广东省惠州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（解析版）

这是一份广东省惠州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（解析版），共11页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，即，
由，得，即，
所以.
故选：D
2. 若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】由题设有，故，故，
故选：D
3. 在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（ ）
A. 40B. 42C. 43D. 45
【答案】B
【解析】设等差数列an的公差为，
因为，，所以，
则.
故选：B.
4. 的展开式中常数项是（ ）
A. 14B. C. 42D.
【答案】A
【解析】展开式通项为，
由，得，那么展开式中常数项是.
故选：A.
5. 在正三棱柱中，若，则点A到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为在正三棱柱中，若，
所以，，
所以，
设点A到平面的距离为，
因为，
所以，
所以，得.
故选：A
6. 在中,内角所对的边分别为,向量.若，则角C的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，由，，
得，
整理得，由余弦定理得，而，
所以.
故选：C
7. 设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
因为的中点坐标为，可得，
整理得，解得或，
不妨设，所以.
故选：B.
8. 已知函数在区间恰有6个零点，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数，
由，得或，
解得的正零点为或，
则函数从左到右的零点依次为：，
为了使得在区间恰有6个零点，只需，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）．设事件M表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”．下列说法正确的是（ ）
A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分
B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差
C. 乙机构测评分数的中位数为92.5
D. 事件互为对立事件
【答案】BD
【解析】对于A，甲机构测评分数的平均分，
乙机构测评分数的平均分，A错误；
对于B，甲机构测评分数的方差，
乙机构测评分数的方差，B正确；
对于C，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95，乙机构测评分数的中位数为93，C错误；
对于D，由甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，事件不可能同时发生，
但必有一个发生，因此事件互为对立事件，D正确.
故选：BD
10. 设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ）
A. B. 当时，
C. D.
【答案】BCD
【解析】A选项：因为，所以，所以A不正确；
B选项：因为，，则，所以，所以，所以B正确；
C选项：因为，所以，所以，所以C正确；
D选项：，当且仅当时，等号成立．所以D正确．
故选：BCD．
11. 在平面直角坐标系中，动点的轨迹为曲线C，且动点到两个定点的距离之积等于3．则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C关于y轴对称
B. 曲线C的方程为
C. 面积的最大值
D. 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于B，依题意，，整理得，
因此曲线C的方程为，B正确；
对于A，方程中的换成方程不变，因此曲线C关于轴对称，A正确；
对于C，显然，则，解得：，
令，则，即，
的面积，C错误；
对于D，，因此的取值范围为，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线的一个焦点是，则_______．
【答案】
【解析】双曲线方程为，依题意，，所以.
故答案为：
13. 若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】（满足即可）
【解析】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
14. 已知函数的定义域为，对于，恒有，且满足，则_______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
由，得，即，
又，由，得，解得，则，
于是，由对于，恒有，
得当时，，
因此，
而，即有，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在点处的切线与直线相互垂直．
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间和极值．
解：（1）因为，在点处的切线斜率为，
又在点处的切线与直线相互垂直，
所以，解得.
（2）由（1）得，，，
令，得，
令，得，
即的增区间为，减区间为．
又，
所以在处取得极小值，无极大值．
16. 某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试．
（1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数）
（2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望．
附：若随机变量X服从正态分布，则：，．
解：（1）由学生初试成绩服从正态分布，
其中，，得，
因此，
所以估计初试成绩不低于的人数为人.
（2）的可能取值为，，，，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望为.
17. 在三棱锥中，平面．分别为线段上点，且．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）由平面，平面，得，
由得为等腰直角三角形，即，
又，且面，面，
所以平面．
（2）在三棱锥中，取中点，连接，
由（1）知，，，
而，于是，，则
显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，则，
令，得．
由平面，则平面的法向量为，设平面与平面夹角为，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18. 如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设△OMN、的面积分别为、．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的取值范围.
解：（1）椭圆的上顶点坐标为0,1，
则抛物线的焦点为F0,1，故.
（2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点Mx1,y1、Nx2,y2，
联立可得，恒成立，
则，
.
（3）设直线、的斜率分别为、，其中，，
联立可得，解得，
点在第三象限，则，
点在第四象限，同理可得，且

，
当且仅当时，等号成立.
的取值范围为.
19. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
（1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；
（3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.
解：（1）因为，则，，
又，故，数列是“速增数列”.
（2），
当时，，
即，，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为.
（3），故，
即；
，
故，
即，
同理可得：，，，
故，
故，，得证.
机构名称
甲
乙
分值
90
98
90
92
95
93
95
92
91
94