湖北省武汉市外国语学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷 （原卷版+解析版）

这是一份湖北省武汉市外国语学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷 （原卷版+解析版），共41页。试卷主要包含了 下列运算正确的是，65B等内容，欢迎下载使用。
数学试题
卷面分值：120分 考试时间：120分钟
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. “高兴同学拆开一个盲盒就抽到自己非常喜欢的小机器人”，这个事件是（ ）
A 不可能事件B. 随机事件C. 确定性事件D. 必然事件
3. 年月日至月日哈尔滨亚洲冬季运动会上，中国体育代表团取得了优异的成绩，亚冬会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 的出现为全球领域带来了新的活力和机遇，其日活用户数量在上线仅仅20天就突破了2000万大关，日活增长速度超过了当初爆火的，数据2000万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，在中，小美同学按如下步骤尺规作图：①分别以点A、C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点E、F；②作直线，交于点O，交于点G；③作射线，在射线上截取（B与D不重合），使得；④作直线．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则至少有两人左拐的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（ ）（参考数据：，，结果保留2位小数）
A. 0.65B. 0.66C. 0.67D. 0.68
10. 将抛物线绕着点旋转后得到如图所示的图象．若点在该图像上，则m的值有（ ）个
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二．选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家，战国时期李惺所著《法经》已经使用负数．若向东走50米记作米，则向西走35米记作______米．
12. 已知反比例函数的图像，当时，随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值______．
13. 分式方程的解为______．
14. 如图，斜坡坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为15米，则大树的高为______米．（结果保留根号）
15. 如图，在中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，，则线段的最小值是______．
16. 已知抛物线（a，b，c是常数），过两点，且．下列四个结论：
①若，则；
②若，则；
③若且，抛物线上，且，则；
④若，当时，直线与该抛物线有一个公共点，则．
其中正确的结论是______（填写序号）
三．解答题（共8小题，共72分）
17. 求不等式组的正整数解．
18. 如图，在中，O是中点，连接，并延长交的延长线相交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）请添加一个条件______，使四边形为矩形．（不需要说明理由）
19. 为积极响应并切实落实“双减”政策，我校精心策划并组织了丰富多彩的社团活动，旨在充实和活跃学生的课余生活，促进学生全面发展．为精准把握全校学生参与学校五个特色社团的意向，学校采用随机抽样的方式，选取了40名学生展开问卷调查．此次调查规定，每位学生仅能从五个社团中挑选一个．目前，问卷调查结果已初步整理，但统计图表尚不完善，请你进一步补充与完善．
请你根据以上信息结合统计图解答下列问题：
（1）填空：______；______；______；请补全条形统计图．
（2）在抽样调查中，参加5个社团的人数的众数为______；扇形统计图中扇形B的圆心角是______度；
（3）若全校有1800名学生，估计全校约有多少名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团？
20. 如图，是的外接圆，，连接，过点B作交的延长线于点D．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若的半径为2，，求的长．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务画线不得超过3条．
（1）如图1，正方形的顶点为格点，是上格点，是与网格线的交点，画点关于的对称点．
（2）在图1中，在上画点，使得．
（3）如图2，的顶点为格点，是上格点，先将绕点顺时针旋转，画对应线段，再在上画点，使得．
（4）在图2中，在上画点，使得．
22. 在电影《哪吒之魔童闹海》中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？
（3）为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），问士兵要想射中空中飞行的海妖，k的值至少为______（直接写出结果）．
23. 已知：在菱形中，，E为上一点，F为上一点．
【问题背景】
（1）如图1，若，求证：．
【问题探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点G．求证：．
【拓展应用】
（3）如图3，连接并延长交的延长线于点M，连接并延长交于点N，若，请直接写出的值．（用含n的式子表示）
24. 如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，对称轴为，且．
（1）直接写出抛物线解析式为______．
（2）如图1，点D为抛物线顶点，点E是第一象限抛物线上一点，使得，，求E点坐标．
（3）将抛物线关于y轴翻折得到抛物线，如图2，它与x轴负半轴交于点P，与正半轴交于点Q，与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于M，N两点，且平分，求点P到直线的最大距离．
2024－2025学年度
武汉外国语学校九年级学情调研（三）
数学试题
卷面分值：120分 考试时间：120分钟
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称的定义，中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；根据轴对称的定义，中心对称图形的定义依次判断即可求解；
【详解】解： A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B
2. “高兴同学拆开一个盲盒就抽到自己非常喜欢的小机器人”，这个事件是（ ）
A. 不可能事件B. 随机事件C. 确定性事件D. 必然事件
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此解答即可．
【详解】解：“高兴同学拆开一个盲盒就抽到自己非常喜欢的小机器人”这个事件是随机事件，
故选：B．
3. 年月日至月日哈尔滨亚洲冬季运动会上，中国体育代表团取得了优异的成绩，亚冬会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案．
【详解】解：从几何体的左侧观察有两个上下排列的矩形，
从几何体的右侧观察也有两个矩形，右侧下方的矩形的高比左侧下方的矩形矮，
在左视图中下面的长方形中的虚线是右侧下方的矩形的边，
几何体的左视图如下所示：
故选：C ．
4. 的出现为全球领域带来了新的活力和机遇，其日活用户数量在上线仅仅20天就突破了2000万大关，日活增长速度超过了当初爆火的，数据2000万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，要正确确定的值以及的值是解决此题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可．
【详解】解：2000万，
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、合并同类项的运算法则，对选项逐一分析判断即可．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意．
故选：C．
6. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可．
【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得，
水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7. 如图，在中，小美同学按如下步骤尺规作图：①分别以点A、C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点E、F；②作直线，交于点O，交于点G；③作射线，在射线上截取（B与D不重合），使得；④作直线．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，尺规作图，线段垂直平分线的性质定理，
根据尺规作图可知是的垂直平分线，可得，再结合，判定四边形是平行四边形，可知，然后根据等腰三角形的性质可得，接下来说明，再根据等腰三角形的性质得，最后根据平行线的性质得出答案．
【详解】解：尺规作图的过程，得是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
8. 经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则至少有两人左拐的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题的关键．
用树状图列举出所有等可能的情况，计算至少有两人左拐的次数，利用概率计算公式求解．
【详解】解：树状图如下：
共有8种等可能的情况，其中至少有两人左拐的有4种，
∴至少有两人左拐的概率为，
故选：A．
9. 如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（ ）（参考数据：，，结果保留2位小数）
A. 0.65B. 0.66C. 0.67D. 0.68
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的内切圆与外接圆的综合，涉及垂径定理，切线的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为，由内切圆可得点到三边距离为，，，是的角平分线，先证明，得到，再在中，由，得到，在和中求出，，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为，
∵M为锐角的内心，
∴点到三边距离为，，，是的角平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴中，，，
中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
10. 将抛物线绕着点旋转后得到如图所示的图象．若点在该图像上，则m的值有（ ）个
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的旋转，二次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想是解题的关键．先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再利用中心对称的性质得到点关于中心对称的点的坐标为，由抛物线绕着点旋转后抛物线形状不变，只是开口方向相反，可得出新的抛物线解析式为：，再把把点看成是函数的上一点，然后画出图形利用数形结合的方式求解即可．
【详解】解：的顶点坐标为：，
点关于成中心对称的点的坐标为：，
则得到新的抛物线解析式为：．
把点看成是函数的上一点，
如图，
故有4个交点，
故选：D
二．选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家，战国时期李惺所著《法经》已经使用负数．若向东走50米记作米，则向西走35米记作______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：若向东走50米记作米，则向西走35米记作米，
故答案为：．
12. 已知反比例函数的图像，当时，随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值______．
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的图像，当时，随的增大而增大，可知反比例函数的图像在第二象限，所以可得不等式，只要写一个小于的数即可．
【详解】解：反比例函数的图像，当时，随的增大而增大，
反比例函数的图像在第二象限，
，
，
只要写一个小于的数即可，
的值为(答案不唯一)．
故答案为： ．
13. 分式方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，最后检验得出答案．
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项合并同类项，得，
解得．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
14. 如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为15米，则大树的高为______米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．
如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
（米），
（米），
答：大树的高度为米．
故答案为：．
15. 如图，在中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，，则线段的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，根据旋转的性质可得为等边三角形、，推出，易知当时，取最小值， 即为．过点分别作于点，于点，交于点，从而证明，即．在等边中，通过，求出，，，即可求出，从而求出线段的最小值．
【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，
根据旋转的性质可得：为等边三角形，
线段是线段绕点顺时针旋转所得，
，，
，
，
，
线段长度最小时，的长度也最小，
而时，取最小值， 即为．
过点分别作于点，于点，交于点，
，，
，
，
在等边中，，
，，
，
，，
，
，
，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用以上知识点，学会用转化的思想思考问题．
16. 已知抛物线（a，b，c是常数），过两点，且．下列四个结论：
①若，则；
②若，则；
③若且，在抛物线上，且，则；
④若，当时，直线与该抛物线有一个公共点，则．
其中正确的结论是______（填写序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数关系式，
将点代入关系式，计算判断①；将及点代入关系式用含有b的代数式表示a，即可得出交点式，再根据点的坐标的位置得出不等式，求出解集判断②；根据题意可知抛物线经过点，且开口向下，对称轴为，再分四种情况讨论得出不等式组，求出解集判断③；先求出二次函数关系式，结合二次函数的顶点坐标，并求出当时，，当时，，再根据直线和抛物线有一个交点得出答案．
【详解】解：当时，点．
将点代入关系式，
，
整理，得，
所以①正确；
当时，．
将点代入关系式，得，
即，
∴，
∴抛物线与x轴的交点坐标为．
∵，
∴．
当时，
解得；
当时，不符合题意．
综上所述，．
所以②正确；
当时，点，
可知该抛物线经过点，且开口向下，对称轴为．
当点P，Q在对称轴的左侧时，
，
无解；
当点P，Q在对称轴的右侧时，
，
解得；
当点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧时，
，
无解；
当点P在对称轴的右侧，点Q在对称轴的左侧时，
，
解得；
综上所述：．
所以③正确；
当时，点．
将点代入关系式，得
，
解得，
∴二次函数的关系式为，
当时，；
此时直线与该抛物线有一个公共点，；
当时，；当时，．
当时，直线与抛物线有一个公共点，则．
综上所述，或.
所以④不正确．
正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
三．解答题（共8小题，共72分）
17. 求不等式组的正整数解．
【答案】1，2，3
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式组的正整数解，
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后根据解集得出正整数的解．
详解】解：解不等式①，得；
解不等式②，得，
则不等式组的解集是，
所以正整数解有1，2，3．
18. 如图，在中，O是的中点，连接，并延长交的延长线相交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）请添加一个条件______，使四边形为矩形．（不需要说明理由）
【答案】（1）证明见解析
（2）当时（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定，
对于（1），根据平行四边形的性质得，即可得，再根据可得结论；
对于（2），由（1）可知，即可知四边形是平行四边形，再添加一个内角等于或对角线相等，答案不唯一．
【小问1详解】
证明：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵点O是的中点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，四边形是矩形．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
当时，
∴四边形是矩形．
故答案为：（答案不唯一）．
19. 为积极响应并切实落实“双减”政策，我校精心策划并组织了丰富多彩的社团活动，旨在充实和活跃学生的课余生活，促进学生全面发展．为精准把握全校学生参与学校五个特色社团的意向，学校采用随机抽样的方式，选取了40名学生展开问卷调查．此次调查规定，每位学生仅能从五个社团中挑选一个．目前，问卷调查结果已初步整理，但统计图表尚不完善，请你进一步补充与完善．
请你根据以上信息结合统计图解答下列问题：
（1）填空：______；______；______；请补全条形统计图．
（2）在抽样调查中，参加5个社团的人数的众数为______；扇形统计图中扇形B的圆心角是______度；
（3）若全校有1800名学生，估计全校约有多少名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团？
【答案】（1）12，4，10
（2）4，
（3）估计全校约有名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，学会从统计图中获取信息是解题的关键，
（1）总抽查人数，，，然后补全条形图即可得解；
（2）由众数的定义即可得解，由扇形统计图计算即可得解；
（3）全校愿意参加乒乓球或手工制作社团的学生有：，计算即可．
【小问1详解】
解：由题可知，（人），(人)，，
补全的条形统计图如下：
故答案为：12，4，10；
【小问2详解】
解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数据，
∴在这组数据中，出现的次数最多，
∴参加5个社团的人数的众数是，
由扇形统计图知，的圆心角是：，
故答案为：4，；
【小问3详解】
解：(人)，
答：估计全校约有名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团．
20. 如图，是的外接圆，，连接，过点B作交的延长线于点D．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若的半径为2，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，由圆周角定理可得，则，从而推出，即可证明结论；
（2）过点作于点，可得是等腰直角三角形，进而得到，再利用勾股定理求出，，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
又是半径，
直线是的切线．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，则，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
半径为2，
，
在中，，
在中，，
．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务画线不得超过3条．
（1）如图1，正方形的顶点为格点，是上格点，是与网格线的交点，画点关于的对称点．
（2）在图1中，在上画点，使得．
（3）如图2，的顶点为格点，是上格点，先将绕点顺时针旋转，画对应线段，再在上画点，使得．
（4）在图2中，在上画点，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格的特点，找到关于的对称点，然后找到关于的对称点．
（2）根据轴对称的性质，连接并延长交于点，连接格点交网格线于点，连接并延长交于点，点即为所求；
（3）取与网格线的交点，连接，则，根据网格的特点，得出，即可求解；
（4）在（3）的结论下找到两个个三角形的锐角的正切分别为和，即可求解取格点网格线中点，连接并延长交于点，连接交于点，则即为所求，
【小问1详解】
找到关于的对称点，和点下方第三条网格线的交点即关于的对称点．
【小问2详解】
如图所示，连接并延长交于点，连接格点交网格线于点，连接并延长交于点，点即为所求；
理由如下，连
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵根据平行线分线段成比例可得：，
∴
∴四边形平行四边形，
又∵
∴四边形是矩形，
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
又由①可得，即
∴是的垂直平分线，
∴
∴＝
【小问3详解】
解：如图所示，即为所求，取与网格线的交点，连接，则＝
理由如下，
如图，连接
根据平行线分线段成比例可得
∴，
又∵
∵
∴
∴是直角三角形
∴
∴＝
【小问4详解】
如图所示，取格点网格线中点，连接并延长交于点，连接交于点，则即为所求，
理由如下，
∵
∵，
∵
∴
∴
∴
同（2）可得，
∴
又
∴
又∵点在上，
∴
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理的应用，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 在电影《哪吒之魔童闹海》中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？
（3）为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），问士兵要想射中空中飞行的海妖，k的值至少为______（直接写出结果）．
【答案】（1）
（2）海妖能成功跳到城墙上
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质是解决此题的关键．
（1）由题意找到顶点坐标，然后找到与轴的交点坐标，利用待定系数即可求解；
（2）先求出的坐标，然后求出时，抛物线上点的坐标，与进行比较即可得解；
（3）求出直线与抛物线的边界值，进而即可得解．
【小问1详解】
解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高，
∴，，
令得，，解得，（舍）或，
∵，
∴海妖能成功跳到城墙上；
【小问3详解】
解：∵，，E为的中点，
∴，
∴，
当直线经过点时，
，解得，
当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根，
∴方程整理得，
∴，
∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或，
∴，
∴k的值至少为，
故答案为：．
23. 已知：在菱形中，，E为上一点，F为上一点．
【问题背景】
（1）如图1，若，求证：．
【问题探究】
（2）如图2，在（1）条件下，延长交的延长线于点G．求证：．
【拓展应用】
（3）如图3，连接并延长交的延长线于点M，连接并延长交于点N，若，请直接写出的值．（用含n的式子表示）
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】对于（1），连接，根据菱形的性质可得，再说明，接下来证明，可得答案；
对于（2），先根据菱形的面积相等得出，即可得出答案；
对于（3），作，连接，由（1）得是等边三角形，，即可得，再根据菱形的性质得，根据平行线分线段成比例可得，即，然后说明，可得，再说明，接下来可得，根据相似三角形的性质得，最后结合表示出，此题可解．
【详解】解：（1）如图所示，连接，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点D作，垂足为K，I，
根据菱形的面积相等得，且，
∴，
∴；
（3）．
如图所示，
作，连接，
由（1）得，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵
∴．
∵，
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，等边三角形的性质和判定，作出构造相似（全等）三角形是解题的关键．
24. 如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，对称轴为，且．
（1）直接写出抛物线的解析式为______．
（2）如图1，点D为抛物线顶点，点E是第一象限抛物线上一点，使得，，求E点坐标．
（3）将抛物线关于y轴翻折得到抛物线，如图2，它与x轴负半轴交于点P，与正半轴交于点Q，与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于M，N两点，且平分，求点P到直线的最大距离．
【答案】（1）
（2）
（3）点P到直线的最大距离
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合体，涉及到待定系数法求解析式，三角函数，二次函数与定点问题，相似三角形的判定与性质等知识点；
（1）先求出，再由，得到，，求出抛物线对称轴为，解得，再根据交点式求解析式即可；
（2）先求出顶点，过作交于，轴于，过作交直线于，则， ，，由可得，再证明得到，代入数值后即可求出，再求出直线解析式，最后联立二次函数解析式解方程即可得到；
（3）先求出抛物线关于y轴翻折得到抛物线解析式为，得到，， ，则，过作轴，过作于，过作轴于，则，即可得到，，再分别设直线解析式为，直线解析式为，与抛物线联立后得到，，代入得到，设直线解析式为，与抛物线联立后得到，代入关系式消元后得到，即可得到直线过定点，最后由垂线段最短可得：点P到直线的距离不超过，据此求解即可．
【小问1详解】
解：令，则，
∴，
∴，
∴，，
∴抛物线对称轴为，
∵对称轴为，
∴，解得，
∴，，，
∴，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
故答案：．
【小问2详解】
解：∵，
∴顶点，
如图，过作交于，轴于，过作交直线于，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，把代入得，解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
【小问3详解】
解：∵点关于y轴翻折得到点，
∴抛物线关于y轴翻折得到抛物线解析式为，
令，解得，
∴，，
∴，
∴，
如图，过作轴，过作于，过作轴于，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴设直线解析式，直线解析式为，
联立，解得或，
∴，
同理，
∴，，
∴，
整理得，
设直线解析式为，
联立，整理得，
∴，
∴，
整理得，
∴，
整理得，
∴直线解析式为，
当时，，即直线过定点，
∴，
∵由垂线段最短可得：点P到直线的距离不超过，
∴点P到直线的最大距离．
社团名称
A（架子鼓）
B（乒乓球）
C（手工制作）
D（播音主持）
E（舞蹈）
人数/人
4
m
16
n
4
社团名称
A（架子鼓）
B（乒乓球）
C（手工制作）
D（播音主持）
E（舞蹈）
人数/人
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