江苏省苏锡常镇四市2025届高三下学期教学情况调研（二）数学试卷（解析版）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故，，故，
所以，
又，故.
故选：A.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选：B.
3. 诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）
A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 标准差
【答案】C
【解析】根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，
得到6个有效评分，
6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，
而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化，
因此一定不变的数字特征是中位数.
故选：C.
4. 已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（ ）
A. 直线过圆心B. 直线与圆相交，但不过圆心
C. 直线与圆相切D. 直线与圆无公共点
【答案】B
【解析】直线：即，斜率为，倾斜角为，
将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为，
所以直线的方程为，即，
圆：的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
直线与圆相交但不过圆心.
故选：B.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由与联立，结合可解得：
，，，
再由二倍角公式可得，
故选：B.
6. 已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，，，，，A错；
，B错；
，C错；
一般情况，时，，，，
，此时；
时，，
左边，
右边左边，D对；
故选：D．
7. 已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为是奇函数，则，
令，可得，可得，
在中令得，所以，
在中令得，
所以，
所以.
故选：D.
8. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：
，
如图，，
而，
，，即，
由于到距离，则到距离，
设正方形外接圆圆心，则
设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径
，，故外接球表面积为，
故选;A.
方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图：
设圆的半径为，由余弦定理可得，
故，故，
所以外接球的半径为，所以球的表面积为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 的展开式中，则（ ）
A. 的系数为B. 第3项与第4项的二项式系数相等
C. 所有项的二项式系数和为32D. 所有项的系数和为32
【答案】ABC
【解析】A选项，展开式第项，
时，，A对；
B选项，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相同，B对.
C选项，所有项二项式系数和为，C对.
D选项，时，，即所有项的系数和为，D错；
故选：ABC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的最小正周期为
C. 的最小值为
D. 在上有四个不同的实数解
【答案】BD
【解析】方法一：由，
则，，则，
所以不可能关于对称，A错误；
因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
则的最小正周期为，B正确；
当时，，当时，；
当时，，作出函数大致图象，如图，
则，C错误，
在有4个根，D正确.

方法二：由，
作出和的图像，取位于上方的部分即可：

由图可知，AC错误，B正确，
对于D，计算知与在内的交点坐标为，
而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点，
所以在上有四个不同的实数解，故D正确.
故选：BD.
11. 已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（ ）
A. 关于轴对称
B. 到点的距离不小于到直线的距离
C. 存在，使得
D. 当取得最小值时，直线的斜率为
【答案】ACD
【解析】A，若点满足方程，则点也满足方程，
则关于轴对称，故A正确；
B，设，则，
则到点的距离，到直线的距离，
则，
当时，，即，所以B错误；
C，设，则，
因，则，
则曲线在点处切线斜率为，
所以直线为，直线为，
所以，，
可得，
，
则
因，故存在，使得时，故C正确；
D，由C选项可知，，
等号成立时，，即，
此时的斜率为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量，，若，则实数的值为______.
【答案】
【解析】，，
，.
故答案为：
13. 在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为______.
【答案】
【解析】由对称性知、关于轴对称，为正三角形，
则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点，
联立与得或0（舍去），当时，，
故其中一个交点为，
设双曲线方程为，故，解得，
在双曲线上，，，
故离心率为；
故答案为：
14. 已知随机变量，相互独立，且，，则______；若，则______.
【答案】①. ②.
【解析】，，
.
并利用，
记原式，
倒序相加.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示.
（1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；
（2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率.
附：
解：（1）零假设：产品的质量与采用的工艺无关，
根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关.
（2）记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙.
.
16. 如图，在三棱柱中，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：，，，
由余弦定理得，
，
，，
又，，平面，
平面；
（2）解：平面，平面，
且，
二面角平面角为，而，
，等边三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
由，，，，
设平面的一个法向量，
，
解得，令，则，故，
设与平面所成角为，
.
17. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点.
（1）求的标准方程；
（2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值.
解：（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，
椭圆：过点，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设直线方程为，，，
由消去得，
，，
，，
而，，则，解得，
所以.
18. 已知函数，，.
（1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值；
（2）讨论函数在区间上的单调性；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
解：（1）由已知得，，在点处的切线方程为.
设与切于，，，
则过该点的切线方程为：，
整理得，由于该切线与重合，
则.
（1）由，求导得，
①当时，，，在上单调递增；
②当时，令
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增
③当时，令
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减
（3）由题意得，即对恒成立.
令，，
令，，
因为，，
若，则在处的切线必然是上升的，
又因为，所以当且靠近的函数值满足，
此时就有，
从而可推导在且靠近的附近是递增的，
又因为，
所以在且靠近的附近必有
则必然不满足对恒有，
所以要满足对恒有，
首先必需满足在且靠近的附近，
所以满足，
从而可得参数满足的必要条件是；
下面再证充分性，当，时，则，即有，
又构造，，可得，
所以在区间上单调递增，即，
则可知，则，
恒成立，符合题意，
综上：的取值范围为.
19. 若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”.
（1）已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，；
（2）若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由；
（3）若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”.
（1）证明：法一：
；
法二：
为“均值递减数列”，关于单调递减，
即关于单调递减，，
；
（2）解：法一：
设的前项和为，
令，则，判别式小于零，所以递减，
因此是“均值递减数列”；
法二：
易知时，单调递减；时，
单调递增且时，当时，单调递减且，
且计算易得，
设前项和为，归纳假设，，时，
，即，即，，
，即，，时，成立.
而成立，对且恒成立，
也有，
即为“均值递减数列”；
（3）证明：法一：
设依题意，均为递减数列，
而，
相乘展开得，
由于，，则由补充不等式有，
所以
，
求和得，由（1）的结论知，，
所以，
于是再由（1）的结论即可知是“均值递减数列”；
法二：
设的前项和为，的前项和为，
和均为均值递减数列，
由（1）知对恒成立，
由①②知，，记的前项和为，
证对，，时不等式显然成立，
设当，时，成立，
即，，
，
，
，即时，不等式也成立，
对恒成立，
也为“均值递减数列”.工艺甲
工艺乙
合计
合格
60
40
100
不合格
20
30
50
合计
80
70
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828