广东省梅州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（解析版）

这是一份广东省梅州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，则，
所以.
故选：B.
2. 已知命题，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】由题意可知：为，.
故选：D.
3. 若，，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 既不充分也不必要D. 充分必要
【答案】C
【解析】由，得不出，
所以“”是“”的不充分条件，
又，得不出，
所以“”是“”的不必要条件，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：C.
4. 小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记其通过面试为事件A，
若其未通过面试，则在三分线外投篮没有命中，且在罚球点处投篮也没有命中，
则，
所以.
故选：C.
5. 展开式中的常数项为（ ）
A. 6B. 18C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知：展开式中的常数项为.故选：A.
6. （ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】B
【解析】由题意可得：
，
即.
故选：B.
7. 若制作一个容积为的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（ ）（）
A. 2B. C. D. 4
【答案】A
【解析】设容积为的无盖正四棱柱容器底面边长，则高为，
则容器的表面积为，
则，令，得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以当，取最小值，所以最小值为，
所以底面边长为，所用材料最省.
故选：A.
8. 已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”为事件A，
“从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”为事件B，
则，
所以.故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，根据正态曲线可知甲类水果的平均质量乙类水果的平均质量，A正确；
对于B，根据正态曲线可知，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，
所以，B错误；
对于C，D，根据正态曲线图像可知
所以，C错误，D正确；
故选：AD.
10. 某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则
附：．
A. 可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多
B. 用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65
C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关
D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关
【答案】AC
【解析】由题意可知：抽取的女生人数为，
抽取的男生人数为，
对于女生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；
对于男生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；
对于选项A：因为，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，
故A正确；
对于选项B：其热爱阅读的频率为，
用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B错误；
对于选项CD：根据题意可得列联表
零假设：学生是否热爱阅读与性别无关，
则，
根据根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C正确，D错误；
故选：AC.
11. 已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最大值为37
B. 的最小值为
C. 在处导数等于0
D. 当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4
【答案】BC
【解析】对于A：
，
当时，最大值为，故A错误；
对于B：，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为函数，当且仅当，取得最小值，所以在处导数等于0，故C正确；
对于D：设，所以点的轨迹为直线，
令，则的轨迹方程为，
又表示点与的距离的平方，
又，
，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值________．
【答案】0.3
【解析】由题意可得：，解得.
故答案为：0.3.
13. 写出在处的切线方程为的一个二次函数________．
【答案】（满足均可）.
【解析】设二次函数，则，
由题意可得：，例如取，则.
故答案为：（满足均可）.
14. 摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式________；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式________．

【答案】；
【解析】设标记点为，圆心为，作，如图所示：

旋转时间，则，则，
可得，
所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，的图象关于直线对称，且相邻两个零点的距离为．
（1）求ω和φ的值；
（2）若，，求的值．
（3）若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．
解：（1）因为相邻两个零点的距离为，所以周期为，所以，所以，
所以，函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
所以，又，所以；
（2）所认，，所以，
所以，因为，所以，
又，所以，
所以，
；
（3）因为，又，
则有，所以，
由，使得关于的不等式成立，
所以，实数的取值范围为．
16. 某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：
（1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元）
参考公式：．参考数据：．
解：（1）由表中数据求得：
，，
则
故关于的回归直线方程为.
（2）设每月的总利润，
因为抛物线的对称轴方程为，
所以该拖把月利润最大时，该商品单价为196元.
17. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围．
解：（1）若，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以函数有极小值，无极大值.
（2）因为，且，
若函数在区间上为单调函数，则有：
当函数在区间上为单调递增函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最小值1，可得；
当函数在区间上为单调递减函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最大值6，可得；
综上所述：或，
所以a的取值范围为.
18. 如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有两个易堵点，处出现堵车概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是．
（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；
（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；
（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？
解：（1）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，设堵车次数为，
由题意可知：，
所以其恰遇到一次堵车的概率.
（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，设堵车的事件分别为，
可知，
则，
可得，，
，，
所以其遇到堵车的概率.
（3）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，由（1）可知：，
所以平均拥堵时间为分钟；
若李明选择了主干道Ⅰ行驶，记堵车次数为，
由（2）可得：
，，，
则，
所以平均拥堵时间为分钟；
因为，所以选择了主干道Ⅱ行驶较好.
19. 设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．
（1）若集合，求集合P1的“耦合集”；
（2）集合，且，若集合存在“耦合集”．
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合“耦合集”的元素个数．
解：（1）由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10；
检验可知均满足条件③，所以，
检验可知：或也符合题意，
所以或或.
（2）（ⅰ）因为，，
由已知条件②得的可能元素为：，
由条件③可知，且，
可得，
同理可得，
所以对于任意，有；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：，
则，即，
同理可得：，则，
又因为的可能元素为：，
即，
假设还存在其他元素，
因为，可知，
由集合性质可知：或，
则或，
即或，假设不成立，
所以不存在其他元素，所以共5个元素.a
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
性别
热爱阅读
合计
是
否
女生
64
16
80
男生
50
50
100
合计
114
66
180
1
0
P
0.5
0.3
q
单价x/元
180
190
200
210
220
月销量y/个
57
52
42
32
27