江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一下学期4月期中学业质量监测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一下学期4月期中学业质量监测数学试题（原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了 已知复数，下列说法正确是， 下列说法正确的是， 在中，角的对边分别为，且等内容，欢迎下载使用。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请认真核对答题卡表头规定填写或填涂的项目是否准确.
4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
一、单选题（每小题5分 满分40分）
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，且满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
3. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
4. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定
6. 记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
7 已知，则（ ）
A. 5B. C. -5D.
8. 在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（ ）
A. 2B. C. D.
二、多选题（每小题6分 满分18分）
9. 已知复数，下列说法正确是（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 两个非零向量和，若，则与垂直
C. 若，则与垂直单位向量的坐标为或
D. 已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则
11. 如图，已知⊙O 内接四边形中，，，则（ ）

A. B.
C. D.
三、填空题（每小题5分 满分15分）
12. 设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第______象限
13. 若，则__________.
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______．

四、解答题（共5小题 满分77分）
15. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.
（1）求a的值；
（2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值.
16. 已知与满足，，且.
（1）求；
（2）求与的夹角.
17. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
18. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）；
（1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值：
（2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？
19. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）若点分别是线段的中点，求；
（2）当时称为调和点列，若，求值；
（3）已知，且，点为线段中点，，，求
2024-2025学年度灌南县第二学期期中学业水平质量监测
高一数学试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请认真核对答题卡表头规定填写或填涂的项目是否准确.
4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
一、单选题（每小题5分 满分40分）
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算写出进而写出的值.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A
2. 已知向量，，若，且满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算及共线的坐标运算，即可求解.
【详解】根据题意，得到，
由.
故选：A.
3. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，即，
所以，又，则，
又，则，
所以.
故选：C
4. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
【详解】在中，，由有两解，得，
即，解得，
所以的取值范围为.
故选：D
5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合诱导公式进行求解判断即可.
【详解】因为，
所以
，
所以
则，即，故.
因为，，
所以，
当时，所以或.
若，则.
若，则.
当时，（舍去），
因此的形状为直角三角形.
故选：C
6. 记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理先求出边的值，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】由已知及余弦定理得，
解得（负值舍去），
所以的面积为.
故选：A.
7. 已知，则（ ）
A. 5B. C. -5D.
【答案】D
【解析】
【分析】把写成，写成，是为了后续能用两角和与差的公式展开，将已知条件转化为与、相关式子. 依据两角和与差的余弦公式，把和展开，得到只含、、、的式子，得到，再根据正切的定义，将其转化为的形式，进而求出结果.
【详解】已知，可变形为.
因为，，
所以.
左边，
即.
右边，
即.
所以.
可得：
.
即.
所以，也就是.
故选：D.
8. 在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得，得，利用基本不等式运算即可.
【详解】，
，
，，
，
，
即，
，
当且仅当时等号成立，
，即的最大值是.
故选：D
二、多选题（每小题6分 满分18分）
9. 已知复数，下列说法正确是（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D.
【答案】BD
【解析】
【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据两个虚数无大小关系判断C；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断D.
【详解】对于A，设，显然，但，故A错误；
对于B，设，，则，
所以，
，
所以，故B正确；
对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误；
对于D，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量，
为和为邻边构成平行四边形的对角线的长度，
所以，故D正确.
故选：BD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 两个非零向量和，若，则与垂直
C. 若，则与垂直的单位向量的坐标为或
D. 已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则
【答案】BC
【解析】
【分析】取，可判断A；利用平面向量数量积运算性质可判断B选项；将垂直关系转化为数量积为零，结合单位向量的定义可求向量坐标，进而判断C；利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，则，则不一定共线，故A错；
对于B选项，两个非零向量和，若，则，
整理可得，故与垂直，故B对；
对于C选项，设与垂直的单位向量为，
由题意可得，解得或，
所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对；
对于D选项，已知向量，
则在上的投影向量为，
所以，，解得，故D错．
故选：BC.
11. 如图，已知⊙O 内接四边形中，，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】在中利用余弦定理解方程可求得，即判断A正确，根据圆内接四边形的性质以及余弦定理可求得，分别求出即可得B正确，由余弦定理的推论计算可得C错误，利用三角恒等变换以及二倍角公式计算可得D正确.
【详解】对于A，在中，由可得;
由余弦定理可得，即；
整理可得，解得或（舍），即A正确；
对于B，由圆内接四边形的性质可知，
所以，
在中，由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或（舍）；
易知，所以，即B正确；
对于C，在中，易知，
所以，即C错误；
对于D，易知，所以；
由C可知；
；
所以，即D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用圆内接四边形的性质以及余弦定理计算出线段长，再结合二倍角以及三角恒等变换计算即可.
三、填空题（每小题5分 满分15分）
12. 设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第______象限
【答案】一
【解析】
【分析】由虚数单位的乘方周期性，根据复数除法与共轭复数，结合复数的几何意义，可得答案.
详解】由，则，即，
所以，其在复平面上的点为，则该点在第一象限.
故答案为：一.
13. 若，则__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用这个等式来求解与正切函数相关的比值。解题的关键在于将已知条件利用三角恒等变换转化为所求表达式的形式.
【详解】由得：
，
所以
化简得到：
，
所以；
所以.
故答案为：.
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______．

【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，由正弦定理求出大小正三角形的面积，即可求得的值；然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果.
【详解】由，设，则，，
如图

由题可知：，
由
所以，则，
所以小三角形面积，
因为，所以,即，
，
所以
因为，
又
所以
所以
即
所以
又
所以
所以
故答案为：；.
四、解答题（共5小题 满分77分）
15. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.
（1）求a的值；
（2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由复数除法以及纯虚数的概念即可列式求解；
（2）由复数的几何意义得出，结合向量减法及模长公式即可得解
【小问1详解】
复数，，，
则.
因为是纯虚数，所以，解得.
【小问2详解】
由（1）得，.
由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，，
所以，，因为，
所以，解得或.
16. 已知与满足，，且.
（1）求；
（2）求与的夹角.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的运算律，结合向量的模长公式计算即可；
（2）利用向量数量积的定义和运算律求夹角.
【小问1详解】
由已知得，所以，
则.
【小问2详解】
因为，所以，
又因为，，
设与的夹角为，则，
因为，所以.
17. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解法一：由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
解法二：直接由余弦定理化简求解即可；
（2）解法一：先由三角形的面积公式得到，再结合可得，进而求解即可；
解法二：由，结合三角形的面积公式得到，进而求解即可.
【小问1详解】
由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
所以，
于是，
又，所以，
又，所以.
解法二：由余弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，
所以.
【小问2详解】
由是的平分线，得，
解法一：，
又，
所以
.
解法二：由得
.
即，
解得，
所以.
18. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）；
（1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值：
（2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？
【答案】（1）平方米
（2）方案一更优，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）结合题意图形，可得活动区域面积关于的表达式，然后利用三角函数恒等变换知识可得答案；
（2）如图，设，由题意及图形可得活动区域面积关于的表达式，利用三角函数恒等变换知识算出面积，比较即可得答案.
【小问1详解】
由题可得，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，又注意到.
则，则，
当且仅当时，活动区域面积最大为平方米；
【小问2详解】
如图，取ED中点为I，FC中点为J，连接OI，延长OI与弧BA交于点G，则由对称性及垂径定理，可得O，J，I，G四点共线，平分，
可得，设，则，
，，
则，
则此时活动区域面积为：
，
又注意到.则，
则，
当且仅当时，活动区域面积最大为；
注意到，则，，
则选择方案1更好.
19. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）若点分别是线段的中点，求；
（2）当时称为调和点列，若，求值；
（3）已知，且，点为线段的中点，，，求
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由射影几何学新定义可得；
（2）由射影几何学新定义结合调和点列可得；
（3）方法一，由射影几何学新定义结合正余弦定理可得；
方法二，由射影几何学新定义结合三角形的面积公式和余弦定理可得.
【小问1详解】
由条件可得，，则，所以．
【小问2详解】
由知，两点分属线段内外分点，
不妨设，，
则，，
由知：，
则，即，即．
【小问3详解】
方法一：由，可得，即，所以，
又点B为线段的中点，即，所以，
又，所以，，，
又已知，所以．
设，，由，得，
即，解得，①
在中，由正弦定理可得，得②，
在中，由正弦定理可得，得③，
又，
②③得，即④，
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以．
方法二：因为，所以，
设，则，
又B为线段的中点，所以，
又已知，，所以，
所以，得，所以，，
由，
得，
所以，
设，则，
由，互补得，
即，
解得，所以，，
所以