江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 设集合A={1，2，3}，B={x|x2-2x+m=0}，若A∩B={2}，则B=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵A∩B={2}，∴2∈B，∴4-4+m=0，∴m=0，
∴B={x|x2-2x=0}={0，2}．
故选：D．
2. 设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】因为是第三象限角，所以，，
所以，，则是第二或第四象限角，
又，即，所以是第二象限角.
故选：B.
3. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的周期为，
将函数的图象向右平移个周期即个单位，
所得图象对应的函数为.
故选：D.
4. 已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由得，即，记；
由得，解得
因为是的充分不必要条件，所以，所以，解得.
故选：A.
5. 已知函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
令，可得；
令，可得；
两式相加可得，
令，可得；
则，即.
故选：D.
6. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为Px，y.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，设，
由题意可知，为第一象限角，且，
又因为，则，，
函数的最小正周期为，所以，
所以点的纵坐标与时间的函数关系为.
故选：C.
7. 已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】作出函数与的图象如下图所示：
由图可得，
当时，，
由题意可知，关于的方程的两根分别为、，
即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，
由图可得，
由得，则，
可得，，所以，，
所以，，
因为函数在上为增函数，
故当时，，因此，的取值范围为.
故选：C.
8. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】时，，，，
即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，
整理得：，（舍），
时，成立，即，.
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 定义：在平面直角坐标系中，若存在常数，使得函数的图象向右平移个单位长度后，恰与函数的图象重合，则称函数是函数的“原形函数”.下列四个选项中，函数是函数的“原形函数”的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ABD
【解析】由，知，将向右移动一个单位可得到，故选项正确；
由知，将向右移动个单位可得到，故选项B正确；
由知，将向下移动个单位可得到，故选项C不正确；
由知，将向右移动个单位可得到，故选项D正确.
故选：ABD．
10. 设函数，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为；
②它的图象关于直线成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数.
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，命题正确的是（ ）
A. ①②③④B. ②③①④C. ①③②④D. ①④②③
【答案】AC
【解析】对于A选项，①②③④，
由①可得，，
由②可得，解得，
因为，则，则，
对于③，，③对，
对于④，当时，，
所以，函数在区间上是增函数，④对，故A中命题成立；
对于B选项，②③①④，由②③无法确定函数的最小正周期，从而①④无法判断，故B中的命题不成立；
对于C选项，①③②④，
由①可得，，
由③可得，可得，
因为，则，则，
对于②，因为，
所以，函数的图象关于直线成轴对称图形，②对，
对于④，当时，，
所以，函数在区间上是增函数，④对，故C中的命题为真命题；
对于D选项，①④②③，
由①可得，，
由④，当时，，
因为，则，
因为函数在区间上是增函数，
则，解得，无法确定的值，此时，命题②③无法判断，故D中的命题为假命题.
故选：AC.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的单调递增区间为
B. ，，且，
C. 规定，，其中，则
D. 若，则方程有两个不等实数根
【答案】ABC
【解析】易得的定义域为R，所以，所以为奇函数．
当时，是增函数，
因为，所以．故在R上单调递增，且．
因为函数的单调递增区间为，
所以根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，A正确．
当时，，，，且，不妨取，
所以
，
因为，，，且，
所以，
故，所以，B正确．
当时，，所以，，
，，…，
，代入可得，C正确．
因为，则曲线如图所示：
当方程有两个不等实数根时，可得，D错误．
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域___________.
【答案】
【解析】由题意得，
.
13. 若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数的单调递增区间为，，
则，，
解得，，又由，，
且，，得，所以．
14. 函数，若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】函数的定义域为，
又，则，
因为，所以，
所以，当且仅当，即，时取等号.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是关于的方程的两个根.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）由已知原方程判别式，即，所以或.
因为，所以.
所以或（舍去）.所以.
.
（2）
.
16. 一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图像的一部分，当时，曲线是函数，且图像的一部分.根据研究，当注意力指数不小于80时听课效果最佳.
（1）求的函数关系式；
（2）有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由.
解：（1）当时，设，
将点(14，81)代入得，
∴当时，；
当时，将点代入，得.
所以.
（2）当时，，解得：，
所以；
当时，，解得，所以，
综上时学生听课效果最佳.
此时.
所以，教师能够合理安排时间讲完题目.
故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完.
17. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）若对任意，，，总有恒成立，求取值范围．
解：（1）函数为R上的奇函数.证明如下：
易知函数的定义域为R，令，则，
又，所以f-x=-fx，所以函数为奇函数.
（2）在0，+∞上的单调递增，证明如下：
由（1）知，，
当时，，所以，
从而，
，则
，
因为，所以，
又当时，，
所以，所以，所以，
故在0，+∞上的单调递增.
（3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以，
由（2）知，当时，，且在0，+∞上的单调递增，
所以在上的单调递增，
所以当时，函数的最大值为，最小值为，
又任意，总有恒成立，
所以，即，
由题意，对恒成立，
令，则，
所以，解得或，
故实数的取值范围是.
18. 已知函数与的图象关于直线对称．
（1）若是奇函数，求实数的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知实数，满足，．求的值．
解：（1）由已知函数y=fx与的图象关于直线对称，
则，则，
又函数是奇函数，所以，
整理可得，
又不恒为，所以，
此时或，均满足奇函数，
所以.
（2）由，即，
由（1）得，
则可转化为，
即不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
即在上的最大值为，
即，所以，即.
（3）由实数，满足，，
所以，，则，
所以，，即，，，
令，，则
设，则，，，
所以，即，
所以hx在0，+∞上单调递增．
因为方程等价于，所以，即，
所以．
19. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”．
（1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由．
（2）已知函数与互为“积幂函数”．
①证明：函数存负零点，且负零点唯一．
②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）．
解：（1）对任意的x∈R，，所以、恒成立，
所以，函数、的定义域均为R，
，
故函数与互为“和幂函数”.
（2）①，
由函数与互为“积幂函数”，
则，即，故，
则与，
则，
令，即，令，
由函数在上单调递增，在上单调递减，
故在定义域内单调递增，
又，，
故在上存在唯一零点，
即函数存在负零点，且负零点唯一；
②，则，
又，则当时，，
由在上单调递增，在上单调递减，
又在R上单调递增，则当时，
在上单调递增，在上单调递减，
由，则，又，，
若函数在上有两个零点，
则在上有两个不同根，故.