河北省邯郸市2024-2025学年高三下学期省级联测考试数学数学试题（解析版）

这是一份河北省邯郸市2024-2025学年高三下学期省级联测考试数学数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，集合，或，
.
故选：A．
2. 已知复数，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，.
，，或，
“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题知，，，
，，
，整理得，
故选：B．
4. 设，则关于两个方程与的根的叙述正确的是（ ）
A. 有两个相同的根B. 有三个相同的根
C. 有四个相同的根D. 所有根全部相同
【答案】B
【解析】由，得或，
当时，，，，，，，．
由，得或，
当时，，，，，，
两个方程有三个相同的根，
故选：B．
5. 已知随机变量服从正态分布，若，，则（ ）
A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1
【答案】C
【解析】由已知得正态曲线关于直线对称，，
，解得，
故选：C．
6. 六人排一排照相，在甲、乙两人相邻的前提下，丙、丁两人之间间隔两人的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设事件“甲、乙两人相邻”，“丙、丁两人之间间隔两人”，则.
若丙、丁两人之间是甲和乙，则有种排法；若丙、丁两人之间不是甲和乙，则有种排法，
∴，.
故选：D.
7. 已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，，分别是，上的点，且，平面平面，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，则该三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】如图，取的中点，连接，，，
连接，是正三角形，，
又平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，，
，．
平面平面，且平面平面，
平面，平面，
平面，，
在中，（※）．
三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，
，，，
设，，代入（※）式得，，，，
三棱锥的体积，
故选：A．
8. 已知是正实数，若函数对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D. e
【答案】C
【解析】由题意可知，为增函数，为减函数，且零点分别为，，
因对任意恒成立，
则函数与有相同的零点，
则，即，
则，
当且仅当，即，时取等号，
则的最大值为.
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】∵，选项A正确；
∵，选项B不正确；
∵，选项C正确；
，选项D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的极小值为
B. 有两个零点
C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根
D. 的解集为
【答案】AC
【解析】函数的定义域为，，
由得或；由得，有极大值，极小值，A正确；
由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确；
当时，，当时，，当时，有三个不同实根，C正确；
当时，，此时，D不正确．
故选：AC．
11. 已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是增函数D.
【答案】ACD
【解析】对于A，B，令，得，再令，得，，，再令，则，即，
因为（若，则无意义），所以.
即，，即与同号，
时，，当时，也成立，时，，A正确，B不正确；
对于C，令，，，当时，，由已知得，，由A选项知，，C正确；
对于D，，，互换即可得到，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离，
由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：．
故答案为：.
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率______．
【答案】
【解析】设直线与圆切于点，则，
由，则，
所以，，，
由勾股定理得，
即，解得，
则，．
故答案为：
14. 已知定义在上的函数的图象上任意一点处的切线方程是，且在区间上不是单调递增的，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由已知得，若，则，满足是增函数；
若，由得，或，也满足在上单调递增；
若，由得，或，若在上单调递增，需满足，即，解得，在上单调递增时，实数的取值范围是或，
在区间上不是单调递增时，实数的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记的内角所对的边分别为，已知，.
（1）求；
（2）若，求的值.
解：（1），
由正弦定理得，，即.
，.
，∴.
，（舍去）或.
（2）由（1）知，.
由余弦定理可得，
∴.
，.
由正弦定理，，解得.
∴由正弦定理可得，，.
16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，是的中点，过与平行的平面交于点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：如图，连接交于点，交于点，连接．
因平面，平面，则，
菱形中，，，则，，
因，，
平面，平面，平面平面，，．
因为是正三角形，且是中点，．
平面，平面，，
又，、平面，平面，
平面，，
由，，且，、平面，
故平面．
（2）解：因为四边形为菱形，则，又因为平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
由（1）知平面的一个法向量为．
又，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
17. 某芯片研究所研究一种电动汽车电池快充芯片，该电池芯片需要甲、乙两种芯片加工工艺，甲种芯片加工工艺需要三次来完成，第一次需要在该芯片上进行光刻，其成功的概率为0.6，第二次是对第一次光刻的检查与补充，若检测第一次未成功，则将再次光刻，成功的概率还是0.6；若检测第一次光刻成功，则不需要光刻了．第三次是对前两次的检查与补充，检测仍未光刻成功，则再次进行光刻，其成功的概率还是0.6，并判断其是否为合格品，若经过三次工艺后，仍未光刻成功，则为不合格品，淘汰，其余为合格品，进入乙种芯片工艺．乙种芯片加工工艺需要两次独立的光刻，第一次光刻成功的概率为0.5，第二次光刻成功的概率为0.8．若甲种工艺不合格，该芯片亏200元．在甲种工艺合格的前提下，若乙种工艺两次均不成功，该芯片也亏200元；若乙种工艺两次光刻只成功一次，则该芯片应用于其他产品，能赚取100元利润；若乙种工艺两次光刻均成功，则每个芯片赚取300元的利润．
（1）求一个未被光刻的芯片经过甲、乙两种工艺加工后不亏钱的概率；
（2）从甲种工艺合格的芯片中任取两个，经过乙种工艺两次光刻，求所赚取利润的解：（1）设甲种工艺光刻成功的概率是，则，
乙种工艺两次均不成功的概率为，则，
不亏钱的概率．
（2）在甲种工艺合格的前提下，设一个芯片赚取的利润为，
则，
，
．
可能取值为，，，，，．
则，
，
，
，
，
．
其分布列为
．
18. 已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数的最小值；
（3）当时，证明：．
（1）解：函数的定义域为，，
当时，由得，由，得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由得，由，得或，
此时，函数的减区间为、，增区间为；
当时，由得或，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为、，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）解：函数的定义域为，，
由，得，由，得，
即在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值．
（3）证明：当时，等价于，
即，即，
即，即，
，只需证明，
当，时，，只需证明，
由（1）知，时，在处取得最小值，
综上所述，原不等式成立．
19. 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴．
（1）求的通项公式；
（2）求直线的斜率；
（3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明：
（1）解：因双曲线的离心率为2，故，
即，故公比．
在中，由点到一条渐近线的距离为（的短半轴长），
得是的一个焦点，故，即，解得，
故．
（2）解：由（1）知，，
由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
将代入中整理得，，
且，，．
的平分线垂直于轴，，
得，即，
将，，和代入整理得，，
或（舍，此时直线过），．
（3）证明：直线的方程为，到直线的距离，
，
的面积，
或（舍），，
，，，
．100
200
400
600
0.01
0.1
0.08
0.25
0.4
0.16