七下期中真题百题大通关（压轴版）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲+练习（人教版2024）

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一、单选题
1．（22-23七年级下·山东临沂·期中）下列说法正确的个数有（ ）
①相等的角是对顶角；②两个无理数的和还是无理数；③同旁内角相等，两直线平行；④在同一平面内的三条直线，，，如果，，那么；⑤是直线外一点，，，分别是上的三点，已知，，，点到的距离一定是．（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【知识点】点到直线的距离、对顶角的定义、两直线平行同旁内角互补
【分析】本题考查了平行线的判定即性质，点到直线的距离，对顶角的定义，熟悉掌握各知识点是解题的关键．
根据平行线的判定即性质，点到直线的距离，对顶角的定义逐一判断即可．
【详解】解：①对顶角是指两个角有一个公共点，且一个角的两边是另一个角的两边反向延长线，所以两个相等不一定有公共点，故①错误；
②两个相反的无理数和为有理数，故②错误；
③同旁内角要互补，两直线才会平行，故③错误；
④平行线具有传递性，故④正确；
⑤不一定会垂直于，点到的距离不一定是，故⑤错误；
综上正确有1个；
故选：A．
2．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，直线，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数
【分析】过点A作的平行线，过点B作的平行线，由两直线平行，内错角相等可得；再根据两直线平行，同旁内角互补得出，根据图中角的关系求出，即得．
本题考查了平行线的性质．熟练掌握“两直线平行，同位角相等”；“两直线平行，同旁内角互补”；“两直线平行，内错角相等”．作辅助线．是解题的关键（方法不唯一）．
【详解】解：过点A作的平行线，过点B作的平行线，如图所示．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是（ ）
A．②③④B．①②④C．①③④D．①②
【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵，
∴
，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故选：B．
4．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，，，，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】此题考查平行线的性质，过作，利用平行线的判定与性质进行解答即可．
【详解】解：过作，
，
，
，，
，
∵，
，
，
，，
，
．
故选：C．
5．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】垂线的定义理解、平行公理的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线定义理解，熟练掌握平行线的判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．
【详解】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵， ， ，
∴， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，与平行．
A．54B．64C．74D．116
【答案】B
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】根据平行线的性质可得，进而可求出的度数，再根据平行线的判定可得时，，由此可得的度数．
本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】，，
，
，
，
，，
，
∴当时，．
故选：B．
7．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】根据平行线的性质可知，再根据平行线的性质可知即可解答．本题考查了平行线的性质，根据做出平行线是解题的关键．
【详解】解：过点作，过点作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选．
8．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）如图，，为上一点，，过点作于点，且，且平分，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）

A．①②B．①③C．②③④D．①②③
【答案】A
【知识点】角平分线的有关计算、垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，但题干未知的大小，由此即可判断③和④．
【详解】解：∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，则结论①正确；
∵，
∴，
∴，则结论②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
但不一定等于，也不一定等于，
所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误；
综上，正确的是①②，
故选：A．
9．（23-24七年级下·河南周口·期中）如图，，为上一点，，且平分，于点，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①③④
【答案】B
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键.
先根据平行线的性质可得，从而可得, 再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得, 由此即可判断③; 根据平行线的性质可得, 但题干未知的大小，由此即可判断②和④.
【详解】∵，
∴，
又∵，
∴
∴,
∴,
∴,
∵
∴,
∴,
解得, 则结论①正确；
∵
∴,
∴, 则结论③正确;
∵,
∴,
但不一定等于, 也不一定等于,
所以平分, 平分都不一定正确, 则结论②和④都错误；
综上，正确的是①③，
故选: B.
10．（23-24七年级下·山东日照·期中）将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则，其中正确的有（ ）个

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了与三角板有关的角度的计算、平行线的判定与性质，由同角的余角相等即可判断①；如果，求出，即可判断②；如果，求出即可判断③；根据平行线的性质得出，从而得出，即可判断④．
【详解】解：由题意得：，
，
，故①正确，符合题意；
如果，则有，
，
，故②正确，符合题意；
如果，则有，
，
，故③正确，符合题意；
，
，
，
，
，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②③④，共个，
故选：D．
11．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图． 在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至． 然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动， 则的坐标是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索
【分析】本题考查坐标与图形、点坐标规律型问题等知识点，根据已知条件归纳出规律是解题的关键．
根据坐标系确定前面的一些点，然后归纳规律，最后利用规律即可解答．
【详解】解：∵，
∴点在第三象限，
由题意，，，，，，，，，，，，
∴，
∵，即，
∴．
故选：C．
12．（22-23七年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，…，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，先根据，可得，再根据，即可推出的坐标，找到某种循环规律之后，可以得解．
【详解】解：由图可得，，
，
，
，
故选：D．
13．（22-23七年级下·北京西城·期中）中山公园位于天安门西侧，原为辽、金时的兴国寺，元代改名万寿兴国寺．明成祖朱棣兴建北京宫殿时，按照“左祖右社”的制度，改建为社稷坛．这里是明、清皇帝祭祀土地神和五谷神的地方．1914年辟为中央公园．为纪念孙中山先生，1928年改名中山公园．如图是中山公园平面图，其中点是孙中山先生像，点是来今雨轩，点是中山堂．分别以水平向右、竖直向上的方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，下列对各景点位置描述：
若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为：
若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为；
若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为；
若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为．
其中正确的描述有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】对于，每个格子距离为1，对于④，每个格子距离为2，再平移点即可得出结论．
【详解】解：点与点水平距离为6格，竖直距离为格，
点与点水平距离为2格，竖直距离为格，
对于，若，每个格子距离为1时，则的坐标为，故正确；
对于，若，每个格子距离为1时，则的坐标为，故正确；
对于，若，每个格子距离为2时，则的坐标约为；故错误；
对于，若，每个格子距离为2时，则的坐标约为．故正确．
一共有3个正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标轴的识别问题，关键是以所给点，确定坐标轴，考虑间距问题，即可求解．
14．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2023秒时，这个粒子所处位置为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得来解，再找到运动方向的规律即可求解．
【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的间分别为
则
，
，
，
，
，
相加得：
，
．
，故运动了秒时它到点；
又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．
故达到时向左运动秒到达点，
即运动了秒．所求点应为．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型－点的坐标，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．
15．（21-22七年级下·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2019个点的坐标是（ ）
A．（64，2）B．（64，3）C．（1010，505）D．（2021，2020）
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2,0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点，…第n列有n个点，可得前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），由此可得第2016个点的坐标为（63，0），最后根据规律解答第2019个点即可．
【详解】解： 把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2,0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点，…第n列有n个点，
前n列共有个点，
第n列最下面的点的坐标为（n，0）
第2016个点的坐标为（63，0）
第2017个点的坐标为（64，0）
第2018个点的坐标为（64，1）
第2019个点的坐标为（64，2）
故选：A．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标规律是解题关键．
16．（22-23七年级下·福建厦门·期中）对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（ ）
A．0.5B．1.5C．2.5D．3.5
【答案】A
【知识点】坐标与图形、平移综合题(几何变换)
【分析】设线段上存在线段的“单位面积点”是，分两种情况进行讨论：线段在线段的下方；线段在线段的上方，分别求解即可．
【详解】解：设线段上存在线段的“单位面积点”是，
如图，
，
当线段在线段的下方时，此时，
点，，，
，，，
，
点到的距离为，
可将线段沿轴正方向平移个单位长度，
沿轴正方向平移，
，
，
当线段在线段的上方时，此时，
同理可得：点到的距离为，
可将线段沿轴正方向平移，即，
综上所述，的取值范围为：或，
的值可以是0.5，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，采用分类讨论与数形结合的思想解题是解此题的关键．
二、填空题
17．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，平分，交于点，点在线段上（不与点，点重合），连接，已知，若，且（为常数，且为正数），则的值为 ．

【答案】/
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义结合题意推出，即可判定 ，过点作，根据平行线的性质及角的和差即可求出，进而根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
∵
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
18．（23-24七年级下·北京·期中）如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
（1）如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为 ；
（2）若（1）中镜面的调节角的调节范围为，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为 （填序号）．
①；②；③；④．
【答案】 ①③④
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质．
（1）过点作，过点作，所以，因为，可得的度数，因为，，所以，即，可得的度数，因为，可得的度数；
（2）分调节角的调节范围在、调节角的调节范围在两段讨论．
【详解】（1）过点作，过点作，
，
，
，
，
∵，，
∴，
，
，
，即，
，
故答案为：；
（2）解：①当调节角的调节范围在时，
由（1）图可得，
，
，
②当调节角的调节范围在时，
，
，
可能取到的度数为：①③④，
故答案为：①③④．
19．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，将沿着射线方向平移得到，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ．
【答案】或或
【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线的性质求角的度数
【分析】分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，当时；当时；第二种情况：当点在外时，过点作，当时；当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解．
【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，
由平移得到，
，
，，
，
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
第二种情况：当点在外时，过点作，
由平移得到，
，
，，
，
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
当时，由图可知，，故不存在这种情况；
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键．
20．（23-24七年级下·浙江·期中）如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连结，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）．
【答案】或或
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，合理分类讨论，根据平行线的判定与性质探究角之间的关系是解题的关键．分点F在B的左侧；点F在B的右侧，且D在上方；点F在B的右侧，且D在下方三种情况讨论即可．
【详解】解：①如图，当点F在B的右侧，且D在上方，过C作，
∵，
∴，
∴，，
又，
∴，
同理，
又，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∴；
②如图，当点F在B的左侧时，
同理：，
，
又，
∴
∵，
∴，
∴
∴；
③如图，当点F在B的右侧，且D在下方，过D作，
∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为或或．
故答案为：或或．
21．（22-23七年级下·福建宁德·期中）如图，，E为上一点，且垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有 ．（请填写序号）
【答案】①②③④
【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】根据平行线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，
即平分，
故②正确；
∵，，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∵，，
∴，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是利用表示各个角度．
22．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米，完成下列问题：
（1）当秒时， 平方厘米；
（2）当时，小正方形平移的时间为 秒．
【答案】 1或5
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】（1）由题意可得出时，重叠部分为长方形，且宽为，长为，再根据长方形的面积公式计算即可；
（2）由题意可得出重叠部分长方形的长，则可计算出宽为．再分类讨论：①当重叠部分在大正方形的左边时和当重叠部分在大正方形的右边时，即可解答．
【详解】（1）时，重叠部分为长方形，且宽为，长为，
∴．
故答案为：3．
（2）当时，重叠部分长方形的长，
∴宽为．
分类讨论：①当重叠部分在大正方形的左边时，如图，
∴；
②当重叠部分在大正方形的右边时，如图，
∴．
综上可知小正方形平移的时间为1秒或5秒．
故答案为：1或5．
【点睛】本题考查平移的性质．明确平移前后图形的形状和面积不变和利用分类讨论的思想是解题关键．
23．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ．
【答案】301
【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握算术平方根的意义及新定义的意义是解题的关键；根据的意义，对每个无理数进行估算即可．
【详解】解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；
∴
．
故答案为：301．
24．（22-23七年级下·福建福州·期中）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“”“”依次相间）的值为 ．
【答案】5
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、无理数整数部分的有关计算
【分析】找到所有平方数，确定其中间各个数字的个数规律，直接计算即可得到答案
【详解】解：，，，，，，，，，，
∵表示任意实数的整数部分
由3个1，有5个2，有7个3，有9个4，有个5，
有个6，有个7，有个8，有个9，
∴原式，
故答案为：5；
【点睛】本题考查根数估算与规律题，解题的关键是找到两个平方数之间数字的个数及符号选择．
25．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）在平面直角坐标系中，，，，三角形的面积为4，则的值为 ．
【答案】2或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形面积，根据题意列出方程是解题的关键．对于多种情况的问题，要注意分类讨论．
当点在轴右侧时，过点作轴于，梯形的面积，列出含的方程求解即可；当点在轴左侧时，记为，列出含的方程求解即可．
【详解】

①当点在轴右侧时，过点作轴于，
则，，，．
梯形的面积为：，
又，
，．
梯形的面积，
．
②当点在轴左侧时，记为，即，
．
连接，则轴，
，
又，
，
．
由①可知，，轴，，
，
，
解得：．
综上所述，或．
故答案为：2或．
26．（23-24七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查规律型点的坐标，根据图形得出每个正方形点阵的整点数量与坐标的关系，是解题的关键．
观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，n为大于1的正整数，当n为偶数时，最后一个点在轴上，第个点的坐标为，当n为奇数时，最后一个点在直线上，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可．
【详解】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，
如：第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
，45为奇数，
第2025个点的坐标为，
退1个点，得到第2024个点是，
故答案为：．
27．（22-23七年级下·广西南宁·期中）如图，正方形，，，…，（每个正方形的顶点从第三象限开始，按顺时针方向，依次记为；；；…）正方形的中心均在坐标原点处，各边均与轴或轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】观察图形，由第四象限点的坐标的变化可得出“点的坐标为（为非负整数）”，再结合，即可求出点的坐标．
【详解】解：观察图形可知：
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
……
点的坐标为（为非负整数），
点的坐标为（为非负整数），
点的坐标为（为非负整数），
点的坐标为（为非负整数），
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考察了规律型：点的坐标，由第四象限点的坐标的变化可得出“点的坐标为（为非负整数）”是解题的关键．
28．（21-22七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是
【答案】（804，1）
【知识点】点坐标规律探索
【分析】根据图形可以发现规律，从到是一个循环，一个循环周期是10，一个循环后又回到x轴上，且一个循环后横坐标增加4个单位，先求出点的坐标（804，0），再求点的坐标即可．
【详解】解：观察图形可知，ｎ为正整数时，的纵坐标为0，1，3，﹣3
纵坐标为0的点：
纵坐标为1的点：
纵坐标为3的点：
纵坐标为﹣3的点：
可以看出纵坐标为1，3，﹣3时，ｎ取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，
∵2021＝10×202＋1，纵坐标为1的规律
∴的纵坐标为1，
由，解得n＝203，
∵正好是往右循环203次，
∴横坐标为﹣4＋（203－1）×4＝804，
∴点的坐标是（804，1），
故答案为：（804，1）
【点睛】此题主要考查点的规律变化，解题关键是仔细观察图，找出点的变化规律．
三、解答题
29．（22-23七年级下·广东深圳·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ．
【答案】（1），证明见解析
（2）
类比迁移：
变式挑战：
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．
（1）过E点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）如图2，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
类比迁移：如图3，过E作，过G作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
变式挑战：延长，，交于点P，过M作射线，过E作，过P作，过N作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】问题提出：
（1）猜想：，
证明：过E点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图2，作，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于F，
∴，，
∴，
∴；
类比迁移：
．理由如下：
如图3，过E作，过G作，
∵，
∴，
∴，，，
∵平分与的平分线相交于点G，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
变式挑战：
，理由如下：
如图4，延长，，交于点P，
过M作射线，过E作，过P作，过N作，
∴，，，
∴，
同理得，
∴，
∵同时平分和，
∴，，
∴，
即．
故答案为：．
30．（21-22七年级下·北京·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图1，若，则的度数为 ；
②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数；
(2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)①；②
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；
（2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到．
【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
故答案为：．
②如图，过点Q作，
∵平分平分，
，，
设，
∵，，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
（2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，
设H为线段的延长线上一点，则，，
设，,，
如图，过点O作，则，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
31．（23-24七年级下·四川南充·期中）已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；
(3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】()过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数；
()过作，过点作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可求解；
()过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，可得，解方程求出即可求解；
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如图，过作，过点作，设，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图，过作，过作，设，，
∵交于，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
32．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；
(3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
（1）过G作，根据平行线的性质求解即可；
（2）过G作，过P作，首先得到，，设，，然后根据平行线的性质求解即可；
（3）过E作，过G作，得到，，设，，得到，然后由代入求解即可．
【详解】（1）解：如图，过G作
∴
∵
∴
∴
∴
即
∵
∴；
（2）解：如图，过G作，过P作
∵
∴，
∵平分，平分
∴设，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
（3）解：如图，过E作，过G作．
∵
∴，
∵平分，平分
∴设，
∵，
∴，
∵
∵，
∴，
∴
∵
∴
解得
∴
33．（23-24七年级下·浙江金华·期中）直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点．
(1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值．
(3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 (用含、的代数式表示)
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理推论的应用、角平分线的有关计算
【分析】（1）过点作，运用平行公理的推论和平行线的性质即可得解；
（2）先证明，继而得到，再利用（1）的方法得到，从而得到，从而得解；
（3），，从而得到，又证明，从而得到，利用（1）得方法得到，继而得解．
【详解】（1），理由如下：
过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）同理得，
∴，
∴；
（3）∵平分，平分
∴，，
设，，则，，
∴
∵，
∴，
由（1）同理得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行公理的推论，利用平行线的性质求角度，角平分线的相关计算等知识，理解和运用（1）中结论并结合角平分线探究角的关系是解题的关键．
34．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．
(1)如图1，当时，直接写出的度数；
(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析
(3)所有满足条件的t的值为1或4或7或13或16．
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论；
（2）同（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论；
（3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：过点E作，过点F作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，即，
∴
；
（2）解：，理由如下：
过点E作，过点F作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
即；
（3）解：总的时间为：，，
则旋转的角度范围为，直线旋转的角度范围为，
由（1）得：，则，
∵，
∴，
∴，
当时，如图：
则，
，，
依题意得，
解得：；
当时，如图：
则，
∵，，
∴，
解得：；
当时，设与交于点G，如图：
则，
，，
依题意得，
解得：；
当时，设与交于点I，如图：
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：；
当时，连接并延长，如图：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：；
综上，所有满足条件的t的值为1或4或7或13或16．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的有关计算、解一元一次方程、余角性质、垂直的定义，掌握平行线的性质、三角形外角性质列出方程是解题的关键．
35．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．
(1)如图1，当时，直接写出的度数；
(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)0或3或6或12或15
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解、角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论；
（2）同（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论；
（3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：过点E作，过点F作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，即，
∴
；
（2）解：，理由如下：
过点E作，过点F作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
即；
（3）解：总的时间为：，，
则旋转的角度范围为，直线旋转的角度范围为，
由（1）得：，则，
∵，
∴，
∴，
当时，如图：
则，
，，
依题意得，
解得：；
当时，如图：
则，
∵，，
∴，
解得：；
当时，设与交于点G，如图：
则，
，，
依题意得，
解得：；
当时，设与交于点I，如图：
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：；
当时，连接并延长，如图：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：；
综上，所有满足条件的t的值为0或3或6或12或15．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的有关计算、解一元一次方程、余角性质、垂直的定义，掌握平行线的性质、三角形外角性质列出方程是解题的关键．
36．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）已知直线 ，是截线，点M 在直线与之间．
(1)如图①，连接，过点M作．请直接写出 与 之间的数量关系 ；
(2)如图②，在的角平分线上取两点M，Q，使得请写出 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若射线是的平分线，点 N在的延长线上，连接，若 求的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）如图1，过点M作，可得，由平行线的性质可得，进而可以证明；
（2）根据角平分线的定义得到，由（1）知，等量代换得到，根据平角的定义即可得到结论；
（3）如图3，令，则，过点H作，可得，进而可得结论．
【详解】（1）解：如图1，
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）解：，理由如下：
∵是的平分线，
∴，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图3，令，则，
∵射线是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
37．（23-24七年级下·广东佛山·期中）将两块直角三角尺的直角顶点C重合，并按如图方式叠放在一起，其中，
(1)①若，则的度数为 ；
②若，则的度数为 ；
(2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由：
(3)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在请直接写出角度所有可能的值（不用说明理由）：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，、、、、．
【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识，清晰的分类讨论是解题的关键．
（1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
（2）根据以及，进行计算即可得出结论；
（3）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得的度数．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
②∵，，
∴，
∴，
（2）猜想：，
理由如下：∵，
又∵，
∴，
即；
（3）存在，、、、、．
理由：当时，如图1所示：
∴，
∵，
∴；
当时，如图2所示：
∴；
当时，如图3所示：
∴，
∴；
当时，如图4所示：
∴，
∴；
当时，延长交于F，如图5所示：
∴，
∵，，
∴，
∴．
38．（23-24七年级下·上海·期中）已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转．
(1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______．
(2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，．
【答案】(1)
(2)秒或秒或
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了平行线的性质和一元一次方程的解法，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
（1）求出旋转秒时，，，过作，根据平行线的性质求得，，进而得结论；
（2）分三种情况讨论，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间．
【详解】（1）解：当旋转时间秒时，由已知得：，，如图1，
过作，则，
，，
，
，
故答案为：；
（2）①设射线旋转的时间为秒；
第一次平行时，如图2，
则，，
，，
，
即，
解得：秒；
②第二次平行时，如图3，则，，
，，
，
即，
解得：秒；
③第三次平行时，如图4，则，，
，，
，
即，
解得：秒；
故答案为：15秒或63秒或135．
39．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【问题背景】
如图，，点为上方一点，、为上两点，连接、，分别交于、两点，且．
【探究求证】
（1）如图，过点作，求证：；
（2）如图，点为上一点，连接，作于点，，求证： ；
【延伸扩展】
（3）如图，在（2）的条件下，连接并延长到点，连接，过点作，若，，求的度数．
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3），过程见详解
【知识点】角n等分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义，角的运算，掌握相关的知识是解题的关键。
（1）过点作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可；
（2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可；
（3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可；
【详解】解；（1）证明：过点作,
∴
∵
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
（2）∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
（3）∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
作,
∴, ,
∴。
40．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）（1）如图1，，点在两平行线之间，连接，求证：证明过程如下：如图2
过点作（①）
（②）
（③）
（④）
（⑤）
即：．
请在上面的括号中填上作图或每一步推理的依据
（2）如图3，，点在两平行线之间，连接．求证：．
（3）如图4，，，，直接写出、之间的数量关系．
【答案】（1）已知；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）见解析；（3）．
【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
（1）过点作，利用平行线的判定和性质推出，即可证明；
（2）过点作，同（1）可证明；
（3）过点作，由（1）的结论结合已知得到，根据平行线的性质求得，进一步计算即可得到．
【详解】（1）证明：如图，过点作（作图）
（两直线平行，内错角相等）
，，
（平行同一直线的两条直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
即：．
故答案为：作图；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；
解：（2）如图，过点作，
，
，
，，
，
，
；
解：（3）．
如图，过点作，
由（1）知，
∵，
∴，即，
，，
，
∴，
∵，
∴，
将代入得，
整理得．
41．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）（1）问题提出
如图1，，点P在直线之间，且在直线的右侧，点M、N在直线上，探究的数量关系．（此问无需写）
（2）问题探究
①先将问题特殊化，如图2，连，当平分，平分，
直接写出的大小；
②再探究一般情况，如图1，当，求的大小（用含m的式子表示）；
（3）问题拓展
如图3，点E是射线上一动点，直线上有一点Q，连，当，且时，直接写出的大小．（用含n、α的式子表示）（题中所有角都是大于且小于的角）
【答案】（1）；（2）①；②；（3）或或
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）过点P作，则，由平行线的性质得到，则；
（2）①同理可得，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则，即；②同（2）①求解即可；
（3）分当点Q在线段上时，当点Q在线段延长线上时，当点Q在线段的延长线上时，三种情况画出对应的图形讨论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点P作，则，
∴，
∵，
∴；
（2）①同理可得，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②同理可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，当点Q在线段上时，同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴

；
如图所示，当点Q在线段延长线上时，过点Q作，则，
∴，
，
∵，
∴，
∴
∴
如图所示，当点Q在线段的延长线上时，同理可得；
综上所述，或或．
42．（23-24七年级下·福建·期中）已知，，点是线段上一动点，连接、．

(1)如图1，证明；
(2)连接，若，过点作直线，在直线上取点，使；
①当时，求与之间的数量关系；
②在点运动过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系、点到直线的距离
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差；
（1）作，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，作，

∵
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：①分两种情况：
点在直线的上方时，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得；
点在直线的下方时，如图所示：
，
∴，
整理，得；
②作，如图所示：

∵，
∴点到直线的距离就是线段的长，
∵，
∴点到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
43．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点.
(1)写出的度数_________；
(2)试求的度数（用含的代数式表示）；
(3)将线段向右平行移动，使点在点的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)的度数为或
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）根据角平分线的定义，即可得到；
（2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可；
（3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴
故答案为：；
（2）解：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴,，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）解：过点E作，点B在点A的右侧时，
若点E在和之间，如图，
∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴；
若点E在上方，如图，
同理，，，
则；
若点E在下方，如图，
同理，，，
则，
综上所述，度数为或．
44．（23-24七年级下·广东广州·期中）一个优秀的现代城市必定蕴含科技、人文、生态三大内涵． 结合广州的规划目标和照明现状历史文化底蕴和现代化大都会地位，自2011年创办的“广州国际灯光节”，现与法国、悉尼并列为世界三大灯光节． 广州采用"政府搭台、企业唱戏"的市场 化模式，通过整合现有市场资源、引导企业参与，走市场化道路来举办年度公共文化盛事． 2023 年的广州国际灯光节分三大版块：“炫美湾区”、“光耀羊城”和“智造未来”． 为保障市民游客安全有序、顺利参与，在广场两侧各安置了灯带，不间断地交叉照射巡视．如图 1，灯射线自逆时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至 便立即回转．若灯转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒． 假定广场两侧的灯带是平行的，即，且．
(1)当时，灯射线经过多少秒，第一次照射到灯；
(2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的；
(3)两灯以（2）中的速度同时转动，如图2，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点．
①______________（用含的代数式表示）；
②作，请求出与的数量关系．
【答案】(1)20
(2)
(3)①或；②或
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定：
（1）根据平行线的性质求出，据此可得答案；
（2）分当时，当时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可；
（3）①分当时，当时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可；②根据①所求，分当时，当时，两种情况分别求出与即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵灯转动的速度是/秒，
∴灯射线经过秒，第一次照射到灯；
（2）解：如图所示，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，；
（3）解：①如图所示，当时，过点C作，则，
∴，
∴；
如图所示，当时，
同理可得；
综上所述，或，
故答案为：或；
②如图所示，当时，
由（3）①得，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当时，
由（3）①得，
∴，
∵，
∴；
综上所述，或．
45．（23-24七年级下·重庆开州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点．
(1)如图1，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，交于点P，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明
【分析】（1）过点N作，则，设，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
（2）由结合前面（1）的结论，求出角度可得．
【详解】（1）证明：如图，过点N作，
∵，
∴，
∴，
设，
∵分别平分，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
又∵和是角平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义，角平分线的定义等，有一定难度，通过作辅助线构造平行线是解题的关键．
46．（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
【阅读理解】如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点作，______，______．
又，．
【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明．
【解决问题】
（3）如图3，已知，点在点的右侧，，点在点的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数．

【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）
【知识点】根据平行线判定与性质证明、平行公理推论的应用、角平分线的有关计算
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数．
【详解】解：（1）过点作，
，，
又，
，
故答案为：，；
（2）如图，过点作，
，
，
，，
，
即；
（3）如图，过点作，
，
，
，，
平分，平分，，，
，，
．
47．（23-24七年级下·北京·期中）已知，，点E在直线的右侧，．
(1)如图①，若，则 ；
(2)如图②，若，点F为平面内一点，且，点G在内部，使得，设．
①当点F在内部，且时，请在图②中补全图形，并求m的值；
②若n，m都为正整数且，直接写出m的所有可能取值．
【答案】(1)50；
(2)① 52.5 ；②m的值为15或35或45．
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，几何图形中角度的运算，
（1）首先求出，然后利用三角形内角和定理求解即可；
（2）①过点C作射线平分，过点B作，得到，过点E作，得到，
然后根据平行线的性质求解即可；
②根据题意分两种情况讨论：点F在内部和点F在外部，然后根据n，m都为正整数且，确定n的值，进而求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
∵
∴；
（2）解：①过点C作射线平分，过点B作
∵，
∴．
∵，
∴．
过点E作，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴；
②当点F在内部时，
∵，
∴
∵
∴
∵n，m都为正整数且，
∴
∴
解得
∴
∴
∴
∴；
当点F在外部时，
∵，
∴
∴
∵n，m都为正整数且，
∴当时，如图所示，
解得
∴
∴∴
∴
∴；
当时，如图所示，
解得
∴
∴∴
∴
∴；
综上所述，m的值为15或35或45．
48．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）已知，直线，点为平面上一点，连接与．
(1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算
【分析】（1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；
（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．
【详解】（1）解：如图1，过作，
，
，
，，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过作，
，
，
，，
，
过作，
，
，
，，
，
，
与的角平分线相交于点，
，
；
（3）．理由如下：
如图3，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过作，
，
，
，，
，
，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
49．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，．
(1)求此时的度数；
(2)若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数；
(3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的值为15秒或45秒或60秒
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
（1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案；
（2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，过作，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，过作．
∴，，
∴．
∴，，
∴．
（2）解：如图2，过F作．
∵，，
∴．
∴，，
∴．
（3）解：如图3，当时，
∵，，
∴，
∴．
∴，
解得：．
如图4，当时，
∵，，
∴．
∴，
解得：．
如图5，当时，过作．
∵，，
∴．
∴，．
∴，
解得：．
综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况．
故答案为：15秒或45秒或60秒．
50．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．

(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由；
(3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、平行公理的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键；
（1）先证明，，再结合平行线的性质建立方程可得答案；
（2）过F点作，则，设，可得，证明，可得，，结合角平分线证明，从而可得结论；
（3）过F点作，过G点作，证明，，，证明，再结合角平分线的性质可得，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵，CE平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，过F点作，则，
即
设，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过F点作，过G点作，
∴ ，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
∴
∵平分，
∴
又∵，，，
∴，
∴；
51．（23-24七年级下·北京大兴·期中）如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧．
(1)当点运动到如图2所示位置时，求证：；
(2)直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)；；；
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的性质，进行分类讨论是解题的关键．
（1）利用平行线的性质，得到和，利用角度的转换即可解答；
（2）根据分类讨论，依次画出情况即可，解答即可．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
，
即．
（2）解：当点在左侧，且在上方，根据（1）可得；
如图，当点在右侧时，且在下方，
，
．
，
，
；
如图，当点在左侧，且在下方，
，
．
，
，
；
如图，当点在右侧，且在下方，
，
．
，
，
，
综上所述，可得；；；．
52．（23-24七年级下·北京·期中）已知：直线，为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上．，为直线上的两个动点，点在点的左侧，连接，，满足．点在上，且在点的左侧．
(1)如图1，若，，直接写出的度数＿＿＿＿；
(2)射线为的角平分线．
①如图2，当点在点右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②当点与点不重合，且时，直接写出的度数＿＿＿＿
【答案】(1)
(2)①，证明见解析；②或
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】（1）由平行线的性质得到，，再利用角的等量代换换算即可；
（2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分“当点在点右侧时”、“当点在点左侧，点在点右侧时”、“当点和点在点左侧时”，三种情况分类讨论，运用角的等量代换换算即可．
【详解】（1）解：如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①．
证明：如图，设在上有一点在点的右侧，设，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②如图，当点在点右侧时，
由①得：，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
如图，当点在点左侧，点在点右侧时，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图，当点和点在点左侧时，设在上有一点在点的右侧，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
又∵，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键．
53．（23-24七年级下·北京·期中）直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

(1)求的度数
(2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）．
①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值．
②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值．
【答案】(1)
(2)①10；②或．
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解．
（1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题；
（2）①由得到由得到，则，解得即可．
②分两种情况，分别画出图形进行解答即可．
【详解】（1）解：如图①中，
∵，
∴，
∵平分．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①解：如图②中，

∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边，t的值为．
②如图，当时，延长交于R．

∵，
∴，
过点K作，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
如图，当时，延长交于R．．

∵，
∴，
过点K作，则，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为或．
54．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，三角形中，过点作直线
(1)求证：（在下面的括号内，填上推理的依据）；
证明：____________（已知），
①，（两直线平行，内错角相等）．
，，组成平角，
②（平角定义），
（③）．
在此问中，，，是三角形的三个内角，通过（1）的证明，我们可以得到结论：④．
(2)若和的平分线交于点，求的度数；
(3)在（2）的条件下，过点作，垂足为点，连接，若，求证：，，三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)90°
(3)见解析
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到结论即可解题；
（2）根据平行线的性质得到，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（3）根据垂直的定义得到，然后利用三角形的内角和定理得到，进而得到得以证明结论．
【详解】（1）证明：（已知），
，（两直线平行，内错角相等）．
，，组成平角，
（平角定义），
（等量代换）．
在此问中，，，是三角形的三个内角，通过（1）的证明，我们可以得到结论：三角形内角和是．
故答案为：；；；；等量代换；三角形内角和是；
（2）解：∵，
∴，
又∵，平分和，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，三点共线．
55．（23-24七年级下·北京·期中）已知：为平面内点．
(1)如图1，连接，已知 ；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)150
(2)见解析
(3)或
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用、垂线的定义理解、角平分线的有关计算
【分析】（1）过点P作，根据，得出，根据平行线的性质求出结果即可；
（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出；
（3）分两种情况进行讨论：当点P在点A的左侧时，当点P在点A的右侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：过点P作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：150；
（2）证明：过点作，
∵，
∴
，，
，
，
，
即；
（3）解：当点P在点A的左侧时，过点P作，，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴，
整理得：；
当点P在点A的右侧时，过点P作，，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴
，
即，
∴．
综上分析可知：或．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线定义，平行公理的应用，以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．
56．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）如图，已知，．
(1)如图1，，平分，，求的度数；
(2)如图2，是上一点，是上一点，平分，平分，探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图 3，若，，，则的度数是 ．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）过点作，由，可得，由平分，得到，根据，得到，根据题意可推出，，进而得到，最后根据角的和差即可求解；
（2）延长交于点，由可得，根据平分，平分，得到，，最后根据，即可求解；
（3）延长交于点，由可得，根据，，推出，，最后根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，过点作，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
；
（2）延长交于点，
，
，
平分，平分，
，，
；
（3）延长交于点，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
57．（23-24七年级下·重庆·期中）已知直线，点A、C在直线上，点B、D在直线上．
(1)如图1，若，，且，求的度数；
(2)如图2，若，平分，，过D点作交于F，求证：；
(3)如图3，若，直线和直线相交于K，点H在直线上，探究、和之间的数量关系，请直接写出结论．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时，
【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义：
（1）由垂直的定义先求出，再根据平行线的性质即可得到；
（2）设，则，由角平分线的定义得到，则，同理可得，再由垂直的定义得到，则；
（3）分当点H在点K上方时，当点H在之间时，当点H在点D下方时， 三种情况画出图形，根据角之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，当点H在点K上方时，过点H作，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点H在之间时，过点H作，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，即；

如图所示，当点H在之间时，过点H作，则，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点H在点D下方时，过点H作，则，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时，．
58．（22-23七年级下·山东聊城·期中）【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，，点P在与之间，可得结论：．
理由如下：
过点P作．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
【问题解决】
(1)如图②，，点P在与之间，可得间的等量关系是 ；（只写结论）
(2)如图③，，点P，E在与之间，，，写出与间的等量关系，并写出理由；
(3)如图③，，点P，E在与之间，若， ，可得与间的等量关系是 ；（只写结论）
(4)如图④，，点P，E在与之间，，．可得与间的等量关系是 ．（只写结论）
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
(4)
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可．
（1）过点P作，因为，所以，所以，，进而可得；
（2）过点P作，过E作，因为，所以，，所以，，结合，，可得与间的等量关系；
（3）过点P作，过E作，因为，所以，，所以，，结合， 可得与间的等量关系；
（4）过点P作，过E作，因为，所以，，所以，，，，因为，结合，可得与间的等量关系．
【详解】（1）过点P作，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）过点P作，过E作，
，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）
过点P作，过E作，
，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
故答案为：；
（4）过点P作，过E作，
，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
故答案为：．
59．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一动点P，满足．
(1)如图1，当P点在的左侧时，若，，则 ；
(2)如图2，当P点在的右侧时，猜想，满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P在左侧，且，和的角平分线，交于点Q，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；以此类推，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键．
（1）过点作，证，则，，从而得，再根据，可得的度数；
（2）过点作，证，则，，从而得，由此可得，，满足的数量关系；
（3）由（2）可知，由得，由角平分线定义得，由（1）得，再由角平分线定义得，则，同理：，…，以此类推：，据此可得 的度数．
【详解】（1）过点P作，如图1所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
故答案为：．
（2），，满足的数量关系是：，理由如下：
过点P作，如图2所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）由（2）可知：，
∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，
由（1）可知：，
∵，分别平分，，
∴，
∴，
同理：，
…，以此类推：，
∴．
60．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．

(1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分；
(2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数；
(3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当运动或或或或时，的一边与的一边平行
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图， 分别过点作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（3）如图， 过点作利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时， ②当时， ③当时，④⑤时，分别求出旋转角度求解即可．
【详解】（1）证明：在中， ， ， ，
平分 ，
，
，
，
，
，
平分；
（2）如图3，分别过点，作， ，
，，
，，，
，
，
和的角平分线，，两线相交于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图， 过点作，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
旋转时间为；
②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作，
，
，
，
旋转时间为；

③当时，如图，过点E作，延长交于点K，
则，
，
这时在上停止运动，
旋转时间为；

④时，如图，延长交于，
，
，
，
，
旋转时间为；
⑤时，如图，延长交于，
，
，
，
旋转时间为；
综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行．
61．（23-24七年级下·北京西城·期中）阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．经过入射点且垂直于反射面的直线叫做法线；入射光线与法线的夹角叫做入射角；反射光线与法线的夹角叫做反射角．
光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角．
如图，直线，点A在直线上，点C在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．

(1)在图中画出光线，判断与的位置关系是______．

(2)若直线绕点顺时针旋转，要使光线与光线所在直线垂直，则为______度．

(3)直线绕点顺时针旋转，直线与相交于点，直接写出和旋转角之间的数量关系______．

(4)已知，直线绕点顺时针旋，要使光线能被反射，则的取值范围为______．

【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)当或时，能够被反射
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明
【分析】（1）根据平行线的判断和性质，光的反射进行判断即可；
（2）先分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，求出直线与相交于点时，与的关系，然后再根据时，求出的值即可；
（3）根据解析（2）可以得出答案；
（4）分两种情况：当在左侧时，且时，当在右侧时，且时，分别画出图形求出此时的度数，然后进行解答即可．
【详解】（1）解：根据光的反射可知：，，
∵，
∴，，
∴，
∴；

（2）解：当在的左侧时，直线与相交于点，如图所示：

∵，
∴，
根据光的反射可知：，，，
∵，
∴，
根据三角形内角和可知：，
即，
∴，
，
即；
当在的右侧时，直线与相交于点，如图所示：
∵，
∴，
根据旋转可知：，
根据光的反射可知：,
，
∵，
∴，
根据三角形内角和可知：，
即，
∴，
整理得：；

综上分析可知：直线与的夹角或；
当光线被直线m反射后，反射光线向左，且正好与直线l平行时，如图所示：

∵，
∴，
根据反射可知：，
∵，
∴，
即此时，
∴要使光线被m反射后，反射光线能够再被直线l反射，，
从图上可知：，
∴，
∴当在左侧时，直线与的夹角，
∴此时光线与光线所在直线不可能垂直；
当在右侧时，当光线与光线所在直线垂直时，即时，，
解得：．
（3）解：根据解析（2）可知：直线与的夹角或；
（4）解：当在左侧时，且时，如图所示：

∵，
∴，，
∵，
∴，
根据光的反射可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴当时，能够被反射；
当在右侧时，且时，如图所示：

∵，，
∴，，
∵，
∴，
根据光的反射可知：，，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴当时，能够被反射．
综上分析可知，当或时，能够被反射．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中角度的计算，旋转的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
62．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)求．
①由，，可以确定是 位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
① ，② ．
【答案】(1)①两；②9；③3；39
(2)①；②0.81
【知识点】立方根的实际应用
【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小．
通过比较立方根的大小，即可得出答案．
【详解】（1）解：①，，，
，
是两位数，
故答案为：两；
②的个位上的数是9，而，
个位上都是9，
的个位上的数是9，
故答案为9；
③，，，
的十位上的数是3，
又的个位上的数是9，
，
故答案为：3，39；
（2）解：①的立方根是负数，
，，，
，
是两位数，
∵的前三位为117，后三位为649，，，
，
十位上的数为4，
∵的个位上的数是9，而，
个位上是9，
∴的立方根为49，
∴；
②∵，
∵，，，
，
是两位数，
∵的前三位为531，后三位为441，而，
∴，
∴十位数为8，
∵，
∴个位数是1，
∴531441的立方根为81，
∴，
故答案为：，0.81．
63．（22-23七年级下·四川广安·期中）在平面直角坐标系中，，满足，中，的边与x轴分别交于O、G两点，与直线分别交于E、F两点．
(1)求 ； ．
(2)将直角三角形如图1位置摆放，求证：；
(3)将直角三角形如图2位置摆放，N为上一点，，请写与之间的等量关系，并说明理由．
【答案】(1)，4
(2)见解析
(3)．理由见解析
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的判定与性质：平行线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）利用算术平方根和绝对值的非负性可得，的值；
（2）作轴，推出利用平行线的性质得到，，结合，可得；
（3）作轴，推出轴，根据平行线的性质得，，结合得到，结合，可得结论．
【详解】（1）解：，
，，
，；
（2）解：如图1，作轴，
，
轴，
轴，
，，
，
；
；
（3）．理由如下：
如图2，作轴，
轴，
，，
，
，
，
．
64．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，在河岸和河岸（）上分别安置了A、B两盏探照灯，若灯A发出射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B发出射线自逆时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足．
(1)求a、b的值；
(2)如图1，若灯B射线先转动2秒，灯A射线才开始转动，设A灯转动t秒（），问t为何值时，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，连接，，两灯同时转动，射出的光束交于点C，过C作交于点P，则在灯A自转至之前，的比值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请求出其取值范围．
【答案】(1)，，
(2)t为秒或秒时，两灯的光束互相平行
(3)不变，固定值为
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、几何问题(一元一次方程的应用)、利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题主要考查了平行线的性质，二次根式的性质以及角的和差关系的运用；
（1）根据二次根式的性质即可得出a、b的值；
（2）根据灯A自转至之前和之后两种情况讨论，再结合两灯的光束互相平行根据题意列方程即可得到结论；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
【详解】（1）∵
∴，
解得：，
∴；
（2）设交于，交于，
∵两灯的光束互相平行，
∴，
∵，
∴，
∴，
当灯A自转至之前时，，，，
∴，
解得；
当灯A自转至之后时，，，，
∴，
解得；
故t为秒或秒时，两灯的光束互相平行；
（3）不变，
如图3，过C作，
∵，
∴，
设A灯转动时间为t秒，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴．
65．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图，过点P作直线分别与直线，相交于E、F两点，的角平分线交直线于点M，射线交直线于点N．设，，，其中x、y、z满足．
(1)___________，___________，___________；
(2)求证：；
(3)过点P作直线分别交直线于点Q，交直线于点R，且Q不与M重合，R不与N重合．作的角平分线交线段于点S，直接写出与的数量关系___________．
【答案】(1)80；140；140
(2)见解析
(3)或或
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、利用算术平方根的非负性解题、平行公理的应用
【分析】（1）根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性和二次方的非负性，求出x、y、z的值即可；
（2）过P作，根据平行线的判定和性质证明，利用平行公理求出最后结果即可；
（3）分三种情况：当点Q在线段上时，当点Q在点M的左侧时，当点Q在点E的右侧时，分别画出图形，作出辅助线求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
解得：，，，
故答案为：80；140；140．
（2）证明：如图，过P作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
（3）解：当点Q在线段上时，过点S作，，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴；
当点Q在点M的左侧时，过点S作，，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
即；
当点Q在点E的右侧时，过点S作，，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
即；
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，非负数的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，画出图形，作出辅助线，数形结合．
66．（22-23七年级下·全国·期中）已知线段，直线分别交、于点M、N．
(1)如图1，E在线段上，设，，且x、y满足，则的度数为_______；
(2)如图2，点E在线段上，，平分交BE的延长线于点F，试判断、与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当点P在直线上运动时，若与的角平分线交于点Q，试判断与的数量关系，请画好图形并给予证明．
【答案】(1)120°
(2)，理由见解析
(3)∠BPD＝2∠BQD，见解析
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、利用算术平方根的非负性解题、角平分线的有关计算
【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性求出x，y的值，根据可得，再根据三角形外角的定义和性质可得∠，由此可解；
（2）作，根据平行线和对顶角的性质可证，进而可得，再根据三角形内角和定理可得，通过等量代换可得；
（3）分点P在线段上、在射线的延长线上、在射线的延长线上三种情况，作，，利用平行线的性质、角平分线的定义、角的和差关系，可证．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，．
∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，作，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，证明如下：
当点P在线段上时，如图所示，作，，
则，，
∵，，
∴，，
∴，
同理可得，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
即；
当点P在射线的延长线上时，如图所示，作，，
则，，
∵，，
∴，，
∴，
同理可得，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
即；
当点P在射线的延长线上时，如图所示，作，，，
同理可证．
【点睛】本题考查算术平方根和平方的非负性，平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，角的和差关系等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
67．（21-22七年级下·重庆·期中）对任意的一个三位数A，如果其各个数位上的数字均不为零，且满足任意两个数位上的数字之和大于余下数位上的数字，那么称这个三位数A为“三角形数”．把“三角形数”A的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为；把A的百位数字的3倍，十位数字的两倍和个位数字之和记为．
例如：732，因为，所以732不是一个“三角形数”；
678，因为，，，所以678是一个“三角形数”；
所以，．
(1)请问398是不是“三角形数”，并说明理由；
(2)已知“三角形数”A满足百位数字比十位数字大1，且除以5的余数是2，求所有满足条件的A的值．
【答案】(1)398是“三角形数”，理由见解答
(2)所有满足条件的的值为323或432或654或763或872
【知识点】新定义下的实数运算
【分析】设“三角形数” 十位数字为，个位数字为，则百位数字为，根据把“三角形数”的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为（A）；把的百位数字的3倍，十位数字的两倍和个位数字之和记为（A），求出（A）（A），再根据5的倍数特征进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：398是“三角形数”，理由如下：
，，，
是一个“三角形数”；
（2）解：设“三角形数” 十位数字为，个位数字为，则百位数字为，
则（A），
（A），
（A）（A）
，
则为自然数），
即，
是5的倍数，
则，或6；，或7；，或8；，或9；
则或323或432或541或654或763或872或981，
其中214，541，981不满足任意两个数位上的数字之和大于余下数位上的数字，
故所有满足条件的的值为323或432或654或763或872．
【点睛】本题考查了同余问题，属于新定义题目，解题的关键是理解新定义内容．
68．（21-22七年级下·北京房山·期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“”进行如下分组：
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为．
(1)另写出“”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
(2)将4个自然数“”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为________；
(3)已知有理数满足，且将6个有理数“”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．
【答案】(1)4
(2)3或11
(3)
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、新定义下的实数运算、绝对值的意义
【分析】（1）根据题目要求进行分组，计算“M值”即可；
（2）按照和两种情况进行分类讨论即可；
（3）根据，，得出，，按照，；，；，四种情况进行分类讨论，得出答案即可．
【详解】（1）解：当根据题意分组如下：
，
即M的值为4．
（2）当时，根据题意分组如下：
，
解得：；
当时，根据题意分组如下：
，
解得：；
故答案为：或．
（3），，
，，，
当，则，根据题意分组如下：
，
解得：（不符合题意舍去）；
当则时，根据题意分组如下：
，
解得：（不符合题意舍去）；
当则，
当时，根据题意分组如下：
，
解得：（符合题意）；
当时，根据题意分组如下：
，
解得：（不符合题意舍去），
综上分析可知，．
【点睛】本题主要考查了新定义创新题，理解题目中要求，分类进行讨论，列出相关的方程是解题的关键．
69．（22-23七年级下·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在y轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，连接，P是x轴上一动点.
(1)点C的坐标是______，点D的坐标是______；与的数量与位置关系是______．
(2)当的面积是的面积的3倍时，求点P的坐标；
(3)若，判断α，β，θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明.
【答案】(1)；；
(2)P点坐标为或
(3)点P在线段上时，；点P在线段延长线上时，；点P在线段反向延长线上时，
【知识点】坐标与图形、两直线平行同位角相等、由平移方式确定点的坐标
【分析】（1）由点A、B坐标，可得，则，即可得出点C的坐标；由平移的性质可以得出点D的坐标；由平移的性质得与的数量与位置关系；
（2）设，由与等高，则面积的比等于底边的比，得，解方程即可求得P点坐标；
（3）分三种情况：点P在在线段上；点P在在线段延长线上；点P在在线段反向延长线上，过点P作，利用平行线的性质及角间的关系即可得到三角间的数量关系式．
【详解】（1）解：，，
，
，
∵点C在y轴正半轴上，，
，
故点C的坐标为；
∵线段平移至线段，
，
；
由平移可得；
故答案为：；；；
（2）解：设，
若与以x轴上的边为底，则这两个三角形等高，
则面积的比等于底边的比，即，
，
即或，
解得：或，
即P点坐标为或；
（3）解：当点P在线段上时，；
如图，过点P作，
则；
，
，
；
，
；
当点P在线段延长线上，；
如图，过点P作，
则；
，
，
；
，
；
当点P在线段反向延长线上，；
如图，过点P作，
则；
，
，
；
，
；
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、平移的性质、平行线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是采用分类讨论的思想解题，属于中考常考题型．
70．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系有长方形，其两边长的比值为，点，点，其中，点是边的中点，直线交直线于点．

(1)若的坐标为，则______，______．
(2)当，点恰好是边的中点时，三角形的面积与三角形的面积相等，求点的坐标．
(3)若长方形沿着轴正方向平移个单位，当，时，点到轴的距离是1，求长方形两边长的比值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或6
【知识点】坐标与图形
【分析】本题考查了坐标与图形，
（1）根据长方形的性质得出，进而可得出，根据点是边的中点，的坐标为，得出，，即可求解；
（2）根据三角形的面积与三角形的面积相等，点是边的中点，得出，根据是的中点，得出，进而根据得出，即可求解；
（3）分点在轴的两侧，根据题意得出点的坐标，进而得出的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵长方形
∴
∵点，点，
∴，
∵点是边的中点，的坐标为，
∴，
解得：
故答案为：，．
（2）解：∵三角形的面积与三角形的面积相等，
∴
∵点是边的中点，
∴
∴
∵是的中点，
∴
∴
解得：
又∵，则
∴即，
将代入
解得：
∴
（3）∵长方形
∴
∵点，点，
∴，
当时，
∵长方形沿着轴正方向平移个单位，
∴，，，
∵点到轴的距离是1，
∴，
当时，，
∵是的中点，
∴，
∴
解得：，
∵
∴
解得:，
∴
当时，在轴的右侧，则
当时，，
∵
∴①或②
①；解得，②得：
当时，，
∵是的中点，
∴，
∴
解得：，
∵
∴
解得:，
∴
∵当在轴的右侧，则
当时，，
∵
∴①或②
①；解得，②得：
∴或
∴原长方形中或，
∴或
或6
71．（23-24七年级下·四川自贡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于B．
(1)请写出A、B点的坐标；，.
(2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数；
(3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；0；2；0
(2)
(3)P点的坐标为或
【知识点】平行公理的应用、坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性
【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点B的坐标；
（2）如图2所示：过E作．首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质、角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可；
（3）①当P在y轴正半轴上时，设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，然后，用含t的式子表示出，的长，然后依据列方程求解即可；②当P在y轴负半轴上时，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N，设点，然后用含a的式子表示出、的长，最后，依据列方程求解即可．
【详解】（1）解：（1），
，，
，，
，．
故答案为：；0；2；0．
（2）如图，过E作．
轴，
轴，，
．
又，
，
．
，
，
，．
，分别平分，，
，，
．
（3）①当P在y轴正半轴上时，如图，
设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，则，，，．
，
，
，
解得，
即点P的坐标为．
②当P在y轴负半轴上时，如图，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N．
设点，则，，．
，
，
解得，
点P的坐标为．
综上所述，P点的坐标为或．
【点睛】本题是三角形的综合应用，坐标与图形，解答本题主要应用了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关图形之间的面积关系列出关于a和t的方程是解题的关键．
72．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，满足．
(1)______，______，______．
(2)如图1，若点为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点的横坐标的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或
【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用)、利用算术平方根的非负性解题
【分析】（1）利用绝对值的非负性、平方的非负性及二次根式的非负性即可求解．
（2）连接交y轴于点M，作于点H，求出，由的面积等于的面积得，由求出，再根据即可求出点的坐标；
（3）延长交x轴于点N，连接，设点，用割补法求出，根据求出，分别表示出的面积和四边形的面积，然后根据二者面积相等列式求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴
故答案为：，，；
（2）连接交y轴于点M，作于点H，
∵，
∴，
∴．
∵的面积等于的面积，
∴．
∵，
∴，
∴
设，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）延长交x轴于点N，连接，设点，
由平移的性质得点，点，
∵点
∴，
∵ ，
∴，
解得，
∴点，
∵，
∴四边形的面积，
设，
，
∴，
解得 ，
设点 G的横坐标为x，则|，
解得或．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性、算术平方根的非负性、坐标与图形，坐标与图形变化－平移，以及一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．
73．（23-24七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．已知点和点．
(1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为______．
(2)①将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是______．
②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是______．
(3)已知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，当的取值范围是多少时，的最小值保持不变，并直接写出此最小值．
【答案】(1)
(2)①， ②或
(3)当的取值范围是，的最小值保持不变，最小值为
【知识点】利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题主要考查平移变换、“型平移”的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用图象法解决问题.
（1）根据“型平移”定义求解即可；
（2）①画出线段即可判断；
②分与轴由公共点和与轴有公共点两种情况得到临界值，进而求出的取值范围；
（3）根据网格特点，得到点在线段上时满足条件，结合“型平移”的定义即可求解.
【详解】（1）将点进行“型平移”后的对应点的坐标为；
故答案为: ；
（2）①将线段进行” 型平移”后得到线段，的坐标为，坐标是，
点，，中，在线段上的点是，，
故答案为： ，；
②点进行“型平移”后对应点的坐标为，
点进行“型平移”后对应点的坐标为，
当线段进行“型平移”后与轴有公共点时,
，解得：；
当线段进行“型平移”后与轴有公共点时,
，
解得：；
综上，若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围为：或；
（3）当点在点时,
结合“型平移”的定义和方格特点可知，当时, 最小，要使的最小值保持不变，则过点作 如图，
观察图象可知， 当在线段上时，的最小值保持不变，此时
74．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在轴上，将线段平移，得到线段（点与点对应）．其中，，，，，，四边形的面积是．
(1)求点的坐标；
(2)连接与轴交于点，若，求的值；
(3)点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设运动时间为，，求（可以用表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】坐标与图形、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化；
（1）根据平移可得，进而根据四边形的面积是，得出，即可求解；
（2）由，得出，即可求解；
（3）分当点在线段上时，当点在上时，两种情况分别求出S的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵将线段平移，得到线段
∴
∵，
∴，
∵四边形的面积是．
∴，
解得：，
∴
（2）∵，，
∴，即
∴，
∵，
∴
（3）解：①如图，当点在线段上时，连接．
由题意：
∴，
，
∴，
∴，
∴
②如图，当点在上时，连接．
由①可知，
∴
,
综上所述，．
75．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足．

(1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）；
(2)为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向AA点走去，到达a点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍；
(3)①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)①或110，②存在，，
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标、平行线的性质在生活中的应用
【分析】（1）根据平方数与算术平方根的非负性，即可求出，，由桥长20米，为坐标原点，即可求解，
（2）设检修工人走了t秒，由，，当时，代入，即可求解，
（3）①设O灯转动了t秒．当时，，，
当时，，代入，即可求解，当时，其中当时，与必相交，当时，由有，代入，即可求解，当时，， ，当时，，代入即可求解，②由，，得到，结合，，得到，若为定值，则与t无关，即可求解，
本题考查了，平方数、算数平方根的非负性，平行线的性质，三角形的内角和，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，，
∵桥长20米，为坐标原点，
∴，
故答案为：；；．
（2）解：设检修工人走了t秒，如图，
，
，
当时，，解得，
故答案为：，
（3）解：①设O灯转动了t秒．（ⅰ）当时，如图（ⅰ），
，，
当时，，则，
即，则，解得，

（ⅱ）当时，其中当时，与必相交，
当时，如图（ⅱ），

由，有，
则，即，即，解得：（舍），
（ⅲ）当时，其中当时，如图（ⅲ），
，，，
当时，，则，
即，即，解得，
当时，与必相交．
综上，或110；
②存在；如图2，
，，
，
又，
，
又，
，
，
若为定值，则与t无关，
，此时，，
故存在， ．
76．（23-24七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最值称为线段关于点的横纵偏差，记为．
(1)，，
①的值是 ；
②点在轴上，若，则点的坐标是 ．
(2)点，在x轴上，点在点的左侧，，点的坐标为．
①当点的坐标为时，求的值；
②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标．
【答案】(1)①；②或
(2)①；②的最小值为，点的坐标为或
【知识点】坐标与图形
【分析】考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中及的意义．
（1）①根据的含义即可求得；②设，则可得与，由即得关于的方程，解方程即可；
（2）①由已知易得点的坐标，设点为线段上任意一点，则，从而可得与，进而求得，由的取值范围即可求得的最大值，最后可求得的值；②由已知易得或，设点，则，求出，，当时，有最小值，从而可得关于的方程，解方程即可求得的值，从而可求得此时的最小值及点的坐标．
【详解】（1）①，，
，，
则，
故答案为：；
②，点在轴上，设，
，，
，
，
或，
解得或，
的坐标是或，
故答案为：或；
（2）①点，在x轴上，点在点的左侧，，点的坐标为
点，
设点为线段上任意一点，则，
点的坐标为，
，，
，
由，可得，
，
的最大值是，
；
②或，
设点，则，
，
，，
当时，有最小值，即时，有最小值，
或，则有最小值为，点的坐标为或．
77．（23-24七年级下·广东珠海·期中）如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．点是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒．
(1)填空：______，______；
(2)当时，求的面积；
(3)是否存在点使的面积等于20，若存在，请求出点坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8，6
(2)12
(3)当，或时，的面积等于20．
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形
【分析】本题是坐标与图形及一元一次方程的应用，考查的是坐标与图形、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据非负数的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）假设存在点使的面积等于，在三种情况下求出相应的值，看是否符合的取值范围．
【详解】（1），
，，
故答案为：8，6；
（2）由（1）知，，，
四边形是长方形，
，，
动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，
当时 点在上，且，
，
，
的面积；
（3）存在，
①如图1，当时，
，解得；
，
②如图2，当时，
，
，
解得：；
③如图3，当时，
，解得，
，
（应舍去），
综上所述：当，或时，的面积等于20．
78．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上．
(1)直接写出点，点的坐标；
(2)若是轴上的一个动点，当三角形的而积恰好等于三角形面积的两倍时，求点的坐标；
(3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点．
①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由；
②若三角形的面积等于14，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)①；②或
【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标
【分析】（1）根据平移的性质可以直接写出点，点的坐标；
（2）根据三角形之间的关系可得到，依据此条件可列出关于的等式，，解此等式便可得到点的坐标；
（3）①依据，两个动点的运动速度之比为，可得到，，，，由此便可计算三角形之间的关系，最终得到；②由小问①可以直接写出点的坐标．
【详解】（1）∵点，，且将线段平移得到线段，
由于点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，
∴可判断线段先向下平移2个单位，再向右平移8个单位，
∴，；
（2）如图所示，连接，设交轴于点，
∵，
∴，
∴，，
由于点在轴上，所以设，
∴，
，
∵，
∴，
∴或，
∴或；
（3）
①
理由：由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是，
设，，
当点在第二象限时，如图所示：
，，，，
∵，
，
∴，
∵，
，
∴．
②由题意可知，存在两种情况，分别是在第二象限和在第四象限的情况；
当点在第二象限时，如图所示：
由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是，
设，，
此时，，，，
∵，
，
∴，
∵，
，
∴，
设点，
则可得：，整理得到：，
故设点，
∴，
，
∴，
∵,
∴，
∴,
，
；
解得：，
故点；
当点在第四象限时，如图所示：
由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是，
设，，
此时，，，，
∵，
，
∴，
∵，
，
∴，
设点，
则可得：，整理得到：，
故设点，
∴，
，
；
解得：，
故点；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，熟练的利用数形结合与方程思想解题是关键．
79．（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（，），点B（，），其中、满足．
(1)求、的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，当为何值时，三角形的面积等于三角形的面积；
(4)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的值是2，的值是3
(2)四边形面积
(3)；
(4)存在，或或或．
【知识点】坐标与图形、绝对值非负性
【分析】（1）根据非负数的性质得到，，解方程即可得到，的值；
（2）过点作轴于点．根据四边形面积求解即可；
（3）先求出，进而得到，解之即可得到答案；
（4）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当在轴上时，②当在轴上时，进行讨论得到点的坐标．
【详解】（1），满足，
，，
解得，．
故的值是2，的值是3；
（2）过点作轴于点．
四边形面积
；
（3），
，
，
；
（4）当时，四边形的面积．
，
①当在轴上时，设，则
，
解得或
②当在轴上时，
设，则，
解得或．
∴或或或．
【点睛】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得，的值，其中（3）中注意分类思想和数形结合思想的应用．
80．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且、满足，现同时将点，分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．

(1)求点C，D的坐标及四边形的面积．
(2)点是四边形上的一个动点，连接，．当点在上移动时（不与，重合）求的值．
(3)当点运动到什么位置时，直线将四边形的面积分成两部分？（直接写出答案）
【答案】(1)，四边形的面积为8；
(2)；
(3)当的坐标为或时，直线将四边形的面积分成两部分．
【知识点】由平移方式确定点的坐标、根据平行线的性质探究角的关系、坐标与图形、绝对值非负性
【分析】（1）根据条件确定A，B坐标，根据平移得到C，D两点的坐标；由A，B，C，D坐标确定四边形底和高，即可求面积；
（2）过点作的平行线，根据平行线的性质可得，从而可得答案；
（3）由，，如图，直线将四边形的面积分成两部分，此时，重合，，当时，设，如图，再利用梯形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：∵，
，
，
将点，分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，
，
；
（2）解：由（1）中、，可得；
如图所示，过点作，则，
，
，
，不发生变化；
（3）解：∵，，
如图，直线将四边形的面积分成两部分，

∴，
此时，重合，，
当时，设，如图，

∴，
解得：，
此时，
综上：当的坐标为或时，直线将四边形的面积分成两部分．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形面积，平行线的性质，平移的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
81．（21-22七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点、且、满足
(1)直接写出、两点坐标；
(2)如图，直线轴，垂足为点点为上一点，且点在第四象限，若的面积为，求点的坐标；
(3)如图，点为轴负半轴上一点，过点作CD//AB，E为线段上任意一点，以为顶点作，使交于点为线段与线段之间一点，连接，且当点在线段上运动时，始终垂直于，试写出与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)，见解析
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、根据平行线判定与性质证明
【分析】（1）非负性求出的值，即可；
（2）设，作于，连接，根据，列出方程进行求解即可；
（3）设，则，再利用平行线的性质表示出即可．
【详解】（1）、满足
，
，
；
（2）如图，设，作于，连接，

，
，
，
；
（3）结论：，理由如下：
设，
∵，
∴，
∴，
，
，
过点作，

，
∴，
∴，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，三角形的面积，平行线的性质，四边形内角和定理等知识，熟练掌握基本模型是解题的关键．
82．（21-22七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，，，，满足，连接交轴于．

(1)求与的值．
(2)如图1，点是轴上一点，且三角形的面积为12，求点的坐标；
(3)如图2，直线交轴于，将直线平移经过点，交轴于，点在直线上，且，直接写出点横坐标的值．
【答案】(1)，；
(2)或
(3)是或．
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、求点到坐标轴的距离
【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出，；
（2）过点作轴于，设，由三角形面积关系得出，得出，求出，过点作轴于，由三角形面积关系得出，求出，则可得出答案；
（3）设点向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点，则点平移后的对应点恰好是点．连接，过点作轴，当点在第三象限时，利用列方程，求出，当点在第二象限时，利用，求出，则可得出答案．
【详解】（1）解：（1），
又，，
，
；
（2）过点作轴于，
设，
三角形的面积四边形的面积三角形的面积，
，
即，
解得：，
∴点的坐标为．
过点作轴于，
三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
，
即
，
点的坐标为或．
（3）设点向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点，则点平移后的对应点恰好是点．连接、，过点作轴，
，
，
∵，
∴，即，
∴，
当点在第三象限时，，
，
解得：，
当点在第二象限时，
，
解得：，
当三角形的面积等于三角形面积的时，点的横坐标是或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题
83．（22-23七年级下·广东潮州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，其中a是算术平方根等于本身的正数，且，与y轴交于点E．

(1)求点E的坐标；
(2)如图2，点P为线段延长线上一点，连接，平分，当点P运动时，与是否有确定的数量关系？写出你的结论并说明理由；
(3)如图3，点G是线段上一点，点F是射线上一点，射线平分，射线平分，求的值
【答案】(1)E
(2)，理由见解析
(3)
【知识点】求一个数的算术平方根、坐标与图形、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】（1）先根据算术平方根的定义、非负数的性质求出a、b、c，可得A、B、C三点的坐标，然后连接，作轴于点F，利用面积法求解即可；
（2）设，根据角平分线的定义、平行线的性质和互余角的定义用含的代数式表示出与，即可得出结论；
（3）设，根据平行线的性质可得，作，如图，利用平行线的性质得出，进而可得结果．
【详解】（1）∵a是算术平方根等于本身的正数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴A，B，C，
连接，作轴于点F，
∴，
∴
∴
∴，
∴E；

（2）∵平分，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

（3）∵射线平分，射线平分，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，

作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴
即得，
∴，
即，
∴．

【点睛】本题考查了坐标与图形、算术平方根的定义、非负数的性质、平行线的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
84．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，，，，且

(1)请直接写出点，，的坐标；
(2)如图，点在线段上，线段轴，，M、P、Q在一条直线上，点从点出发，沿轴正方向平移，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】（1）根据，解出，，得到，，的坐标；
（2）设点，根据直角梯形的面积，，即可求出点的坐标；
（3）设，根据点的位置，分类讨论：当点在四边形的内部；当点在四边形的外部，根据，即可求出点的坐标．
【详解】（1）∵，
∴，，
解得，，
∵，，，
∴，，．
（2）∵，，，
∴，，，
设，
∴，
∵点在线段上，线段轴，
∴，
∵四边形的面积为：，
四边形的面积为：，，
∴四边形的面积为：，
四边形的面积为：，
∵，
∴，
解得：．
∴点．
（3）由（2）得，点
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点在四边形的内部，
∵四边形的面积为：，
四边形的面积为：，
四边形的面积为：
∴，
∴，
∴，
∴点；
当点在四边形的外部，
，
∴，
∴，
∴点，
综上所述，点或．

【点睛】本题考查几何变换综合题，解题的关键是掌握实数非负性，三角形的面积公式，梯形的面积公式以及平面直角坐标系．
85．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知点，点，点，且．
(1)求，，三点的坐标：
(2)将线段平移到线段，点对应点，点对应点．
①如图1，连接交轴于点，求三角形的面积；
②如图2，点从原点出发以个单位长度秒的速度沿轴正方向运动，过点作的平行线交轴于点，点在直线上，设点运动时间为秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，直接写出的值．
【答案】(1)，，
(2)①；②或
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、利用平行线间距离解决问题、利用平移的性质求解
【分析】（2）①根据平移的性质得出，，得出，设，则，根据等面积法求得点点的坐标，进而根据，即可求解；
②连接，根据，依题意得出，则，进而得出的坐标，根据平行线间的距离相等，当时，，得出，求得的坐标，即可求得点的值，当时，则，同理可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
解得：
∴，，；
（2）解：①如图所示，连接，
∵将线段平移到线段，点对应点，点对应点．
∴，
∴
设，则，
∵
∴
即
解得：
∴，
∴
∵，,，
∴，
∴
∴，
∴
②解：如图所示，连接，
∵，
∴
∴
∴当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，
即
∴
设点的坐标为，
∴
∴或
解得：或
∴或，
当时，，
∴
∴
∴
∴，
当时，则，同理可得，
则，
∴
综上所述，或，
【点睛】本题考查了平移，算术平方根的非负性，坐标与图形，平行线间的距离相等，等面积法，数形结合，分类讨论是解题的关键．
86．（22-23七年级下·河南安阳·期中）如图，长方形中，点A，C在坐标轴上，其中A点的坐标是，C点的坐标是且满足，点P在y轴上运动（不与点O，C重合）
(1)______，______，B点的坐标为______．
(2)点P在y轴上运动的过程中，是否存在三角形的面积是长方形面积的，若存在，请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
(3)点P在y轴上运动的过程中，与、之间有怎样的数量关系，请直接写出．
【答案】(1)2，3，
(2)存在，点P的坐标是
(3)当点P在点C上方时，；当点P在点之间时，；当点P在点下方时，；
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性直接计算即可得到答案；
（2）根据（1）可得，，设点，根据面积关系列式求解即可得到答案；
（3）过P作，分点在上方，的下方，之间三类讨论即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∴，，
∵四边形是长方形，
∴，
故答案为：2，3，；
（2）解：假设存在，由（1）得，
，，
∴，
设点，
∴，
∵三角形的面积是长方形面积的，
∴，解得：，
∴假设成立存在点P使三角形的面积是长方形面积的： ，；
（3）解：过P作，
①当点在之间时，如图所示，
∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②当点在的下方时，如图所示，
∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
③当点在上方时，如图所示，
∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
【点睛】本题主要考查根据平行线的性质与判定探究角度关系，绝对值与算术平方根非负性及坐标系中动点围城三角形面积问题，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0它们分别等于0，探究角度关系注意分类讨论，面积问题注意点到坐标轴的距离与坐标关系．
87．（22-23七年级下·北京海淀·期中）对于实数，表示不小于的最小整数，例如：，，．点是轴右侧的点，已知点，，我们把（三角形）叫做点的取整三角形．
(1)已知点，直接写出点的坐标________；
(2)已知点，且点的取整三角形面积为5，直接写出的取值范围：________________；
(3)若点的取整三角形面积为2，请在下面的坐标系中画出所有满足条件的点的区域（用阴影表示，能取到的边界用实线表示，不能取到的边界用虚线表示）．
【答案】(1)
(2)，或
(3)见解析
【知识点】新定义下的实数运算、坐标与图形、无理数的大小估算
【分析】（1）根据新定义可得答案；
（2）由，可得：，则轴，，由在上，可得到的距离为：，则，从而可得答案；
（3）由，，，，可得，到的距离为：，可得，则，再画出示意图即可.
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
同理可得：，
∴轴，，
∵，
∴在上，
∴到的距离为：，
∵点的取整三角形面积为5，
∴,
∴，
∴或，
∴，或.
故答案为：或；
（3）∵，，，，
∴，到的距离为：，
∵点的取整三角形面积为2，
∴，
∴，
∴的位置如图所示：
【点睛】本题考查的是新定义的含义，坐标与图形，无理数的估算，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键.
88．（22-23七年级下·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，且满足，c是的整数部分，过A作轴于C，交y轴于D．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图，过C作交y轴于E，若，求的度数；
(3)坐标轴上是否存在点P（点P与点C不重合），使三角形与三角形的面积相等？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，P点的坐标为或或
【知识点】坐标与图形、求算术平方根的整数部分和小数部分、利用算术平方根的非负性解题
【分析】（1）根据非负数的性质与整数部分的含义求解即可；
（2）如图，过点O作，证明，求解，再证明，从而可得答案；
（3）先求解，再分两种情况讨论：当在轴上，设，则，再利用面积公式列方程即可；当在轴上时，且在的上方时，设，可得，，当在轴上时，且在的下方时，设，结合，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得：，，
∵，c是的整数部分，
∴，而，
∴，，；
（2）如图，过点O作，
∴
∴
∵，
∴，
∴
（3）∵，，，
∴，
当在轴上，设，
则，
∴，
解得：或（不符合题意舍去），
∴，
当在轴上时，且在的上方时，设，
∴，，
解得：，，
∴；，
当在轴上时，且在的下方时，设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
P点的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性的性质，无理数的估算，坐标与图形，平行线的性质，理解题意，灵活应用以上知识解题是关键．
89．（22-23七年级下·北京大兴·期中）在同一平面内，如果线段外一点到这条线段所在的直线的距离是2，我们称这个点为这条线段的“标准距离点”．例如，图1中点P为线段外一点，点P到线段所在的直线的距离是2，则称点P是线段的“标准距离点”．如图2，平面直角坐标系中，点，点在第二象限．
(1)在点，，中，线段的“标准距离点”是______（只填字母）；
(2)若点B是线段的“标准距离点”．
①a的值为______；
②点C是x轴上一点（点C不与点A重合），三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点C的坐标；
③已知点是线段的“标准距离点”，其中，n是正数，连接交线段于点E，点F在x轴上，如果三角形的面积等于三角形的面积，求点F的坐标（用含m的式子表示）．
【答案】(1)H，K
(2)①2；②点C的坐标为；③或
【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形
【分析】（1）根据“标准距离点”的定义，线段的“标准距离点”就是要求到线段的距离为2，又线段在x轴上，即要求到x轴的距离为2，故点H、K满足要求；
（2）①由于点B是线段OA的“标准距离点”，所以；
②设点C的坐标为，过点B作轴于点M，则，，根据列出方程求解即可；
③过点E作轴于点P，与的延长线交于点Q，则，由点是线段的“标准距离点”，其中，n是正数可得点D的坐标为，由点B、点D的坐标可得，由于，，根据得到，因此点F的坐标为或
【详解】（1）∵点到x轴的距离为1，点到x轴的距离为2，到x轴的距离为2
∴点到线段的距离为1，点到线段的距离为2，到线段的距离为2
∴线段的“标准距离点”是点H和点K．
故答案为：H，K
（2）①∵点是线段的“标准距离点”
∴
∵点在第二象限
②设点C的坐标为，过点B作轴于点M
，，
，，
解得
∴点C的坐标为或
∵点C不与点A重合
∴点C的坐标为
③过点E作轴于点P，与的延长线交于点Q
∵点是线段的“标准距离点”，其中，n是正数
∴，即点D的坐标为
轴，
轴，轴
，
，
又
点F的坐标为或
【点睛】本题主要考查新定义，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，坐标系中求三角形的面积．解题的关键是平面直角坐标系中线段的长的求解．
90．（22-23七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点，点A的p值的定义如下：；比如点，；点，．
(1)已知，，则_____，_____．
(2)已知，，点Q在线段上运动，若，求Q的纵坐标q满足的条件；
(3)如图，已知，，将线段向上平移个单位得到线段．若线段上恰有2个点的p值为20，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【知识点】利用平移的性质求解、坐标与图形、新定义下的实数运算、绝对值的意义
【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可；
（2）设Q点坐标为，分两种情况时，时，分别列式求解即可；
（3）根据题意得出要使p值为20，则或，求出或，根据，，线段向上平移时，得出，得出平移后平移后的p值一定是20，得出，求出，结合图象得出，线段上有一个点的纵坐标为，得出平移距离，综合，得出．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
∵，，
∴．
故答案为：；．
（2）解：设Q点坐标为，
情况一，当时，，，
此时，也即；
情况二，当时，，，
综上，或．
（3）解：要使p值为20则，或，
∴或，
∵，，
∴线段向上平移时，，
∵线段上恰有2个点的p值为20，
∴平移后的p值一定是20，
∴，
∴，
解得：，
当平移的距离在的范围内，线段的平移的范围如图所示：
∴根据图象可知，另外一个p值为20的点的纵坐标，不可能为，
∴根据图象可知，要使线段上有一个点的纵坐标为，必须使平移的距离，
综上分析可知，．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，平移的性质，解题的关键是数形结合，理解题意．
91．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形的斜边在轴上，，，、、、，且、满足．
(1)求、的坐标；
(2)点为轴上一点，若的面积是的面积的一半，求出此时点坐标；
(3)如图2，过点水平向左作射线轴，将射线绕点以度秒逆时针速旋转，转至与射线重合后立刻继续以度秒顺时针匀速旋转，射线绕点以度秒逆时针匀速旋转射线和同时开始旋转，旋转后的射线分别记为，，当射线与重合时，射线和同时停止运动，射线与交于点，运动时间为秒．
①当时，求此时的时间值；
②若过点作交于点，求与满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①值为或；②或
【知识点】坐标与图形、根据平行线的性质探究角的关系、利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合坐标系得出，设根据题意列出方程，解方程即可求解；
（3）①分别过点图1和2，分别过作轴交轴于点，垂直于交于点（图1为射线第一次与射线重合前，图2为射线第一次与射线重合后），当当时，由题意，得轴，根据列出方程，得出，当时，同理得出；
②当时，根据已知条件分别得出，，即可得出；②如图2，当时，得出，当时，无法构成点或，进而即可求解．
【详解】（1）解：


（2）由题意得

设，


（3）如图1和2，分别过点图1和2，分别过作轴交轴于点，垂直于交于点
（注：图1为射线第一次与射线重合前，图2为射线第一次与射线重合后）
依题意，当转至与射线重合时，，当射线与重合时，
①如图1，当时，由题意，得轴
如图2，当时，
，
综上，值为或
②（i）如图1，当时，
，

，
，

（ii）如图2，当时，


（iii）当时，无法构成点或．
综上，或
【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，平行线的性质与判定，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
92．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，已知不同的两点，，若，则称点P与点Q互为k倍点；
(1)已知点，点C在一条平行于y轴且经过点的直线上，它与点A互为倍点，求点C；
(2)已知点，对于任意实数k，是否存在x轴上的点D，使得它与点B互为k倍点，若存在，请求出点D的个数，若不存在，请说明理由；
(3)已知两点，，若点M与点N互为k倍点，且都在x轴下方，将线段向右平移k个单位长度，点M的对应点为点G，点N的对应点为点H，平移后点H到x轴的距离为2，四边形的面积为，求点M与点N．
【答案】(1)点或
(2)当时，轴上有无数个点与点互为倍点，当时，轴上不存在点与点互为倍点
(3)，
【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标
【分析】（1）由题意可设点，则有，然后问题可求解；
（2）设点，若存在点与点互为倍点，则，然后可分当时和当时，进而分类求解即可；
（3）由题意易得，，则有，然后可得，进而根据题中所给定义可进行求解．
【详解】（1）解：由题意可设点，则有，
即，
∴或，
∴点或．
（2）解：设点，
若存在点与点互为倍点，则．
当时，上式总是成立，有为任意实数且，
∴此时存在无数个点与点互为倍点；
当时，成立必有，得，
此时点为，与点重合，不符合题意，舍去．
综上所述：当时，轴上有无数个点与点互为倍点，当时，轴上不存在点与点互为倍点．
（3）解：，
，
由题可知，
当时，有，
∴，
∴，
此时点与点重合，不符合题意，舍去，
∴，
∴．
由平移可知，四边形为平行四边形，
∵四边形面积为，且，
∴四边形的高为3，即，
∴，
∴，
又平移后点到轴的距离为2，且点仍在轴下方，
∴，
∴，
把代入中，得，
当时，点为与点在轴下方矛盾，舍去，
当，时，点为，点为．
综上所述，，为所求．
【点睛】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
93．（22-23七年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移得到的线段记为线段．
(1)如果点A，B，的坐标分别为，，，直接写出点的坐标______；
(2)已知点A，B，，的坐标分别为，，，，m和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；
(3)已知点A，B，，的坐标分别为，，，，求点A，B的坐标．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)点A的坐标为，点B的坐标为
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标、由平移方式确定点的坐标
【分析】（1）根据点A到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意列方程组，解方程组，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵平移后得到点的坐标为，
∴向上平移了4个单位，向右平移了4个单位，
∴的对应点的坐标为，
即．
故答案为：．
（2）解：，
理由：∵将线段平移得到的线段记为线段，，，，，
∴，
∴．
（3）解：∵将线段平移得到的线段记为线段，点A，B，，的坐标分别为，，，，
∴，，
解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
【点睛】本题主要考查了坐标平移问题，解题的关键是熟练掌握坐标平移的规律，准确计算．
94．（21-22七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平面直角坐标系中，，，（见图①），且．
(1)求a、b的值；
(2)在坐标轴的其它位置是否存在点M，使的面积等于的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；
(3)如图②，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上的一动点，连，平分，，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，M，或，或或
(3)不改变，2
【知识点】坐标与图形、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算
【分析】（1）根据非负数的性质得，，然后解一次方程即可得到与的值；
（2）分类讨论：当点在轴的正半轴上时，设，根据三角形面积公式可计算出，由于的面积的面积，则，然后解方程求出即可得到点坐标；当点在轴的负半轴上时，易得点坐标为，；当点在轴的轴上时，设点坐标为，根据三角形面积公式得到，然后解方程求出即可得到点坐标；
（3）由平分得到，根据垂直的定义得到，，于是得到，接着证明，利用平行线的性质得，然后利用，可得，则可计算出．
【详解】（1）解：∵
∴，，
，；
（2）当点在轴的正半轴上时，设，
，
的面积的面积，
，解得，
点坐标为，；
当点在轴的负半轴上时，同理：点坐标为，；
当点在轴的轴上时，设点坐标为，
则，解得，
此时点坐标为或；
综上：存在点坐标为，或，或或；
（3）的值不会改变．如图，
平分，
，
，
，，
，
轴，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住特殊位置点的坐标特征．也考查了三角形面积公式和平行线的性质．
95．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，点，且满足．
(1)直接写出的坐标： ， ；
(2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒．
①当时，求证：；
②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，且满足．请将图2补全，并求之间的数量关系．
【答案】(1)，
(2)①证明见解析；②或
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案；
（2）利用三角形的面积公式证明，再进一步可得答案；
（3）先根据题意补全图形，设，设，则，再证明，，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得：，，
∴点，
故答案为：；
（2）①当时，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②如图，补全图形如下：
当点在上方时，
∵点为的角平分线上一点，
∴设，
∵，
设，则，
如图，∵，
∴，
过作，
∴，
∴，，
∴，
过作，而，
∴，
∴，，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
当点在下方时，
，
∵点为的角平分线上一点，
∴设，
∵，
设，则，
∵，
∴，
过作，
∴，
∴，，
∴，
过作，而，
∴，
∴，，
∴，
而，
∴，
∴，
∴．
96．（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为，即．若点P在线段CD上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点A的“视差”，记为．已知点，．
(1)点A与点B的“纵横距离”的值为__________；
(2)已知点C在x轴上，线段关于点A的“视差”为3，则点C的坐标为__________；
(3)若点E与点A的“纵横距离”为4．
①的最小值为__________，最大值为__________；
②当取最小值时，请在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形．
【答案】(1)2
(2)或
(3)见解析
【知识点】求点到坐标轴的距离、点坐标规律探索、坐标与图形
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中“纵横距离”及“视差”的意义．
（1）根据“纵横距离”的定义：计算即可；
（2）①当点C在x轴上，根据点C的位置不同分两种情况：在点B的左侧或右侧讨论其最大值与最小值，根据线段关于点A的“视差”为3，列方程即可求解；
②根据当取最小值时，此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是，画出点E组成的图形．
【详解】（1）解：点，．
∴．
故答案为2；
（2）设点C坐标为，
当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图：
此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，解得，
当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图：
∵，最大值不能为，∴点C在x轴正半轴，
此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，解得，
综上所述：点C的坐标为或，
故答案为：或；
（3）①若点E与点A的“纵横距离”为4．
此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是，
此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最小值最大为，最小为OE过点A，0，
的最小值为，最大值为，
故答案为3；4．
②当取最小值时，在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形是折线，如图：
此时折线的端点为、、、、．
97．（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于互不重合的两个点，，令，，若点P的坐标为，我们称点P为点A关于点B的友好点．

例如，已知，，则，，点A关于点B的友好点为
(1)已知，，
①则点A关于点B的友好点的坐标为 ；
②若点B关于点C的友好点是点A，则点C的坐标为 ；
(2)已知点D在第一三象限的角平分线上，点D关于的友好点为点F，若点F到x轴的距离等于到y轴距离的2倍，求点F的坐标；
(3)已知点，，点O为坐标原点，点M与点N为三角形边上的任意两个不重合的两个点，若点Q为点M关于点N的友好点，则所有可能的点Q形成的图形的面积为 ．
【答案】(1)①；②
(2)或
(3)
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形
【分析】（1）①根据定义直接计算即可，②根据定义列方程即可求解；
（2）设点D的坐标为，根据定义和点F到x轴的距离等于到y轴距离的2倍列方程求出a，进而可得点F坐标；
（3）根据定义，由点M、N在三角形的端点位置求出点Q组成图形的边界点，进而求出面积．
【详解】（1）解：①∵，，根据友好点定义得：
，，
②设点C的坐标为，依题意得：
解得：，
故点C的坐标为，
故答案为①；②
（2）设点D的坐标为，设点F的坐标为，由点D关于的友好点为点F，可得：
，，即点F的坐标为，
由点F到x轴的距离等于到y轴距离的2倍，得：
，
当时，，此时，，即点F的坐标为，
当时，，此时，，即点F的坐标为，
（3）如图：点M与点N为三角形GOH边上的任意两个不重合的两个点，若点Q为点M关于点N的友好点，
当点M在原点时，点N在H点时，友好点坐标为，
当点M在原点时，点N在Q点时，友好点坐标为，
当点M在H点时，点N在原点时，友好点坐标为，
当点M在Q点时，点N在原点时，友好点坐标为，
当点M在G点时，点N在点H时，友好坐标为，
当点M在H点时，点G在原点时，友好点Q坐标为，
所有可能的点Q形成的图形是，如图：
其面积为：
故答案为：
【点睛】本题考查坐标与图形、方程的意义，理解题中定义，从中得出坐标间的关系，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
98．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）如图1， 四边形ABCD为正方形（四个边相等， 四个内角都是90°） ， AB平行于y轴．
(1)如图1，已知 ，正方形ABCD的边长为4， 直接写出点A，D，C的坐标；
(2)如图2，已知，，， 点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度延射线CD方向运动，运动时间为t秒，若
①当t=1时，求△BPQ的面积；
②当时，求t的值．
【答案】(1)，，；
(2)①；②或．
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、绝对值非负性
【分析】（1）根据 ，正方形ABCD的边长为4，即可求出，，；
（2）利用绝对值非负性，算术平方根的非负性，平方根的非负性求出，，，进一步得到，，，即正方形的边长为3，①当时，，，此时P点位于AD上，结合图形利用割补法求面积即可；②先确定，，然后分当点Q在点P的上方和下方两种情况，分别运用割补法求面积以及列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴，，，
∵ ，
∴，，，
∴，，；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，，，即正方形的边长为3，，
①当时，，，
∴P点位于AD上，如图，连接PC，
∴；
②由题意可知：，，
①如图：当点Q在点P的下方时
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：，
②如图：当点Q在点P的上方，且在线段上时，过Q作，则
∴，
∵
∴，解得，
如图：当点Q在点P的上方（P在x轴上方），且在线段的延长线上时，
，
，
∵，
∴，
解得．
如图：当点Q在点P的上方（P在x轴下方），且在线段的延长线上时，
，，
∵，
∴，
解得（不符合题意，舍去），
综上，t的值为2或．
【点睛】本题主要考查直角坐标系、绝对值的非负性、算术平方根的非负性等知识点，掌握数学结合、分类讨论思想以及割补法求面积是解答本题的关键．
99．（21-22七年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向右平移3个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C．
(1)请直接写出点C的坐标和四边形ABDC的面积；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AB相交于点E，若三角形PEB的面积为1，请求出此时三角形EBD的面积；
②当PD将四边形ABDC的面积分成两部分时，求点P的坐标．
【答案】(1)C（4，2），12
(2)①3；②（0，）或（0，）
【知识点】利用平移的性质求解、坐标与图形
【分析】（1）由平移的性质得出点C坐标，AC=3，再求出AB，即可得出结论；
（2）①先求出PF=1，再用三角形的面积公式得出S△PEB=1，S△EBD=3，即可得出结论；
②分DP交线段AC和交AB两种情况讨论．
【详解】（1）解：点，将向右平移3个单位得线段，
，
即，
由平移得，，四边形是矩形，
，，
，
，
即：四边形的面积为12；
（2）①如图1，过点作于，
由平移知，轴，
，
，
由平移知，，
，
，
；
②如图2，当交线段于，且将四边形分成面积为两部分时，
连接，延长交轴于点，则，
，，
连接，
将四边形的面积分成两部分，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图3，当交于点，将四边形分成面积为两部分时，
连接，延长交轴于点，则，
，连接，
将四边形的面积分成两部分，
，
，
，
过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：点坐标为或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
100．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）如图，点A、B的坐标分别为（a，0），（b，0），且满足（2a+2）20，现同时将A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A、B对应点C、D，连接AC、BD．
(1)求点A、B的坐标；
(2)如图1，点P（0，m）是y轴负半轴上一动点，连接AP、PD，其中直线PD交x轴于E点，若S△PAE＝S△BDE，求m的值；
(3)如图2，连接BC，在直线BC上取一点F，使BF＝3CF，求点F的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或者
【知识点】由平移方式确定点的坐标、求点到坐标轴的距离、坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题
【分析】（1）、由完全平方和算术平方根的非负性即可求解；
（2）、求出C、D两点坐标，根据面积的割补法列出方程计算求解即可；
（3）、分F在BC中间，F在BC延长线上两种情况讨论即可．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ，
， ，
；
（2）∵将A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A、B对应点C、D，
， ，
，
∵点P（0，m）是y轴负半轴上一动点，
， ，
∵S△PAE＝S△BDE，
S梯形OCDB=S梯形OCDE+
=S梯形OCDE+
= S梯形OCDE++
=+，
∴ ，
即： ，
整理得： ，
；
（3）分如下两种情况进行讨论：
①当F在BC中间，如图所示：过F作 于M， 于N，过点O作 于G，
∵BF＝3CF，，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
②当F在BC延长线上，则只能在第二象限，如图所示：过F作 于P， 于Q，过点O作 于H，
∵BF＝3CF，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵F在第二象限，
，
综上所述：或者．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，点坐标表示，完全平方式和算术平方根的非负性，面积的割补法，三角形面积公式，梯形面积公式等知识点，综合掌握以上知识并熟练运用是解题关键．
第一列
第二列
第一排
1
2
第二排
4
3
第一列
第二列
第一排
1
4
第二排
3
2
第一列
第二列
第一排
a
6
第二排
8
7
第一列
第二列
第一排
6
7
第二排
a
8
第一列
第二列
第三列
第一排
2-d
-5
-2
第二排
d
4
2
第一列
第二列
第三列
第一排
-5
2-d
-2
第二排
d
4
2
第一列
第二列
第三列
第一排
-5
-2
2-d
第二排
4
d
2
第一列
第二列
第三列
第一排
-5
-2
2-d
第二排
4
2
d