北师大版初中数学八年级下册 专题02 分式运算【知识串讲+10大考点】(原卷版+解析版）

这是一份北师大版初中数学八年级下册 专题02 分式运算【知识串讲+10大考点】(原卷版+解析版），文件包含专题02分式运算知识串讲+10大考点原卷版docx、专题02分式运算知识串讲+10大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
专题02 分式运算 考点类型 知识一遍过（一）分数的乘除法法则分式的乘除法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：除以一个数等于乘于这个数的倒数。式子表示为（二）分数的乘方分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子注意：①分式乘方要把分子、分母分别乘方。②分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。（三）分式加减法法则同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 考点一遍过考点1：分式乘除法运算典例1：（2023下·全国·八年级假期作业）计算−b43a2⋅12a的结果是（    ）A．−b816a3B．b812a3C．−b818a3D．b818a3【答案】D【解析】略【变式1】（2023上·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）下列分式运算中，结果正确的是（   ）A．ab÷cd=acbdB．(3x4y)3=3x34y3C．(2aa−b)2=4a2a2−b2D．m4n5⋅n4m3=mn【答案】D【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的运算法则解题．【详解】解：A. ab÷cd=ab⋅dc=adbc，故A错误，不符合题意；B. (3x4y)3=27x364y3，故B错误，不符合题意；C. 2aa−b2=4a2a2−2ab+b2，故C错误，不符合题意；D. m4n5·n4m3=mn，正确，故D符合题意故选：D．【变式2】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）若x2+1x−6÷x3+x□计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（    ）A．1x2−6B．x2−6C．x2−6xD．x−6【答案】C【分析】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键．先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出“□”中的式子的可能式，即可得出答案．【详解】解：x2+1x−6÷x3+x□=x2+1x−6⋅□xx2+1=□xx−6，∵运算结果为整式，∴“□”中的式子应该是含有因式xx−6的式子，只有选项C中x2−6x=xx−6符合题意，故选：C．【变式3】（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）下列化简结果正确的是（　　）A．a2−ab÷b−aab=a2bB．x2−y2x−y=x−yC．−m2+2m−1m−1=−m+1D．a+mb+m=ba【答案】C【分析】同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，进行逐一化简，即可求解．【详解】解：A.a2−ab÷b−aab=aa−b−aba−b=−a2b，结果不正确，故不符合题意；B.x2−y2x−y=x+yx−yx−y=x+y，结果不正确，故不符合题意；C.−m2+2m−1m−1=−m−12m−1=−m+1结果正确，故符合题意；D.已是最简分式，无法化简，结果不正确，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤是解题的关键．考点2：分式的乘方运算典例2：（2024上·河南信阳·八年级统考期末）化简−2a23b2的结果是（    ）A．−4a29b2B．4a29b2C．−4a49b2D．4a49b2【答案】B【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答．【详解】解：依题意，−2a23b2=4a49b2，故选：B．【变式1】（2023上·山东聊城·八年级统考期中）下列计算正确的是（    ）A．−b2a23=−b36a6B．−xx−y=x−x+yC．−x2y2÷−yx3=−xyD．0.2a+b0.7a−b=2a+b7a−b【答案】B【分析】本题主要考查了分式的乘方，分式的基本性质，分式的除法，熟练掌握分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，是解题的关键．根据分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，逐一计算判断即可．【详解】A. −b2a23=−b36a6，∵−b2a23=−b38a6，∴A错误；B. −xx−y=x−x+y，∵−xx−y=x−x−y=x−x+y，∴B正确；C. −x2y2÷−yx3=−xy，∵−x2y2÷−yx3=x4y2÷−y3x3=−x4y2⋅x3y3=−x7y5，∴C错误；D. 0.2a+b0.7a−b=2a+b7a−b，∵0.2a+b0.7a−b=100.2a+b100.7a−b=2a+10b7a−10b，∴D错误．故选：B．【变式2】（2023上·八年级课时练习）下列各式：①−2mna2b2；②−8m4n2a5b⋅anbm2；③2m−ab22⋅nba2；④2mn2ab2÷a3m．其中计算结果相等的是（    ）A．①②B．①③C．②③D．③④【答案】B【分析】先根据分式的运算法则计算各式，然后可得答案．【详解】解：①−2mna2b2=4m2n2a4b2，②−8m4n2a5b⋅anbm2=−8m2n3a4b2，③2m−ab22⋅nba2=4m2a2b4⋅n2b2a2=4m2n2a4b2，④2mn2ab2÷a3m=2mn2ab2⋅ma3=2m2n2a4b2；所以，计算结果相等的是①③；故选：B．【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则、正确计算是解题的关键．【变式3】（2022上·八年级单元测试）计算a2ba−b3的结果是（ ）A．a5ba−b3B．a6b3a3−b3C．a6b3a−b3D．a5b3a3−b3【答案】C【分析】利用乘方的意义计算即可得到结果．【详解】解：a2ba−b3=a6b3a−b3 ，故选C．【点睛】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．考点3：含乘方的分式乘除混合运算典例3：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）计算：(1)−2ab23×2ba2÷−2ba2；(2)1÷3a2b÷9a4b⋅2b3a．【答案】(1)−8a3b6(2)9a4b【分析】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据积的乘方，分式乘法和除法运算法则进行计算即可；（2）根据分式乘除运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：−2ab23×2ba2÷−2ba2=−8a3b6×4b2a2÷4b2a2=−8a3b6×4b2a2×a24b2=−8a3b6．（2）解：1÷3a2b÷9a4b⋅2b3a=1÷3a2b⋅4b9a⋅2b3a=1÷4b9a=9a4b．【变式1】（2023上·八年级课时练习）计算：(1)2ab3−c2d2÷6a4b3⋅−3cb22；(2)2x−6x2−4x+4÷3−x4x2−16⋅x−2x+22．【答案】(1)6b5a2c2d2(2)−8x−16x+2【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可；（2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可．【详解】（1）2ab3−c2d2÷6a4b3⋅−3cb22=4a2b6c4d2⋅b36a4⋅9c2b4=6b5a2c2d2；（2）2x−6x2−4x+4÷3−x4x2−16⋅x−2x+22=2x−3x−22⋅4x+2x−2−x−3⋅x−22x+22=−8x−2x+2．=−8x−16x+2【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．【变式2】（2023上·八年级课时练习）计算：(1)2c3−3ab22÷1ab3⋅−3c2a3；(2)x2−y2xy2⋅xyy−x2÷x+yx3．【答案】(1)−3c92a2b(2)x2xy+y2【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可；（2）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：2c3−3ab22÷1ab3⋅−3c2a3=4c69a2b4÷1a3b3⋅−27c38a3=4c69a2b4⋅a3b3⋅−27c38a3=4c69a2b4⋅a3b3⋅−27c38a3=−3c92a2b；（2）解：x2−y2xy2⋅xyy−x2÷x+yx3=x+y2x−y2x2y2⋅xyy−x2÷x+y3x3=x+y2x−y2x2y2⋅xyy−x2 ⋅x3x+y3=x2xy+y2．【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算．【变式3】（2023上·八年级课时练习）计算：(1)−b2a⋅2a3b÷3b4a；(2)16−m216+8m+m2÷m−42m+8⋅m−2m+2；(3)a2−b2ab3÷a+b3⋅aa−b2；(4)2a+2a2−1÷2a2−2a+1⋅1−2a2．【答案】(1)−4a9b(2)−2m−4m+2(3)a−bab3(4)a−14a2【详解】（1）解：−b2a⋅2a3b÷3b4a=−b2a⋅2a3b⋅4a3b=−4a9b；（2）解：16−m216+8m+m2÷m−42m+8⋅m−2m+2=4+m4−m(4+m)2⋅2m+4m−4⋅m−2m+2=−2m−4m+2；（3）解：a2−b2ab3÷a+b3⋅aa−b2=a+ba−bab3⋅1a+b3⋅a2a−b2=a+b3a−b3a3b3⋅1a+b3⋅a2a−b2=a−bab3．（4）解：2a+2a2−1÷2a2−2a+1⋅1−2a2=2a+1a+1a−1⋅a−122⋅14a2=a−14a2．【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．考点4：同分母相加减典例4：（2024上·山东泰安·八年级统考期末）化简x2x−1+11−x的结果是(   )A．x+1B．1x+1C．x−1D．x1−x【答案】A【分析】本题考查分式的加减运算，掌握分式加减的运算法则为解题关键．先化成同分母分数，再相加减，然后对分子进行因式分解，最后约分即可．【详解】解：x2x−1+11−x=x2x−1−1x−1=x+1x−1x−1=x+1，故选：A．【变式1】（2024上·天津红桥·八年级统考期末）计算2xx+1−x−1x+1的结果是（    ）A．1B．x+1C．1x+1D．xx+1【答案】A【分析】本题主要考查分式的加减，根据分式的加减法法则计算即可．【详解】2xx+1−x−1x+1=2x−x−1x+1=x+1x+1=1．故选：A．【变式2】（2023上·广西桂林·八年级校考期中）计算a1−2a+a−11−2a的结果是（    ）A． −1 B．1C．2a−11−2aD．2a−1【答案】A【分析】本题考查了分式的加减法．根据“同分母分式相加减，那么分母不变，把分子直接相加减” 即可求解．【详解】解：a1−2a+a−11−2a=2a−11−2a=−1．故选：A．【变式3】（2023上·河北沧州·八年级校考期中）化简x2x−y+y2y−x的结果为（    ）A．x−yB．x+yC．x+yx−yD．x−yx−y【答案】B【分析】本题考查的是分式的化简，先变形得到x2x−y−y2x−y，再计算得到x2−y2x−y，根据完全平方公式得到(x+y)(x−y)x−y，化简即可得到答案．熟练掌握运算法则是解本题的关键．【详解】x2x−y+y2y−x=x2x−y−y2x−y=x2−y2x−y=(x+y)(x−y)x−y=x+y．故选；B．考点5：最简公分母与通分典例5：（2023上·湖北孝感·八年级统考期末）分式bax，c3bx，a5x3的最简公分母是（　　）A．15abx3B．15abx5C．15abxD．5abx【答案】A【分析】本题考查的是最简公分母的确定，要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．【详解】解：分式bax，c3bx，a5x3的最简公分母是15abx3，故选A【变式1】（2023上·广东肇庆·八年级四会市四会中学校考期末）分式2x2y(x+y)2与x2x2−y2的最简公分母是（　　）A．x4−y4B．(x+y)2(x2−y2)C．(x−y)4D．(x+y)2(x−y)【答案】D【分析】把第二个分式的分母分解因式，然后根据最简公分母的确定方法解答．本题考查了最简公分母的确定，解题的关键在于对分母正确分解因式．【详解】解：∵x2−y2=x+yx−y，∴2x2yx+y2与x2x2−y2的最简公分母为x+y2x−y，故D正确．故选：D．【变式2】（2023上·八年级课时练习）对分式1a−b,1a+b,1a2−b2通分后，1a+b的结果是（    ）A．a+ba2−b2B．a−ba2−b2C．a2−b2(a+b)a2−b2D．(a+b)(a−b)a2−b22【答案】B【分析】把a2-b2因式分解，得出1a−b,1a+b,1a2−b2的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案．【详解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，∴分式1a−b,1a+b,1a2−b2的最简公分母是(a+b)(a−b)，∴通分后，1a+b=a−ba2−b2．故选：B．【点睛】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键．【变式3】（2023上·河北邢台·八年级校考期中）若将分式3x2x2−y2与分式x2x−y通分后，分式x2x−y的分母变为2x−yx+y，则分式3x2x2−y2的分子应变为（    ）A．6x2B．xx+yC．x2D．3x2x+y【答案】A【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为2x−yx+y，即可求解．【详解】解：∵x2x−y=xx+y2x−yx+y，∴3x2x2−y2=3x2x−yx+y=6x22x−yx+y，∴分式3x2x2−y2的分子应变为6x2，故选：A．考点6：异分母相加减典例6：（2024上·河南新乡·八年级统考期末）计算5m−2m−1+3m1−m的结果是（   ）A．3B．3m+3C．2D．6mm+1【答案】C【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．根据分式加减运算法则进行计算即可．【详解】解：5m−2m−1+3m1−m=5m−2m−1−3mm−1=5m−2−3mm−1=2m−2m−1=2m−1m−1=2．故选：C．【变式1】（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）计算a2a−1−a+1的正确结果是（    ）A．2a−1a−1B．−2a−1a−1C．1a−1D．−1a−1【答案】A【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=a2a−1−(a−1)2a−1=2a−1a−1，故选：A．【变式2】（2023上·全国·八年级假期作业）计算aa2−b2−bb2−a2的结果是（    ）A．1a+bB．1a−bC．a−ba2−b2D．a+ba2−b2【答案】B【解析】略【变式3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算2x+1−4xx2−1的结果是（    ）A．2x+1B．−2x+1C．2x−1D．−2x−1【答案】D【分析】本题考查了分式相减和平方差公式的运算法则，准确的计算是解决本题的关键．根据分式相加减和平方差公式的运算法则求解即可．【详解】解：2x+1−4xx2−1=2x−1x+1x−1−4xx+1x−1=−2x−2x+1x−1=−2x−1，故答案为：D考点7：分式化简求值典例7：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）先化简，再求值：2aa+1−2a−4a2−1÷a−2a2−2a+1，其中a能使关于x的二次三项式14x2+ax+4是完全平方式．【答案】2a+1；−2【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．【详解】解：原式=2aa+1−2a−2a+1a−1⋅a−12a−2=2aa+1−2a−1a+1=2a+1．由14x2+ax+4是完全平方式，得a=±2．∵分式中分母a−2不为0，∴a≠2．∴a=−2．当a=−2时，原式=2−2+1=−2．【变式1】（2024上·河南安阳·八年级统考期末）先化简，再求值：x−3x2−1⋅x2+2x+1x−3−1x−1+1其中x从1，2，3三个数中任取一个求值．【答案】1x−1，x=2时，原式=1【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个使分式有意义的值，代入求值即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．【详解】解：原式=x−3(x+1)(x−1)⋅(x+1)2x−3−xx−1 =x+1x−1−xx−1 =1x−1；要使原式有意义，则x≠±1,3，所以x的值只能取2， 当x=2时，原式=12−1=1．【变式2】（2024上·河南信阳·八年级统考期末）先化简：1−xx+3÷x2−9x2+6x+9，然后从−3，−2，2，3中选一个你认为合适的x的值代入求值．【答案】3x−3，当x=2时，原式=−3【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件．熟练掌握分式的化简求值，分式有意义的条件是解题的关键．先通分，利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解，然后计算除法可得化简结果，根据分式有意义的条件确定x的值，最后代入求解即可．【详解】解：1−xx+3÷x2−9x2+6x+9=x+3−xx+3×x+32x+3x−3=3x−3，由题意知，x+3≠0，x−3≠0，解得，x≠−3，x≠3，当x=2时，原式=32−3=−3．【变式3】（2024上·广西北海·八年级统考期末）先化简，再求值：3a−1−a+1a2−2a+1÷a+1a−1，从1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．【答案】2a−1，2【分析】本题考查分式的化简求值．先根据分式混合运算法则化简，再选择使分式有意义的a值代入化简式计算即可．【详解】解：3a−1−a+1a2−2a+1÷a+1a−1 =3a−1−a+1(a−1)2⋅a−1a+1 =3a−1−1a−1 =3−1a−1 =2a−1，∵a−1≠0，a+1≠0，∴a≠±1，∴当a=2时，原式=22−1=2．考点8：分式运算应用——比较大小典例8：（2023下·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）比较a+b2与2aba+b的大小（其中a>0，b>0且a≠b）．(1)尝试（用“”填空）：①当a=1，b=2时，a+b2 2aba+b；②当a=4，b=3时，a+b2 2aba+b；(2)归纳：a+b2与2aba+b有怎样的大小关系？试说明理由．【答案】(1)①>；②>；(2)a+b2>2aba+b，理由见解析．【分析】（1）将①a=1，b=2代入两式求解，进行比较大小；②将a=4，b=3代入两式求解，进行比较大小；（2）利用作差法比较大小即可．【详解】（1）解：①当a=1，b=2时，a+b2=32，2aba+b=2×1×21+2=43∵32=96>86=43∴a+b2>2aba+b故答案为：>；②当a=4，b=3时，a+b2=72=4914，2aba+b=2×4×34+3=247=4814∵4914>4814∴a+b2>2aba+b故答案为：>；（2）a+b2>2aba+b，理由如下：a+b2−2aba+b=a+b2−4ab2a+b=a−b22a+b∵a>0，b>0且a≠b∴a+b>0，a−b≠0∴a−b2>0∴a−b22a+b>0，即a+b2−2aba+b>0∴a+b2>2aba+b【点睛】此题考查了代数式求值，分式大小比较，涉及了完全平方公式，分式的混合运算，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．【变式1】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）由完全平方差公式(a−b)2=a2−2ab+b2可知，a2+b2=(a−b)2+2ab，而(a−b)2≥0，所以，对所有的实数a,b都有：a2+b2≥2ab，且只有当a=b时，才有等号成立：a2+b2=2ab．应用上面的结论解答下列问题：(1)计算x−1x2= ，由此可知x2+1x2 2（填不等号）；(2)已知m,n为不相等的两正数，试比较：(1+m%)(1+n%)与1+m+n2%1+m+n2%的大小；(3)试求分式x2x4−2x2+4的最大值．【答案】(1)x4−2x2+1x2，≥(2)<(3)12【分析】（1）根据资料提示的算法即可求解；（2）分别按多项成乘法运算方法展开(1+m%)(1+n%)与1+m+n2%1+m+n2%，再根据资料提供的方法即可求解；（3）根据分式的运算方法，计算x2x4−2x2+4=1x2−2+4x2=1x2+4x2−2，再根据资料提供的解题方法x2+4x2≥2x•2x=4即可求解．【详解】（1）解：x−1x2=x2−2+1x2=x4−2x2+1x2，x2+1x2=x−1x2+2，∵x−1x2≥0，∴x2+1x2=x−1x2+2≥2，故答案为：x4−2x2+1x2，≥．（2）解：(1+m%)(1+n%)=1+m%+n%+mn%，1+m+n2%1+m+n2%=1+m%+n%+m+n22%%∵m+n22−mn=m24+mn2+n24−mn=(m−n)22又m≠n∴(1+m%)(1+n%)0，则M>N；若M−N=0，则M=N；若M−N”，“=”或“−3时，试比较1A与B的大小，并说明理由；(3)嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了m千克该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元，已知第一次购买该商品的价格为a元/千克，第二次购买该商品的价格为b元/千克（a,b是整数，且a≠b）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低．【答案】(1)>(2)1A−3可得−72m+30，∴nn+1>0，则1nn+1>0，∴n+1n−n+2n+1>0，故答案为：>；（2）解：1A−B=m2−9m2+6m+9−2m+12m+6 =m+3m−3(m+3)2−2m+12m+3 =2m−62m+3−2m+12m+3 =−72m+3，∵m>−3，∴−72m+3