2025年中考数学总复习 专题10 圆的基本性质（知识串讲+9大考点）(原卷版+解析版）

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知识一遍过
（一）圆的相关概念
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（7）确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆
（二）垂径定理及推论
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图:,弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
（2）推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
①弧AC=弧AD；②弧BD=弧CB；③CE=DE； ④AB⊥CD； ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
（三）弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
（四）圆周角定理及推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=∠O.

图a 图b 图c
（2）推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
考点一遍过
考点1：圆的基本概念
典例1：（2022上·九年级单元测试）如图，点A，O，D，点 C，D，E 以及点 B，O，C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）

A．2 条B．3 条C．4 条D．5 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有BC，CE共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
【变式1】（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）若点P为⊙O内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段OP长为（ ）
A．2B．3C．3D．23
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再根据勾股定理求得OP的长．
【详解】解：连接OC，如图所示：
根据题意得：AB=8，CD=4，CD⊥AB于点P，
则OC=OA=4，
∵CD⊥AB，
∴CP=12CD=2，
∴OP=OC2−CP2=42−22=23，
故选：D．
【变式2】（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AB ⊥ BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的长的最小值为（ ）
A．2B．4C．5D．7
【答案】A
【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【详解】解：如图所示
∵AB⊥BC，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，
在Rt△BCO中，AB=6，BC=4，
∴OB= 12 AB=3，
∴OC= OB2+BC2=5，
∴PC=OC−OP=5−3=2．
∴PC最小值为2．
故选：A．
【变式3】（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）

A．2πR2B．4πR2C．πR2D．不能确定
【答案】C
【分析】根据图形的特征，四边形内角和为360°，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
【详解】解：因为四边形内角和为360°，
所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积，
即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为πR2．
故选：C
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为360°°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
考点2：垂径定理
典例2：（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧所在圆的圆心，点C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为点D，AB=300m，CD=50m，则弧AB所在圆的半径是（ ）
A．150mB．250mC．300mD．350m
【答案】B
【分析】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．根据题意，可以推出AD=BD=150，若设半径为r，则OD=r−50，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：∵OC⊥AB，
∴AD=DB=150m，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
设半径为r得：r2=r−502+1502，
解得：r=250m，
∴这段弯路的半径为250m；
故选择：B．
【变式1】（2023上·内蒙古通辽·九年级校联考期中）⊙O的半径是10，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则弦AB与CD的距离是（ ）
A．2B．14C．2或14D．7或1
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用．作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由垂径定理得AE=12AB=8，CF=12CD=6，由于AB∥CD，易得E、O、F三点共线，在Rt△AOE和Rt△OCF中，利用勾股定理分别计算出OE与OF，然后讨论：当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OF+OE；当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离=OF−OE．
【详解】解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA=OC=10，
则AE=12AB=8，CF=12CD=6，
∵AB∥CD，
∴E、O、F三点共线，
在Rt△AOE中，OE=OA2−AE2=102−82=6，
在Rt△OCF中，OF=OC2−CF2=102−62=8，
当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离OF+OE=8+6=14；
当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离OF−OE=8−6=2．
所以AB与CD的距离是14或
故选：C．
【变式2】（2023上·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则AB=6，那么该圆环的面积为（ ）
A．3πB．6πC．9πD．12π
【答案】C
【分析】连接OC、OA，构造出Rt△AOC，求出OA2-OC2的值，再乘以π即为环形的面积．
【详解】解：连接OC、OA，则OC⊥AB，
在Rt△AOC中，
OA2-OC2=AC2=（12AB）2=9，
所以环形的面积为OA2π-OC2π=9π，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理以及圆面积的计算公式．
【变式3】（2023·广西钦州·统考一模）如图，点A，B，C，E在⊙O上，OC⊥AB于点D，∠E=22.5°，OB=22，则BC的长为（ ）

A．2π4B．2π2C．2πD．π
【答案】B
【分析】连接OA，则OA=OB=22，根据垂径定理得到BC=AC，由圆周角定理得到∠AOC=2∠E=45°，根据弧长公式计算出AC的长，即可得到BC的长．
【详解】解：连接OA，则OA=OB=22，

∵OC⊥AB于点D，
∴BC=AC，
∵∠E=22.5°，
∴∠AOC=2∠E=45°，
∴AC的长为45π×22180=2π2，
∴BC的长为2π2．
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
考点3：垂径定理的推论
典例3：（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图，点A，B在⊙O上，直径MN⊥AB于点C，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AC=CBB．OC=CNC．AN=BN D．AM=BM
【答案】B
【分析】本题主要考查的是垂径定理．由题意可知MN为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断．
【详解】解：根据MN为⊙O的直径，且MN⊥AB，垂足为C，则MN是垂直于弦AB的直径，满足垂径定理．
所以MN是AB的垂直平分线，
因而AC=CB，AN=BN，AM=BM，都是正确的．
所以选项B、OC=CN不一定成立．
故选：B．
【变式1】（2023上·辽宁葫芦岛·九年级校考期中）如图，以O为圆心的MN，C、D三等分MN，连MN、CD，下列结论错误的是（ ）

A．∠COM=∠CODB．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CDD．MN=3CD
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理．根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到∠AOB=20°，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，据此逐一判断即可．
【详解】解：由题意得MC=CD=DN，
∴MC=CD=DN，OM=ON=OC=OD，
∴MN2CDB．ABCE=AB，
∴AB