2025年中考数学总复习 专题01 一次方程（组）及其应用（知识串讲+9大考点）(原卷版+解析版）

这是一份2025年中考数学总复习 专题01 一次方程（组）及其应用（知识串讲+9大考点）(原卷版+解析版），文件包含专题01一次方程组及其应用知识串讲+9大考点原卷版docx、专题01一次方程组及其应用知识串讲+9大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）等式的性质
（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .
（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．
（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
（二）方程的概念
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解，方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程。
（2）一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为ax+b=0(a≠0)．其解为x＝．
（3）二元一次方程（组）：
①二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
②二元一次方程组：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
③二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有无数多个解．
④二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（三）解一元一次方程
（1）一般步骤：①去分母：②去括号：③移项：④合并同类项：⑤系数化为1．
（2）理论根据和注意点
①去分母→根据等式性质2→注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；
②去括号→根据去括号法则（分配律）→注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，括号内各项都要变号；
③移项→根据移项法则（等式性质1）→注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；
④合并同类项→根据合并同类项法则→注意点：系数相加，字母及它的指数不变
（四）解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．
（五）一次方程（组）的应用
步骤：设（未知数）→列（方程）→解（方程）→答（作答）
关键点：确认等量关系；常见的等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率。
③配套问题：
实际生产比＝配套比。
④商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
⑤数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
⑥平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）＝总数，
原数×（1－下降率）＝总数。
考点一遍过
考点1：方程的解
典例1：（22·23上·红河·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3x−3−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
【答案】C
【分析】将x=7代入3x−3−■=x+1求解即可．
【详解】解：将x=7代入3x−3−■=x+1得：3×7−3−■=7+1，
12−■=8，
解得：■=4，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
【变式1】（22·23上·泰安·期末）若关于x的一元一次方程12023x+5=3x−7的解为x=−3，则关于y的一元一次方程12023y+2+5=3y+2−7的解为（ ）
A．y=−3B．y=−4C．y=−5D．y=−6
【答案】C
【分析】设y+2=x，将x替换y+2代入方程12023y+2+5=3y+2−7，即可得出y+2=−3，进而求出结果即可．
【详解】解：设y+2=x，
则12023y+2+5=3y+2−7，变形为12023x+5=3x−7，
∴y+2=x=−3，
解得：y=−5，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程得解是能使方程左右两边相等的未知数的值，设y+2=x，将x替换y+2代入方程是解答本题的关键．
【变式2】（22·23上·盐城·期末）整式mx−n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
则关于x的方程−mx+n=9的解为（ ）
A．x=−5B．x=−4C．x=−2D．x=1
【答案】D
【分析】根据等式的性质把−mx+n=9变形为mx−n=−9；再根据表格中的数据求解即可．
【详解】解：关于x的方程−mx+n=9变形为mx−n=−9，
由表格中的数据可知，当−mx+n=9时，x=1；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解．
【变式3】（22·23·浙江·模拟预测）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）
A．6种B．5种C．4种D．3种
【答案】C
【分析】设一人间x间，二人间y间，三人间7−x−y间，根据旅行团共15人列出方程，解方程即可．
【详解】解：设一人间x间，二人间y间，三人间7−x−y间．根据题意得：x+2y+37−x−y=15，
整理得：2x+y=6，
当y=0时，x=3，7−3−0=7−3−0=4；
当y=2时，x=2，7−x−y=7−2−2=3；
当y=4时，x=1，7−x−y=7−1−4=2；
当y=6时，x=0，7−x−y=7−0−6=1．
∴有4种租房方案：①租一人间3间，二人间0间，三人间4间；②租一人间2间，二人间2间，三人间3间；③租一人间1间，二人间4间，三人间2间；④租一人间0间，二人间6间，三人间1间．
故选：C．
【点睛】本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根据x，y是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
【变式4】（22·23下·石家庄·阶段练习）若x=2y=1和x=−2y=0都是方程ax+by=2的解，则a+b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】把x=2y=1和x=−2y=0代入ax+by=2，建立方程组，再解方程组即可.
【详解】解：x=2y=1和x=−2y=0都是方程ax+by=2的解，
∴2a+b=2①−2a=2②，
解②得：a=−1，
把a=−1代入①得：b=4，
∴a=−1b=4，
∴a+b=−1+4=3，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，二元一次方程组的解法，掌握“利用方程的解建立新的二元一次方程”是解本题的关键.
【变式5】（22·23下·嘉兴·阶段练习）下列某个方程与x−y=3组成方程组的解为x=2y=−1，则这个方程是（ ）
A．12x+2y=3B．2x−y=6yC．3x−4y=10D．2x−2y=6
【答案】C
【分析】直接把x=2，y=−1代入各方程进行检验即可．
【详解】A、把x=2，y=−1代入：左边=12x+2y=12×2+2×(−1)=−1≠3，故此项不符合题意；
B、把x=2，y=−1代入：左边=2×2−(−1)=2×3=6≠6×(−1)=−6，故此项不符合题意；
C、把x=2，y=−1代入：左边=3×2−4×(−1)=10，故此项符合题意；
D、把x=2，y=−1代入：左边=2×2−2×(−1)=6≠6×(−1)=−6，故此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
考点2：等式的性质
典例2：（23·24上·长沙·期中）若a=b，m是任意有理数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．a+m=b+mB．a−m=b−m
C．am=bmD．am=bm
【答案】D
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【详解】A、利用等式性质1，两边都加m，得到a+m=b+m，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
B、利用等式性质1，两边都减去m，得到a−m=b−m，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
C、利用等式性质2，两边都乘m，得到am=bm，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
D、成立的条件是m≠0，原变形不一定成立，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质，等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
【变式1】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a+5=5−b，那么a=bB．若ac=bc，则a=b
C．若2x=2a−b，则x=a−bD．若x2=6x，则x=6
【答案】B
【分析】应用等式的性质即可．
【详解】A. 如果a+5=5−b，那么a=−b ，选项错误；
B. 若ac=bc，则a=b，选项正确；
C. 若2x=2a−b，则x=a−12b，选项错误；
D. 若x2=6x，则当x=0，或x=6，选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，关键是正确应用等式的性质转化并解决问题．
【变式2】（23·24上·全国·专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．
【详解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．
答：“？”处应放〇的个数是3个．
故选：C．
【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．
【变式3】（22·23上·河北·阶段练习）下列方程的变形正确的是（ ）
A．由−2x=9，得x=−29B．由13x=0，得x=3
C．由7=−2x−5，得2x=5−7D．由1+12x=−3x，得2+x=−6x
【答案】D
【分析】A、方程x系数化为1，求出解，即可作出判断；
B、方程x系数化为1，求出解，即可作出判断；
C、方程移项得到结果，即可作出判断；
D、方程去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、由−2x=9，得：x=−92，不符合题意；
B、由13x=0，得：x=0，不符合题意；
C、由7=−2x−5，得2x=−5−7，不符合题意；
D、由1+12x=−3x，得2+x=−6x，即x+6x=−2，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
【变式4】（22·23下·沧州·期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（ ）

A．25gB．21gC．20gD．19g
【答案】D
【分析】根据题意可知3个比2个加1个20g砝码轻，易得1个比20g砝码轻，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可知3个比1个加1个50g砝码轻，1个加1个50g砝码比2个加1个20g砝码轻，
所以，3个比2个加1个20g砝码轻，
即1个比20g砝码轻，
所以的质量可能为
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
【变式5】（22·23下·长春·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A．由4x−5=3x+2得4x−3x=−2+5
B．由23x−1=12x+3得4x−1=3x+3
C．由3x−1=2x+3得3x−1=2x+6
D．由−2x=−3得x=32
【答案】D
【分析】根据等式基本性质和去括号法则逐项判断即可．
【详解】解：A、4x−5=3x+2变形为4x−3x=2+5，故A错误，不符合题意；
B、23x−1=12x+3变形得：4x−6=3x+3，故B错误，不符合题意；
C、3x−1=2x+3得：3x−3=2x+6，故C错误，不符合题意；
D、−2x=−3得x=32，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则，熟练掌握等式的基本性质和去括号法则，是解题的关键．
考点3：解一元一次方程
典例3：（23·24上·广州·期中）解方程
(1)2x+3=5x
(2)5x−2=3x+2
【答案】(1)x=2；
(2)x=4．
【分析】（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1即可．
【详解】（1）2x+3=5x
去括号得，2x+6=5x，
移项得，2x−5x=−6，
合并同类项得，−3x=−6，
系数化为1得，x=2;
（2）5x−2=3x+2
去括号得，5x−2=3x+6，
移项得，5x−3x=6+2，
合并同类项得，2x=8，
系数化为1得，x=4．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
【变式1】（23·24上·广州·期中）解方程：
(1)x+5=8
(2)3x+4=5−2x
(3)82x−1−x−1=−22x−1
【答案】(1)3
(2)15
(3)919
【分析】（1）直接移项即可解答；
（2）先移项，再系数化为1即可解答；
（3）先去括号，然后再移项、合并同类项、系数化为1即可解答
【详解】（1）解：x+5=8
x=8−5
x=3．
（2）解：3x+4=5−2x
3x+2x=5−4
5x=1
x=15．
（3）解：82x−1−x−1=−22x−1
16x−8−x+1=−4x+2
16x−x+4x=2+8−1
19x=9
x=919．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一．
【变式2】（23·24上·大连·期中）解方程：
(1)x+32=3x−12；
(2)3x+7=32−2x．
【答案】(1)x=1
(2)x=5
【分析】移项合并，然后系数化为1计算求解即可．本题考查了解一元一次方程．熟练掌握先移项合并，然后系数化为1，是解方程的关键．
【详解】（1）解：x+32=3x−12，
x−3x=−32−12，
−2x=−2，
x=1；
（2）解：3x+7=32−2x，
3x+2x=32−7，
5x=25，
x=5．
【变式3】（23·24上·綦江·期中）解下列方程
(1)x−25x=−6+5
(2)4x−3=6x+5
【答案】(1)x=−53
(2)x=−4
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数的系数化为1”．
【详解】（1）解：x−25x=−6+5，
合并同类项得：35x=−1，
未知数系数化为1得：x=−53；
（2）解：4x−3=6x+5，
移项，合并同类项得：−2x=8，
未知数系数化为1得：x=−4．
【变式4】（23·24上·全国·专题练习）解方程：
(1)1−3x−2=4
(2)2x+13−5x−16=1
(3)x−10.3−x+20.5=1.2
(4)3x−1−7=2
【答案】(1)x=1
(2)x=−3
(3)x=6.4
(4)x=4或x=−2
【详解】（1）解：1−3x−2=4，
去括号，得1−3x+6=4，
移项，得−3x=4−6−1，
合并同类项，得−3x=−3 ，
系数化为1，得x=1；
（2）解：2x+13−5x−16=1，
去分母，得22x+1−5x−1=6，
去括号，得4x+2−5x+1=6，
移项，得4x−5x=6−1−2，
合并同类项，得−x=3，
系数化为1，得x=−3；
（3）解：x−10.3−x+20.5=1.2，
原方程可变形为10x−103−10x+205=1.2，
去分母，得5(10x−10)−3(10x+20)=18，
去括号，得50x−50−30x−60=18，
移项，得50x−30x=18+50+60，
合并同类项，得20x=128，
系数化为1，得x=6.4；
（4）解：3x−1−7=2，
去绝对值，得：3(x−1)−7=2或3(1−x)−7=2，
去括号，得：3x−3−7=2或3−3x−7=2，
移项，得：3x=2+3+7或−3x=2−3+7，
合并同类项，得：3x=12或−3x=6，
系数化为1，得：x=4或x=−2．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”是解题的关键．
【变式5】（23·24上·十堰·期中）解方程：
(1)2x−x+3=1.5−2x
(2)7x+2=5x+8
【答案】(1)x=−0.5；
(2)x=3．
【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为
【详解】（1）解：2x−x+3=1.5−2x，
移项得：2x−x+2x=1.5−3，
合并同类项得：3x=−1.5，
系数化为1：x=−0.5；
（2）解：7x+2=5x+8，
移项得：7x−5x=8−2，
合并同类项得：2x=6，
系数化为1：x=3．
考点4：一次方程的实际应用
典例4：（23·24上·哈尔滨·阶段练习）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应用多少立方米木材来生产桌面？多少立方米木材生产桌腿？
【答案】应安排10立方米木材用来生产桌面，2立方米木材生产桌腿．
【分析】设应安排xm3木材用来生产桌面，则应安排12−xm3木材用来生产桌腿．“1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿”求出桌面数与桌腿数．根据一张桌子要用一个桌面和4条桌腿配套，利用桌面数×4=桌腿数建立方程求出其解即可．
【详解】解：设用xm3木材制作桌面，则用12−xm3木材制作桌腿，
根据题意得4×20x=40012−x，
整理得：480x=4800，
解得：x=10，
12−x=2．
答：应安排10立方米木材用来生产桌面，2立方米木材生产桌腿．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用与求解，根据题意正确列出方程式是解题关键．
【变式1】（23·24上·海淀·开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：

解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．
②解这个方程得，x=______．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=______．个搬运工的体重
④最终可求得：大象的体重为______斤．
【答案】20x+3×130=20x+x+130；260；2；5590
【分析】根据题意，表示出大象的重量可表示为20x+3×130斤，也可表示为20x+x+130斤，进而可列方程求解即可.
【详解】解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：20x+3×130=20x+x+130．
②解这个方程得，x=260．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=2个搬运工的体重；
④20×260+3×130=5590，
即最终可求得：大象的体重为5590斤．
故答案为：20x+3×130=20x+x+130；260；2；55
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．
【变式2】（23·24上·武汉·期中）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x>20，x为整数）．
(1)当x=40时，若该球馆按方案一购买，需付款______元；若该球馆按方案二购买，需付款_____元；
(2)当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？
(3)若x=40，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)1800，1890
(2)x=100
(3)先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款1770元
【分析】（1）根据两种方案的收费方式列式，计算x=40时的值即可；
（2）根据题意建立方程求解即可；
（3）根据题意得出方案一购买球拍，方案二购买剩余所需乒乓球．
【详解】（1）解：由题意得，方案一需付款：10×150+15x−20=15x+1200元，
方案二需付款：10×150×90%+15x×90%=13.5x+1350元，
当x=40时，
方案一需付款：15×40+1200=1800（元）
方案二需付款：13.5×40+1350=1890（元），
故答案为：1800，1890；
（2）解：由题意得，15x+1200=13.5x+1350，
解得：x=100，
∴当x=100时，分别用两种方式购买所需费用一样；
（3）解：先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款10×150+20×15×90%=1770（元）．
【点睛】本题主要考查了列代数式及代数式求值问题，一元一次方程的应用，得到两种优惠方案付费的关系式是解题的关键．
【变式3】（23·24上·沈阳·期中）已知数轴上两点A，B对应的数分别为−4，10，点P为数轴上一动点，对应的数为x．
(1)若点P到点A，点B的距离相等，请求出x的值；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为20?若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
(3)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点A的运动的时间为t秒．请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时t的值．
【答案】(1)x=3
(2)存在；x=−7或13
(3)6秒或62秒
【分析】（1）根据点P到点A，点B的距离相等，则可得x−(−4)=10−x，进而可求解．
（2）依题意得x+4+x−10=20，分类讨论：当x