
设P（m，8），
∵GM∥y轴，
∴M（m，﹣4），
∴PM＝12，PN＝8，
当M'在x轴负半轴时，如图1，
由折叠可知GM＝GM'，PM＝PM'，
∴PM'＝12，
在Rt△M'NP中，M'N＝＝4，
在Rt△M'OG中，M'G＝x，OG＝4，
∴M'O＝，
∴+x＝4，
解得x＝，
∴P（，8）；
当M'在x轴正半轴时，如图2，
同理可得，﹣x+＝4，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，8）；
综上所述：P点坐标为（，8）或（﹣，8），
方法2：由折叠可知GM'＝GM＝m，PM'＝PM＝12，
在Rt△M'NP中，M'N＝4，
在Rt△M'OG中，M'O＝，
∴M'N＝M'O+ON＝m+，
∴m+＝4，
∴m＝，
∴P（，8）；
在Rt△M'NP中，M'N＝4，
∴M'N＝M'O+ON＝﹣m，
∴﹣m＝4，
∴m＝﹣，
∴P（﹣，8）；
综上所述：P点坐标为（，8）或（﹣，8），
故答案为（，8）或（﹣，8）．
【点评】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．
三、计算题。（每题8分，共16分）
19．（8分）解方程：．
【分析】先把移到等号的右边，再两边进行平方，然后合并同类项，得出x+2＝0，再根据二次根式有意义的条件即可得出x的值．
【解答】解：∵，
∴＝1﹣，
∴（）2＝（1﹣）2，
∴2x+1＝1﹣2+x，
∴2x﹣x+2＝0，
∴x+2＝0，
∵要使式子有意义，x的取值一定是大于等于0，
∵x+2＝0，
∴x＝0．
【点评】此题考查了无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用平方法求出x+2＝0，再x的取值范围求出x的值是本题的关键．
20．（8分）解方程组：．
【分析】先将①左边因式分解，得x+3y＝2或x+3y＝﹣2，然后与①联立成两个二元一次方程组即可求解．
【解答】解：由①得，
（x+3y）2＝4，
∴x+3y＝2或x+3y＝﹣2，
当x+3y＝2时，
x＝2﹣3y，
把x＝2﹣3y代入②得，
2﹣3y﹣3y＝8，
∴y＝﹣1，
∴x＝2﹣3y＝2﹣3×（﹣1）＝5，
∴，
当x+3y＝﹣2时，
x＝﹣3y﹣2，
把x＝﹣3y﹣2代入②得，
﹣3y﹣2﹣3y＝8，
∴﹣6y＝10，
∴y＝，
∴x＝﹣3y﹣2
＝﹣3×﹣2
＝3，
∴，
综上所述原方程组的解为 或．
【点评】本题考查了二元二次方程组的解法，关键是将①分解因式，转化为二元一次方程组．
四、简答题。（第21、22题每题7分，第23、24题每题6分，共26分）
21．（7分）如图，四边形ABCD和四边形ACDE都是平行四边形，
（1）填空：＝ ；＝ ；
（2）求作：．
【分析】（1）直接根据三角形法则即可求解，其中ABCD是平行四边形，则＝；
（2），利用平行四边形法则求解．
【解答】解：（1）填空：＝；＝＝；
（2）＝，或＝．
所画图形如下所示：
．
【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及三角形和平行四边形法则的熟练掌握．
22．（7分）有两个不透明的袋子分别装有除颜色外其余均相同的小球，甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和1个白球．
（1）如果在甲袋中摸出一个小球，那么摸到黑球是 确定事件 （填“确定事件”或“随机事件”）；
（2）如果在乙袋中摸出一个小球，那么摸到红球或白球的概率是 100% ；
（3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明）
【分析】（1）根据确定事件，随机事件的定义结合具体问题情境进行判断即可；
（2）根据概率的定义以及确定事件的定义进行解答即可；
（3）用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）由于甲袋中有1个红球和2个白球，从甲袋中摸出一个小球不可能摸到黑球，是不可能事件，是确定事件，
故答案为：确定事件；
（2）乙袋中只有红球和白球，摸出1球不是红球就是白球，因此在乙袋中摸出一个小球，摸到红球或白球的概率是100%，
故答案为：100%；
（3）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中摸到两球颜色相同的有4种，
所以摸到两球颜色相同的概率是．
【点评】本题考查列表法或树状图法，随机事件，确定事件以及概率的计算，理解确定事件、随机事件的定义以及用树状图表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
23．（6分）某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．
【分析】等量关系为：总售价﹣总进价＝350．
【解答】解：设每盒茶叶的进价为x元．
50×x（1+20%）+（x﹣5）×（﹣50）﹣2400＝350．
解得：x＝40或x＝﹣30，
经检验：x＝40或x＝﹣30都是原方程的解，但x＝﹣30不合题意，应舍去．
答：每盒茶叶的进价为40元．
【点评】找到合适的等量关系是解决问题的关键，难点是得到余下茶叶的数量．
24．（6分）如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC＝2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC＝2DG．
【分析】（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD＝AE，即可证明结论．
【解答】证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），
∴DE∥AB，DE＝AB（三角形中位线性质）．（1分）
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形（平行四边形定义）．（1分）
∵BC＝2AB，BC＝2BD，
∴AB＝BD．（1分）
∴四边形ABDF是菱形．（1分）
（2）∵四边形ABDF是菱形，
∴AF＝AB＝DF（菱形的四条边都相等）．
∵DE＝AB，
∴EF＝AF．（1分）
∵G是AF的中点．
∴GF＝AF，
∴GF＝EF．（1分）
∴△FGD≌△FEA，（1分）
∴GD＝AE，
∵AC＝2EC＝2AE，
∴AC＝2DG．（1分）
【点评】此题综合运用了三角形的中位线定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．
五、综合题。（每题8分，共16分）
25．（8分）如图，一次函数y＝x+b的图象与x轴相交于点A（5，0），与y轴相交于点B
（1）求点B的坐标及∠ABO的度数；
（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，利用三角函数求得∠ABO的度数；
（2）四边形ABCD是直角梯形，分类讨论①CD⊥AD，AB是底边时，②AD∥BC，CD⊥AD时．
【解答】解：（1）把（5，0）代入y＝x+b得5+b＝0，
解得：b＝﹣5，
则函数的解析式是y＝x﹣5，
当x＝0时，y＝﹣5，则OB＝5，B的坐标是（0，﹣5），
sin∠ABO＝＝＝，
∴∠ABO＝60°；
（2）四边形ABCD是直角梯形，
①CD⊥AD，AB是底边．
设过A且与AB垂直的直线的解析式是y＝﹣x+c，
把（5，0）代入得：﹣15+c＝0，
解得：c＝15，
则直线解析式是y＝﹣x+15，
过C与AB平行的直线解析式是y＝x+3，
则根据题意得：，
解得：，
则D的坐标是（3，6）
②AD∥BC，CD⊥AD时，由于A（5，0），C（0，3），则可知D（5，3）．
综上D（3，6）或（5，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确确定D点的位置，是过A且与直线AB垂直的直线，与过C平行AB的直线，两直线的交点是关键．
26．（8分）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中（0≤t≤10）．
（1）如图1，M、N分别是AB、CD中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值；
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，与EF相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的，则t的值是 ．
【分析】（1）先证四边形EMFN是平行四边形，则当EF＝MN＝16时，四边形EMFN是矩形，即可求解；
（2）①如图2，连接GH，CH，由菱形的性质可得GH⊥AC，得GH是AC的垂直平分线，则AH＝CH，由勾股定理可求解；
②由线段垂直平分线和勾股定理可求AQ＝CQ＝10，由面积和差关系可求解．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠MAE＝∠NCF，
∵M、N分别是AB，DC中点，
∴AM＝CN，
∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，
∴AE＝CF＝2t，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴ME＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴ME∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
如图1，连接MN，
∵矩形ABCD，M，N分别是AB，DC中点，
∴四边形MBCN是矩形，
∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，
∴MN＝BC＝16，AC＝＝8，
∵四边形EMFN是平行四边形，
∴当EF＝MN＝16时，四边形EMFN是矩形，
∴8﹣4t＝16或4t﹣8＝16，
解得：t＝2﹣4或2+4；
（2）①由（1）知：AE＝CF，
如图2，连接GH，CH，
∵四边形EGFH为菱形，
∴AC⊥GH，OE＝OF，
∴OA＝OC，
∴AH＝HC，
∵HC2＝CD2+DH2，
∴AH2＝64+（16﹣AH）2，
∴AH＝CH＝10，
∴DH＝6，
∴CD+DH＝8+6＝14，
∴t＝＝7；
②如图3，连接AQ，
由①同理得：AQ＝CQ＝10，BQ＝6，
由①知：AP＝10，
∴AP＝CQ，
∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，
∴AG＝CH，
又∵∠GAP＝∠QCH＝90°，
∴△APG≌△CQH（SAS），
∴GP＝QH，
同理可证PH＝GQ，
∴四边形GQHP是平行四边形，
∵四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的，
∴S▱PGDH＝S矩形ABCD，
∴2S△PGQ＝S矩形ABCD＝×8×16＝60，
∴S△PGQ＝30，
∴S△AGP+S△GBQ＝×8×16﹣30＝34，
∴×AG×10+×6×（8﹣AG）＝34，
∴AG＝5，
∴t＝；
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质，轴对称的最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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2022-2023学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列函数中，一次函数是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝kx+b C． D．y＝x2﹣2x
2．（3分）一次函数y＝﹣2（x﹣1）在y轴上的截距是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．（3分）下列各式错误的是（ ）
A．||＝0 B．+（﹣）＝0 C．+＝+ D．＝+（﹣）
4．（3分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）下列事件中，属于确定事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，落地后正面朝上
B．菱形的两条对角线相等
C．两个非零实数的积为正
D．10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只
6．（3分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD
二、填空题。（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）将直线y＝2x+1平移，使平移后的直线经过点（0，﹣3），所得直线的表达式是 ．
8．（2分）方程（x﹣1）2＝27的根是 ．
9．（2分）方程的解为 ．
10．（2分）在分式方程+＝1中，令y＝，则原方程可化为关于y的方程是 ．
11．（2分）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 ．
12．（2分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ．
13．（2分）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若BF平分∠ABC，BC＝6，则BE的长为 ．
15．（2分）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 ．
16．（2分）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为点O，如果BD＝8cm，那么梯形ABCD的上下底之和等于 cm．
17．（2分）我们把两条对角线长度之比为1：2的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的面积为8，那么它的边长是 ．
18．（2分）如图，▱ABCD中，AB∥x轴，AB＝12．点A的坐标为（2，﹣8），点D的坐标为（﹣6，8），点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为 ．
三、计算题。（每题8分，共16分）
19．（8分）解方程：．
20．（8分）解方程组：．
四、简答题。（第21、22题每题7分，第23、24题每题6分，共26分）
21．（7分）如图，四边形ABCD和四边形ACDE都是平行四边形，
（1）填空：＝ ；＝ ；
（2）求作：．
22．（7分）有两个不透明的袋子分别装有除颜色外其余均相同的小球，甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和1个白球．
（1）如果在甲袋中摸出一个小球，那么摸到黑球是 （填“确定事件”或“随机事件”）；
（2）如果在乙袋中摸出一个小球，那么摸到红球或白球的概率是 ；
（3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明）
23．（6分）某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．
24．（6分）如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC＝2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC＝2DG．
五、综合题。（每题8分，共16分）
25．（8分）如图，一次函数y＝x+b的图象与x轴相交于点A（5，0），与y轴相交于点B
（1）求点B的坐标及∠ABO的度数；
（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标．
26．（8分）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中（0≤t≤10）．
（1）如图1，M、N分别是AB、CD中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值；
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，与EF相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的，则t的值是 ．
2022-2023学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列函数中，一次函数是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝kx+b C． D．y＝x2﹣2x
【分析】根据一次函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、是一次函数，故此选项符合题意；
B、当k≠0时，y＝kx+b是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2﹣2x是二次函数，不是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
2．（3分）一次函数y＝﹣2（x﹣1）在y轴上的截距是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】代入x＝0求出y值，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2×（0﹣1）＝2，
∴一次函数y＝﹣2（x﹣1）在y轴上的截距是2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“代入x＝0，求出的y值即为一次函数图象在y轴上的截距”是解题的关键．
3．（3分）下列各式错误的是（ ）
A．||＝0 B．+（﹣）＝0 C．+＝+ D．＝+（﹣）
【分析】根据平面向量的意义和性质进行分析作答．
【解答】解：A、||＝0，不符合题意．
B、+（﹣）＝，符合题意．
C、+＝+，不符合题意．
D、＝+（﹣），不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向，且实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中．
4．（3分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：一次函数y＝﹣2x﹣1中，
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
5．（3分）下列事件中，属于确定事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，落地后正面朝上
B．菱形的两条对角线相等
C．两个非零实数的积为正
D．10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，属于不确定事件，故A不符合题意；
B、菱形的两条对角线相等，是随机事件，属于不确定事件，故B不符合题意；
C、两个非零实数的积为正，是随机事件，属于不确定事件，故C不符合题意；
D、10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只，是必然事件，属于确定事件，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，菱形的性质，实数的运算，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
6．（3分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD
【分析】先判断四边形ABCD是矩形，由正方形的判定可直接判断D正确．
【解答】解：在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形，
故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定等．
二、填空题。（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）将直线y＝2x+1平移，使平移后的直线经过点（0，﹣3），所得直线的表达式是 y＝2x﹣3 ．
【分析】根据平移不改变k的值可设y＝2x+b，然后将点（0，﹣3）代入即可得出直线的函数解析式．
【解答】解：设平移后的函数表达式是y＝2x+b，
∵它经过点（0，﹣3），
∴﹣3＝b，
解得：b＝﹣3．
∴平移后的函数解析式为：y＝2x﹣3．
故答案为：y＝2x﹣3．
【点评】此题考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．
8．（2分）方程（x﹣1）2＝27的根是 x1＝1+3，x2＝1﹣3 ．
【分析】方程两边开方得出x﹣1＝，再求出方程的解即可．
【解答】解：（x﹣1）2＝27，
方程两边开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+3，x2＝1﹣3．
故答案为：x1＝1+3，x2＝1﹣3．
【点评】本题考查了接一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
9．（2分）方程的解为 3 ．
【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．
【解答】解：两边平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，
检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，
当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x的值代入原方程进行检验．
10．（2分）在分式方程+＝1中，令y＝，则原方程可化为关于y的方程是 y2﹣y+2＝0 ．
【分析】设y＝，则＝，原方程可化为y+＝1，求出即可．
【解答】解：设y＝，则原方程可化为y+＝1，
即y2﹣y+2＝0，
故答案为：y2﹣y+2＝0．
【点评】本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键，难度适中．
11．（2分）图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 120° ．
【分析】根据n边形内角和公式（n﹣2）⋅180°求解即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（5﹣2）×180°＝540°，∠A＝∠B＝∠D，∠C＝∠E＝90°，
∴3∠A+2×90°＝540°，
则∠A＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了多边形的内角和问题，掌握多边形的内角和公式是解答的关键．
12．（2分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 x＜2 ．
【分析】根据一次函数的性质和函数图象，可以直接写出当y＞0时，x的取值范围．
【解答】解：由图象可得，
当y＞0时，x的取值范围是x＜2，
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．（2分）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 y＝2.4x+6.8 ．
【分析】根据乘车费用＝起步价+超过3千米的付费得出．
【解答】解：依题意有：y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8．
故答案为：y＝2.4x+6.8．
【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用＝起步价+超过3千米的付费．
14．（2分）如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若BF平分∠ABC，BC＝6，则BE的长为 3 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，EF＝BC，根据平行线的性质得到∠EFB＝∠FBC，进而得出∠EFB＝∠ABF，得到BE＝EF＝3．
【解答】解：∴E，F分别是AB，AC的中点，BC＝6，
∴EF∥BC，EF＝BC＝×6＝3，
∴∠EFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠EFB＝∠ABF，
∴BE＝EF＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（2分）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 9 ．
【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解．
【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了矩形是中心对称．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
16．（2分）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为点O，如果BD＝8cm，那么梯形ABCD的上下底之和等于 8 cm．
【分析】根据等腰梯形的性质得出AC＝BD，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：过D点作DE∥AC，交BC的延长线于E，
∴∠BDE＝∠BOC，
∵AC⊥BD，
∴∠BDE＝∠BOC＝90°，
∵等腰梯形ABCD，
∴AC＝BD＝8，
∵AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝BD，AD＝CE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE＝8＝BC+CE＝BC+AD，
即梯形ABCD的上下底之和等于8cm，
故答案为：8．
【点评】此题考查等腰梯形的性质，关键是根据等腰梯形的对角线相等解答．
17．（2分）我们把两条对角线长度之比为1：2的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的面积为8，那么它的边长是 ．
【分析】设BD＝x，AC＝2x，由菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积＝AC•BD＝8，得到x2＝8，求出x＝2，得到OD＝，AO＝2，由勾股定理得到AD＝＝，即可得到菱形的边长是．
【解答】解：如图，菱形ABCD中，BD：AC＝1：2，
设BD＝x，AC＝2x，
∵菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积＝AC•OD+AC•OB＝AC•BD＝8，
∴×2x•x＝8，
∴x2＝8，
∴x＝2，
∵OD＝BD＝x＝，AO＝AC＝x＝2，
∴AD＝＝，
∴菱形的边长是．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OD，AO的长．
18．（2分）如图，▱ABCD中，AB∥x轴，AB＝12．点A的坐标为（2，﹣8），点D的坐标为（﹣6，8），点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为 （，8）或（﹣，8） ．
【分析】先求出直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣4，则可求G（0，﹣4），设P（m，8），则M（m，﹣4），可求PM＝12，PN＝8，分两种情况讨论：当M'在x轴负半轴时，由折叠可知PM'＝12，在Rt△M'NP中，由勾股定理可求M'N＝4，在Rt△M'OG中，M'G＝x，OG＝4，可求M'O＝，所以+x＝4，解得x＝，则P（，8）；当M'在x轴正半轴时，同理可得，﹣x+＝4，解得x＝﹣，求得P（﹣，8）．
【解答】解：设AD的直线解析式为y＝kx+b，
将A（2，﹣8），D（﹣6，8）代入可得，
，
解得，
∴y＝﹣2x﹣4，
∴G（0，﹣4），
∵点P是CD边上，CD∥x轴，
设P（m，8），
∵GM∥y轴，
∴M（m，﹣4），
∴PM＝12，PN＝8，
当M'在x轴负半轴时，如图1，
由折叠可知GM＝GM'，PM＝PM'，
∴PM'＝12，
在Rt△M'NP中，M'N＝＝4，
在Rt△M'OG中，M'G＝x，OG＝4，
∴M'O＝，
∴+x＝4，
解得x＝，
∴P（，8）；
当M'在x轴正半轴时，如图2，
同理可得，﹣x+＝4，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，8）；
综上所述：P点坐标为（，8）或（﹣，8），
方法2：由折叠可知GM'＝GM＝m，PM'＝PM＝12，
在Rt△M'NP中，M'N＝4，
在Rt△M'OG中，M'O＝，
∴M'N＝M'O+ON＝m+，
∴m+＝4，
∴m＝，
∴P（，8）；
在Rt△M'NP中，M'N＝4，
∴M'N＝M'O+ON＝﹣m，
∴﹣m＝4，
∴m＝﹣，
∴P（﹣，8）；
综上所述：P点坐标为（，8）或（﹣，8），
故答案为（，8）或（﹣，8）．
【点评】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．
三、计算题。（每题8分，共16分）
19．（8分）解方程：．
【分析】先把移到等号的右边，再两边进行平方，然后合并同类项，得出x+2＝0，再根据二次根式有意义的条件即可得出x的值．
【解答】解：∵，
∴＝1﹣，
∴（）2＝（1﹣）2，
∴2x+1＝1﹣2+x，
∴2x﹣x+2＝0，
∴x+2＝0，
∵要使式子有意义，x的取值一定是大于等于0，
∵x+2＝0，
∴x＝0．
【点评】此题考查了无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用平方法求出x+2＝0，再x的取值范围求出x的值是本题的关键．
20．（8分）解方程组：．
【分析】先将①左边因式分解，得x+3y＝2或x+3y＝﹣2，然后与①联立成两个二元一次方程组即可求解．
【解答】解：由①得，
（x+3y）2＝4，
∴x+3y＝2或x+3y＝﹣2，
当x+3y＝2时，
x＝2﹣3y，
把x＝2﹣3y代入②得，
2﹣3y﹣3y＝8，
∴y＝﹣1，
∴x＝2﹣3y＝2﹣3×（﹣1）＝5，
∴，
当x+3y＝﹣2时，
x＝﹣3y﹣2，
把x＝﹣3y﹣2代入②得，
﹣3y﹣2﹣3y＝8，
∴﹣6y＝10，
∴y＝，
∴x＝﹣3y﹣2
＝﹣3×﹣2
＝3，
∴，
综上所述原方程组的解为 或．
【点评】本题考查了二元二次方程组的解法，关键是将①分解因式，转化为二元一次方程组．
四、简答题。（第21、22题每题7分，第23、24题每题6分，共26分）
21．（7分）如图，四边形ABCD和四边形ACDE都是平行四边形，
（1）填空：＝ ；＝ ；
（2）求作：．
【分析】（1）直接根据三角形法则即可求解，其中ABCD是平行四边形，则＝；
（2），利用平行四边形法则求解．
【解答】解：（1）填空：＝；＝＝；
（2）＝，或＝．
所画图形如下所示：
．
【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及三角形和平行四边形法则的熟练掌握．
22．（7分）有两个不透明的袋子分别装有除颜色外其余均相同的小球，甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和1个白球．
（1）如果在甲袋中摸出一个小球，那么摸到黑球是 确定事件 （填“确定事件”或“随机事件”）；
（2）如果在乙袋中摸出一个小球，那么摸到红球或白球的概率是 100% ；
（3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明）
【分析】（1）根据确定事件，随机事件的定义结合具体问题情境进行判断即可；
（2）根据概率的定义以及确定事件的定义进行解答即可；
（3）用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）由于甲袋中有1个红球和2个白球，从甲袋中摸出一个小球不可能摸到黑球，是不可能事件，是确定事件，
故答案为：确定事件；
（2）乙袋中只有红球和白球，摸出1球不是红球就是白球，因此在乙袋中摸出一个小球，摸到红球或白球的概率是100%，
故答案为：100%；
（3）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中摸到两球颜色相同的有4种，
所以摸到两球颜色相同的概率是．
【点评】本题考查列表法或树状图法，随机事件，确定事件以及概率的计算，理解确定事件、随机事件的定义以及用树状图表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
23．（6分）某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．
【分析】等量关系为：总售价﹣总进价＝350．
【解答】解：设每盒茶叶的进价为x元．
50×x（1+20%）+（x﹣5）×（﹣50）﹣2400＝350．
解得：x＝40或x＝﹣30，
经检验：x＝40或x＝﹣30都是原方程的解，但x＝﹣30不合题意，应舍去．
答：每盒茶叶的进价为40元．
【点评】找到合适的等量关系是解决问题的关键，难点是得到余下茶叶的数量．
24．（6分）如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC＝2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC＝2DG．
【分析】（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD＝AE，即可证明结论．
【解答】证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），
∴DE∥AB，DE＝AB（三角形中位线性质）．（1分）
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形（平行四边形定义）．（1分）
∵BC＝2AB，BC＝2BD，
∴AB＝BD．（1分）
∴四边形ABDF是菱形．（1分）
（2）∵四边形ABDF是菱形，
∴AF＝AB＝DF（菱形的四条边都相等）．
∵DE＝AB，
∴EF＝AF．（1分）
∵G是AF的中点．
∴GF＝AF，
∴GF＝EF．（1分）
∴△FGD≌△FEA，（1分）
∴GD＝AE，
∵AC＝2EC＝2AE，
∴AC＝2DG．（1分）
【点评】此题综合运用了三角形的中位线定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．
五、综合题。（每题8分，共16分）
25．（8分）如图，一次函数y＝x+b的图象与x轴相交于点A（5，0），与y轴相交于点B
（1）求点B的坐标及∠ABO的度数；
（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，利用三角函数求得∠ABO的度数；
（2）四边形ABCD是直角梯形，分类讨论①CD⊥AD，AB是底边时，②AD∥BC，CD⊥AD时．
【解答】解：（1）把（5，0）代入y＝x+b得5+b＝0，
解得：b＝﹣5，
则函数的解析式是y＝x﹣5，
当x＝0时，y＝﹣5，则OB＝5，B的坐标是（0，﹣5），
sin∠ABO＝＝＝，
∴∠ABO＝60°；
（2）四边形ABCD是直角梯形，
①CD⊥AD，AB是底边．
设过A且与AB垂直的直线的解析式是y＝﹣x+c，
把（5，0）代入得：﹣15+c＝0，
解得：c＝15，
则直线解析式是y＝﹣x+15，
过C与AB平行的直线解析式是y＝x+3，
则根据题意得：，
解得：，
则D的坐标是（3，6）
②AD∥BC，CD⊥AD时，由于A（5，0），C（0，3），则可知D（5，3）．
综上D（3，6）或（5，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确确定D点的位置，是过A且与直线AB垂直的直线，与过C平行AB的直线，两直线的交点是关键．
26．（8分）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中（0≤t≤10）．
（1）如图1，M、N分别是AB、CD中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值；
（2）若G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，与EF相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的，则t的值是 ．
【分析】（1）先证四边形EMFN是平行四边形，则当EF＝MN＝16时，四边形EMFN是矩形，即可求解；
（2）①如图2，连接GH，CH，由菱形的性质可得GH⊥AC，得GH是AC的垂直平分线，则AH＝CH，由勾股定理可求解；
②由线段垂直平分线和勾股定理可求AQ＝CQ＝10，由面积和差关系可求解．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠MAE＝∠NCF，
∵M、N分别是AB，DC中点，
∴AM＝CN，
∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，
∴AE＝CF＝2t，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴ME＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴ME∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
如图1，连接MN，
∵矩形ABCD，M，N分别是AB，DC中点，
∴四边形MBCN是矩形，
∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，
∴MN＝BC＝16，AC＝＝8，
∵四边形EMFN是平行四边形，
∴当EF＝MN＝16时，四边形EMFN是矩形，
∴8﹣4t＝16或4t﹣8＝16，
解得：t＝2﹣4或2+4；
（2）①由（1）知：AE＝CF，
如图2，连接GH，CH，
∵四边形EGFH为菱形，
∴AC⊥GH，OE＝OF，
∴OA＝OC，
∴AH＝HC，
∵HC2＝CD2+DH2，
∴AH2＝64+（16﹣AH）2，
∴AH＝CH＝10，
∴DH＝6，
∴CD+DH＝8+6＝14，
∴t＝＝7；
②如图3，连接AQ，
由①同理得：AQ＝CQ＝10，BQ＝6，
由①知：AP＝10，
∴AP＝CQ，
∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，
∴AG＝CH，
又∵∠GAP＝∠QCH＝90°，
∴△APG≌△CQH（SAS），
∴GP＝QH，
同理可证PH＝GQ，
∴四边形GQHP是平行四边形，
∵四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的，
∴S▱PGDH＝S矩形ABCD，
∴2S△PGQ＝S矩形ABCD＝×8×16＝60，
∴S△PGQ＝30，
∴S△AGP+S△GBQ＝×8×16﹣30＝34，
∴×AG×10+×6×（8﹣AG）＝34，
∴AG＝5，
∴t＝；
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质，轴对称的最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/13 9:56:34；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677
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