江苏省连云港市连云港高级中学2023-2024学年高三下学期4月阶段测试数学试题

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1. 的展开式中的系数为，则( )
A. 2 B. C. 4 D.
2．设是等比数列的前项和，若，则( )
A．2 B． C． D．
3. 已知全集，集合，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知是两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
5.复数的虚部为
A．B．C．D．
6.已知，则=( )
A．B．C． D．
7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点M为关于渐近线的对称点．若，且的面积为16，则C的方程为( )
A．B．C．D．
8. 已知函数为定义在R上的减函数，函数的图像关于点对称，满足不等式，则当时，的取值范围为( )
A． B． C． D．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有( )
A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则
C. 若相互独立，则 D. 若，则
10. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有( )
A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为
C. 与不可能垂直
D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
11. 已知函数，则( )
A. 当时，方程无解
B. 当时，存在实数使得函数有两个零点
C. 若恒成立，则
D. 若方程有个不等的实数解，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，若，则的最小值为 ．
13. 已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，则△PAB的面积为__________．
14. 设函数在上至多有一个零点，则实数的取值范围是
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
16.（15分）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：∥平面； (2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求D到平面的距离.
17. （15分）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．
18. （17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．
(1)求椭圆的方程； (2)证明直线过定点；
(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．
19. （17分）已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（）.
（1）当时，写出数列和，使得.
（2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列.
（3）若，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示.
（参考：.）