四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下期第一次月考数学试题

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1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7. D 8.C
8.解：因为函数f（x）在[a，b]上连续，且在（a，b）上可导，则必有一ξ∈（a，b），使得f'(ξ)=f(b)-f(a)b-a，又函数f(x)=-x-1ex，可得f'(x)=-ex-(x+1)exe2x=xex，所以f′（ξ）=ξeξ，此时f(b)-f(a)b-a=ξeξ，
又λ=f(b)-f(a)b-a，所以λ=ξeξ，因为ξ∈（a，b），且a，b∈[0，2]，所以ξ∈（0，2），不妨设g(x)=xex，函数定义域为（0，2），可得g'(x)=1-xex，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当1＜x＜2时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）取得极大值也是最大值，最大值g（1）=1e，则当ξ＝1时，λ取得最大值，最大值为λ=1e．故选：C．
二、多选题
9.BCD 10.AC 11.BC 12.ACD
12.【详解】由，令，令，
即在上单调递减，在上单调递增，即，
对于A项，当时，则，又易知，且时，，
根据零点存在性定理可知函数在和内各有一个零点，故A正确；
对于B项，当时，此时，则有一个零点，当时，，则此时无零点，又易得，
则，函数的零点个数与的零点个数相同，故B错误；
对于C项，由A、B项结论可知：当时，有两个零点，，
同时有两个零点，，则根据单调递增可知，存在唯一的满足成立，
有，
若C正确，因为，则只能有，即，由题意易知：，
令，则时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，
设，，因为，时，，，
所以存在，使得，即，所以，，
即存在，使得与有相同的零点，故C正确；
对于D项，由C项结论可知，此时，则由，故D正确.
三、填空题
13. 14．①. ②. 15.120 16.
15．【解析】 使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A eq \\al(3,3) 种摆法，然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有A eq \\al(3,4) 种摆法，根据分步乘法计数原理有A eq \\al(3,3) A eq \\al(3,4) 种摆法．扣除郁金香在两边的情况，排2盆虞美人、1盆郁金香有2A eq \\al(2,2) 种摆法，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有A eq \\al(3,3) 种摆法．根据分步乘法计数原理有2A eq \\al(2,2) A eq \\al(3,3) 种摆法．所以共有A eq \\al(3,3) A eq \\al(3,4) －2A eq \\al(2,2) A eq \\al(3,3) ＝120种摆法．
16.【详解】定义在上的函数关于轴对称，函数为上的偶函数．令，则,为奇函数．．当时，不等式．，在单调递增．函数在上单调递增．对，不等式恒成立，,
即．当时，，则，则；；故在单调递减，在单调递增；可得时，函数取得极小值即最小值，．当时，，则，则则的取值范围是.故答案为：.
四、解答题
17． (1) (2)
【详解】（1）解：由等差数列的前n项和，
可得，，可得，所以公差 ，
所以的首项为2，公差为1，可得通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，设数列的前n项和为，
则.
18．（1）；（2）,或.
【详解】（1）∵的导数，由题意可得，
，解得，.
（2）∵切线与直线垂直，∴切线的斜率.设切点的坐标为，则，
∴.由，可得，或.
则切线方程为或. 即或.
19． (1)递增区间为，递减区间为 (2)
【详解】（1）当时，，其定义域为，，
令，得（舍去），当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）方法1：由条件可知，于是，解得．当时，，
构造函数，，，
所以函数在上单调递减，于是，因此实数m的取值范围是．
方法2：由条件可知对任意的恒成立，
令，，只需即可．，
令，则，所以函数在上单调递增，
于是，所以函数在上单调递增，
所以，于是，因此实数m的取值范围是．
20．(1) (2)
【详解】（1）当时，，当时，，
两式相减，得，又，所以数列为等比数列，首项为2，公比为3，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
则有，
两式相减得：，
于是得，因为且，，
当时，数列是递增数列，所以的最小值为18，因此.
21. 【详解】（1），当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得到，所以当时，，单调递增，
当，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）设函数，则，可知在上单调递增.
又由，知，在上有唯一实数根，且，则，即.
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，结合，知，
所以，则，
即不等式ex-2-ax>f(x)恒成立.
22. （1）因为，所以，
当时，因为，所以恒成立，则在上单调递增，且，所以恒大于等于零不成立；当时，由得，，易知当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
则，若恒成立，则
令，则，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以当时，.
综上，若恒成立，则；
（2）由（1）得，当时，恒成立，即，当且仅当时等号成立，
令，则，，，
所以，，，
令，则恒成立，所以函数在上单调递增，
故当时，，即．
所以，，，所以
.
【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和(常常用到裂项相消法求和)达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.