四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下期第一次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．,则( )
A.-6B.2C.-2D.6
2．已知数列,分别为等差数列、等比数列,若,,则( )
A.-1B.0C.1D.2
3．若从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字,组成没有重复数字的三位偶数,则这样的三位数一共有( )
A.20个B.48个C.52个D.120个
4．若点P是曲线上任意一点,则点P到直线的距离的最小值为( )
A.B.C.D.
5．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色,要求相邻两块涂不同的颜色,则不同的涂色方法有( )
A.240B.360C.480D.600
6．已知等差数列与的前n项和分别为,,且,则的值为( )
A.B.C.D.
7．若函数在区间内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续,且在上可导,则必有,使得.已知函数,,,,那么实数的最大值为( )
A.1B.eC.D.0
二、多项选择题
9．如图是导函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.为函数的单调递增区间
B.为函数的单调递减区间
C.函数在处取得极大值
D.函数在处取得极小值
10．内江六中某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课,且该天上午总共5节课,下列结论正确的是( )
A.若数学课不安排在第一节且不在最后一节课,则有72种不同的安排方法
B.若语文课和数学课必须相邻,且语文课排在数学课前面,则有48种不同的安排方法
C.若语文课和数学课不能相邻,则有72种不同的安排方法
D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有40种不同的安排方法
11．在等差数列中,首项,公差,前项和为,则下列命题中正确的有( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则是中的最小项
12．已知函数,,,则( )
A.当时,函数有两个零点
B.存在某个,使得函数与零点个数不相同
C.存在,使得与有相同的零点
D.若函数有两个零点,,有两个零点,,一定有
三、填空题
13．若函数的导函数为，且满足，则______.
14．某公园新购进3盆不同的锦紫苏、2盆不同的虞美人、1盆郁金香共6盆盆栽,现将这6盆盆栽摆成一排,则郁金香不在两边,任意两盆锦紫苏不相邻的摆法共有______________.
15．已知定义在R上的函数关于y轴对称,其导函数为,当时,不等式.若对,不等式恒成立,则a的取值范围是_______________.
四、双空题
16．已知数列满足,,则_____________,数列的前99项和为____________.
五、解答题
17．记为等差数列前n项和．已知,
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和．
18．已知曲线在点处的切线方程是.
(1)求a,b的值;
(2)如果曲线的某一切线与直线垂直,求切点坐标与切线的方程.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围.
20．已知数列的前n项和为,,其中.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前n项和,若对任意且,恒成立,求实数的取值范围.
21．已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明不等式恒成立.
22．已知函数.
(1)若恒成立,求实数a的值;
(2)证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：,, .
故选：C.
2．答案：B
解析：因为数列,分别为等差数列、等比数列,
所以,,
所以,,
则.
故选：B.
3．答案：C
解析：根据题意,分2种情况讨论：
①若0在个位,
此时只须在1,2,3,4,5中任取2个数字,作为十位和百位数字即可,有个没有重复数字的三位偶数;
②若0不在个位,
此时必须在2或4中任取1个,作为个位数字,有2种取法,
0不能作为百位数字,则百位数字有4种取法,十位数字也有4种取法,
此时共有个没有重复数字的三位偶数,
综合可得,共有个没有重复数字的三位偶数.
故选：C.
4．答案：B
解析：由函数,可得,,
令,可得,
因为,可得,则,
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为,
由点到直线的距离公式,可得点P到直线l的距离为.
故选：B.
5．答案：C
解析：将区域标号,如下图所示：
因为②③④两两相邻,依次用不同的颜色涂色,则有种不同的涂色方法,
若①与④的颜色相同,则有1种不同的涂色方法;
若①与④的颜色不相同,则有3种不同的涂色方法;
所以共有种不同的涂色方法.
故选：C.
6．答案：D
解析：根据题意,等差数列与的前n项和分别为,,
且,
设,,
则,,
故,
故选:D.
7．答案：D
解析：,
,
若在区间内存在单调递增区间,则,有解,
故,
令,则在单调递增,
,
故.
故选：D.
8．答案：C
解析：因为函数在上连续,且在上可导,则必有一,
使得,
又函数,可得,
所以,此时,
又,所以,因为,且a,,所以,
不妨设,函数定义域为,可得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以当时,函数取得极大值也是最大值,最大值,
则当时,取得最大值,最大值为.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A,B,当 时,,故为函数的单调递增区间,故A正确,B错误;
对于C,当时,,当时,,故是函数的极大值点,故C正确;
对于D,当时,,当时,,故是函数的极小值点,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：对于A,若数学课不安排在第一节且不在最后一节课,则数学课有3节课可选,
其余科目没有要求,有安排方法,则一共有种不同的安排方法,故A正确;
对于B,语文课和数学课捆绑在一起,看作一个元素,与余下的科目一起排列,
则有种不同的安排方法,故B错误;
对于C,先安排英语、物理、化学3节课,有种不同的安排方法,
把语文课和数学课安排在英语、物理、化学产生的4个空位上,
有种不同的安排方法,则共有种不同的安排方法,故C正确;
对于D,若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有种不同的安排方法,故D错误.
故选：AC.
11．答案：AC
解析：对于A,因为,所以,得,所以A正确,
对于B,因为,所以,得,因为,所以,所以有可能大于零,也有可能小于零,所以与无法比较大小,所以B错误,
对于C,因为,所以,所以,所以,所以,所以C正确,
对于D,因为,可得,因为,所以,,所以是中的最大项,所以D错误,
故选:AC
12．答案：ACD
解析：由,
令,令,
即在上单调递减,在上单调递增,
即,
对于A项,当时,则,
又易知,且时,,
根据零点存在性定理可知函数在和内各有一个零点,故A正确;
对于B项,当时,此时,则有一个零点,
当时,,则此时无零点,
又易得,
则,函数的零点个数与的零点个数相同,故B错误;
对于C项,由A、B项结论可知：当时,有两个零点,,
同时有两个零点,,
则根据单调递增可知,存在唯一,满足成立,
有,
若C正确,则只能有,即,
由题意易知：,
令,则时,,
时,,故在上单调递减,在上单调递增,
且时,,时,,
所以,满足,
即存在,使得与有相同的零点,故C正确;
对于D项,由C项结论可知,此时,
则由,故D正确.
综上：ACD正确.
故选：ACD.
13．答案：/
解析：由得，
所以，得，
所以，
所以.
故答案为：.
14．答案：120
解析：先排2盆虞美人、1盆郁金香有种,然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有种,
根据分步乘法计数原理有种排法;
若郁金香在两边,先排2盆虞美人、1盆郁金香有种,
再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有,根据分步计数原理有种排法,
综上可得共有种排法.
故答案为：120.
15．答案：
解析：定义在R上的函数关于y轴对称,函数为R上的偶函数.
令,则,为奇函数.
.
当时,不等式.
,在单调递增.
函数在R上单调递增.
对,不等式恒成立,
,
即
.
当时,,
则,
则,;,;
故在单调递减,在单调递增;
可得时,函数取得极小值即最小值,
.
当时,,则,则
则a的取值范围是.
故答案为：.
16．答案：3;
解析：由,,
得,,,,,
,,
所以数列是以6为周期的周期数列,
所以数列的前99项和为.
故答案为：;.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由等差数列前n项和,
可得,,可得,所以公差 ,
所以的首项为2,公差为1,可得通项公式为.
（2）由（1）知,可得,
设数列的前n项和为,
则.
18．答案：(1)1,-16;
(2),,或.
解析：(1)的导数,
由题意可得,,
解得,.
(2)切线与直线垂直,
切线的斜率,设切点的坐标为,
则, .
由,可得,或.
则切线方程为或.
即或.
19．答案：（1）递增区间为，递减区间为；
（2）.
解析：（1）当时，，其定义域为，
，
令，得（舍去），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）方法1：由条件可知，于是，解得.
当时，，
构造函数，，
，
所以函数在上单调递减，于是，
因此实数m的取值范围是.
方法2：由条件可知对任意的恒成立，
令，，只需即可.
，
令，则，
所以函数在上单调递增，
于是，所以函数在上单调递增，
所以，于是，因此实数m的取值范围是.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,,
当时,,,
两式相减,得,,又,
所以数列为等比数列,首项为2,公比为3,
所以数列的通项公式是.
(2)由(1)知,,
,
则有,
两式相减得：
,
于是得,
因为且,,,
当时,数列是递增数列,所以的最小值为18,
因此.
21．答案：(1)答案不唯一,具体见解析;
(2)证明见解析.
解析：(1)
当时,,所以在上单调递增;
当时,令,得到,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)设函数,
则,可知在上单调递增.
又由,知,在上有唯一实数根,且,
则,即.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
所以,结合,知,
所以,
则,
即不等式恒成立.
22．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)因为,所以,
当时,因为,所以恒成立,则在上单调递增,
且,所以恒大于等于零不成立;
当时,由得,,
易知当时,,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增.
则,若恒成立,则
令,则,
在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以
所以当时,.
综上,若恒成立,则;
(2)由(1)得,当时,恒成立,即,当且仅当时等号成立,
令,则,,,
所以,,,
令,则恒成立,
所以函数在上单调递增,
故当时,,即.
所以,,,
所以
.