四川省成都市温江区2024年中考二诊数学试卷（解析版）

这是一份四川省成都市温江区2024年中考二诊数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 2024的相反数是（ ）
A. B. C. 2024D.
【答案】D
【解析】2024的相反数是．
故选：D．
2. 原子钟（）是一种精密的计时仪器和频率标准，精度可以达到每2000万年才误差1秒．将数据2000万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】数据2000万用科学记数法表示为．
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故A不符合题意，
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C．
4. 如图，在 和 中，点 在同一直线上，，，请添加一个条件，使 ，这个条件可以是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，即：，
又∵，
∴，
添加，可根据得出，故C选项符合题意；
故选：C．
5. 菲尔兹奖（）是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，每次授予至名有卓越贡献的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：，则这组数据的众数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在数据中，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是，
故选：．
6. 如图，有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、“冰壶”四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、“冰壶”四张卡片分别用表示，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的结果有种，
∴抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的概率是，
故选：．
7. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有个人，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】每人出8元，还盈余3元，得到物品的价格为：；每人出7元，则还差4元，得到物品的价格为：，
∴可列方程为；
故选A．
8. 如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，y的值随着x的值增大而减小
C. 点A的坐标为
D.
【答案】D
【解析】抛物线开口向上，
，故A错误；
开口向上，对称轴是直线，
当时，的值随着的值增大而增大，故B错误．
，对称轴是直线，
，故C错误．
结合，，抛物线开口向上，
当时，．
故D正确．
故选：D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．
9. 因式分解：=_____．
【答案】
【解析】原式=(a+2b)(a-2b) ．
10. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
．
故答案为：．
11. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，若和的面积之比是_____．
【答案】
【解析】，
，
和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
与的面积比为：，
故答案：．
12. 分式方程的解是________________．
【答案】
【解析】，，
方程两边都乘，得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
13. 在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，交于点D，则的值为______．
【答案】
【解析】如图，过D点作于H点，

由题中作法得平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5个小题，共48分．
14.（1）计算：．
（2）解不等式组：．
解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
15. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动情况，对全校学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，对他们的劳动时间进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出m，n的值；
（2）该校共有900名学生，请你估计等级为C的学生人数；
（3）本次调查中，等级为D的4人中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
解：（1）抽样调查的人数为（人，
，
．
．
（2）（人）．
估计等级为的学生人数约360人；
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
16. 平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等．
如图，在侧面示意图中，，，可分别绕点，，转动，测得，，，，，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，
由题意得：，，，，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，，，
，
，
点到的距离约为．
17. 如图，是的直径，为上一点，点是的中点，连接交于点，延长至，使．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求和长．
（1）证明：连接，

∵是的直径，
∴，，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（）可知，，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得（不合，舍去）或，
∴．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）点在直线上，若，求点的坐标；
（3）我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．设是反比例函数图象上一点，是坐标轴上一点，当四边形是以两邻边相等且对角线互相垂直的“等邻边四边形”时，求两点的坐标．
解：（1）把代入得，，
∴，∴，
把代入得，，∴，
∴反比例函数表达式为，
由，解得或，∴；
（2）有两种情况：
点在线段上，如图，
∵，
∴点为线段的中点，
∴；
点在线段的延长线上，如图，
∵，
∴，
设，
则，
整理得，，
解得（不合，舍去）或，
∴；
综上，点的坐标为或；
（3）∵，∴，
当点在轴上时，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分，即点为的中点，
∴，
设直线的解析式为，把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
由，解得或（不合，舍去），
∴；
当点在轴上时，如图，
同理可得，，
设直线的解析式为，把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
由，解得或（不合，舍去），
∴；
综上，，或，．
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．
19. 已知，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】原式
，
，
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
20. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则_______．
【答案】
【解析】，是一元二次方程的两个实数根，
，，
∴．
故答案为：．
21. 如图，是的直径，与弦交于点，，、，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】连接、．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，．
故答案为：．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．若，则m的取值范围____________________．
【答案】
【解析】抛物线，
该抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，可知点，，从左至右分布，
，
，解得；
当时，，
，不合题意，
综上，的取值范围是．
故答案为：．
23. 如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为_____；当最大时，线段的长是_____．
【答案】
【解析】如图，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
在和中，，
，
，
，
，
点的运动轨迹是，
设圆心为，连接，，．
，，
垂直平分线段，
，，，，
，
，
当与相切时，的值最大，此时．
故答案为：，．
二、解答题：本大题共3个小题，共30分．
24. “低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台400元，乙型自行车进货价格为每台600元．该公司销售5台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利1350元，销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利850元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共25台，且资金不超过12000元，最少需要购买甲型自行车多少台？
解：（1）设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元，
由题意可得：，解得：，
一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为200元；
（2）设购买台甲型自行车，则乙型自行车购买台，
由题意可得：，
解得：，
最少需要购买15台甲型自行车．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为抛物线上异于点的一动点，直线与轴交于点，点关于直线的对称点为．直线与抛物线交于另一点，连接．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若直线的表达式为，试探究k是否为定值．若是，请求出k值；若不是，请说明理由；
（3）若为直角三角形，求点A的坐标．
解：（1）抛物线经过点，则，
将点的坐标代入，则，
则抛物线的表达式为：；
（2）为定值，理由：
设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，
解得：，则点，
则点，
由点、的坐标得，的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或，
则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
即；
（3）当为直角时，
过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，
由（2）知，，，
则，，，，
，，
，
，即，
解得：或，
即点的坐标为：或；
当为直角时，
即，
过点作轴的平行线，过点作的垂线，垂足分别为点，如图，
∵，，，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
则点；
当为直角时，
即，
同理，求得，
则点，
综上，点的坐标为或或或．
26. 如图，在矩形中，（n为正整数），点E是边上一动点，P为中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转，与矩形的边交于点F．
【尝试初探】
（1）在点E的运动过程中，当点F在边上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明；
【深入探究】
（2）若，在点E的运动过程中，当点F在边上时，求的最小值；
【拓展运用】
（3）若，设的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）．
解：（1）结论：，
理由：如图1，过点作于，于，
则，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，，，
由旋转得：，
，
即，
，
，
，
为中点，
，
∵，，
，，
，，，，
，
，
，
；
（2）当时，，
设，，，过点作于，如图2，
则，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在边上，
，
即，
，
，
的最小值为；
（3），
，，
在中，，
为中点，
，
当点在点处时，如图3，
，，
，
，即，
，
的中点为，
；
当点运动到点处时，如图4，
是斜边的中点，
，
，
，
，
，即，
，
的中点为，
，
；
当点在边上时，如图5，过点作于，
则，，
，
点运动的路程为．等级
时长（单位：分钟）
人数
10
10
4
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）