江苏省苏锡常镇四市2023-2024学年高三下学期教学情况调研（二）数学试卷

这是一份江苏省苏锡常镇四市2023-2024学年高三下学期教学情况调研（二）数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．9B．C．4D．6
5．羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛．规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判．每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判．如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知非零向量，，若，则（ ）
A．-1B．C．D．
7．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．正三棱锥和正三棱锥共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（ ）
A．B．C．-1D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．若2为的周期，则为奇函数
B．若为奇函数，则2为的周期
C．若4为的周期，则为偶函数
D．若为偶函数，则4为的周期
11．在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（ ）
A．，B．为定值
C．的最小值50D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为________．
13．设钝角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________．
14．如果函数在区间上为增函数，则记为，函数在区间上为减函数，则记为．如果，则实数m的最小值为________；如果函数，且，，则实数________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
如图，直三棱柱的体积为1，，，．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
16．（本小题15分）
某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：
若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．
（1）请完成以下2×2列联表；问：能否有90%的把握认为爱好阅读与性别有关？
附：，．
（2）班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数X的概率分布和数学期望．
17．（本小题15分）
已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．
18．（本小题17分）
已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，．点，M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，．
（1）求C的方程；
（2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；
（3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，存在最小值，试求出这个最小值．
19．（本小题17分）
如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为．规定：．
…………………
（1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；
（2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
（3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为．是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查交集运算，属于基础题．
化简A，B，由交集运算即可求解．
【解答】
解：，，
则
2．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，属于基础题．
利用双曲线方程，代入点的坐标，求解a，然后求解双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：依题意可得，且，解得，
则C的渐近线方程为．
故选：B．
3．【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与充分必要性的判断，考查推理能力，属于基础题．
利用充分条件、必要条件的定义即可求解．
【解答】解：充分性：
若，，a，，则，是实数，所以“，均为纯虚数”能得到“为实数”；
必要性：
取，，所以，但此时，均不为纯虚数，所以“为实数”不能得到“，均为纯虚数”，
所以“，均为纯虚数”是“为实数”的充分不必要条件，
故选：A．
4．【答案】B
【解析】【分析】
由已知结合正态分布曲线的对称性求得a，代入，再由导数求最值．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：，可得正态分布曲线的对称轴为，
又，∴，即．
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的最小值为．
故选：B．
5．【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查古典概型及其计算，属于基础题．
求第二局甲败的概率即可得．
【解答】
解：第二局甲与乙或丙比赛，且甲败，则第三局甲为裁判，
故第二局甲败的概率为．
6．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线的坐标表示，考查降幂公式、同角三角函数基本关系以及诱导公式，属于中档题．
由计算可得，利用同角三角函数基本关系化简并结合非零向量，即可求解．
【解答】
解：因为，，，
所以，
又，所以或，
又当时，，，
此时为零向量，不满足题意，
故．
故选：D．
7．【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，属于基础题．
由已知，找出a，b，c的关系即可求出离心率．
【解答】
解：由已知设椭圆E的标准方程为：，则直线l的方程为：，
即，因为原点O到直线l的距离等于E的短轴长，所以，即，
所以由，得：，
因此，椭圆E的离心率．
故选A．
8．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面夹角、球的切接，属于较难题．
由条件得出球心O的位置，进而得出，作出角，得到，同理得，利用两角和的正切公式得出，结合基本不等式即得．
【解答】
解：由条件，PQ为外接球的直径，设PQ中点为O，则O为外接球球心，
设PQ与平面ABC的交点为D，则D为等边△ABC的中心，设，，不妨令，
外接球半径为，设等边△ABC边长为a，
由得，化简得，
连接CD，延长CD交AB于E，连接PE，则，
，
同理，，
，等号当且仅当时取得，
因为为钝角，当最大时，最大，
故当最大时，．
9．【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题．
逐项判断真假即可求得答案．
【解答】
解：若，，，则与相交或与平行，故A错误；
∵，，∴，又∵，∴，故B正确；
若，，则，又∵，∴，故C正确；
由，，可得或，
若，可过n作平面，使得，则，
由，可得，因为，
则由面面垂直的判定定理可得；同理，若，，则；故D正确，
故选：BCD．
10．【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查函数的对称性，奇偶性，周期性，属于中档题．
由，结合各选项，逐项判断即可．
【解答】
解：∵，
对于选项A，若周期为2，则，而，所以，
进而可得，说明，为奇函数，故A正确；
对于B，为奇函数，又，即，，即，故函数为以2为周期的周期函数，故B正确；
对于C，若周期为4，则，无法说明为偶函数，选项C不正确；
对于D，，，即，，故4为的周期，故D正确．
11．【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，考查正弦型函数的值域，考查辅助角公式与诱导公式，属于较难题．
以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，由，可得，从而可判断A；分别取与，求的值可判断B；设，，，可得，，根据平面向量的坐标运算及辅助角公式可判断CD．
【解答】
解：如图建立平面直角坐标系，
则，，，，
因为，，
所以，．
因为，所以，
即．
对于A，因为点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），
所以，．
所以．
因为，所以，
所以，解得．
同理可得，解得，故A正确；
对于B，由，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时，
故不为定值，故B错误；
对于C，，，
故．
由，可得，
设，，，
所以，，
所以
，
其中，故．
故当时，，
故的最小值50，故C正确；
对于D，，
故
，
其中，，，．
因为，所以．
因为，，
所以，
所以，故D错误．
12．【答案】或
【解析】【分析】
本题考查点到直线的距离，直线与圆的弦长问题，属于中档题．
分为当直线l的斜率存在时和直线l的斜率不存在时，利用圆中的几何关系求出直线方程即可．
【解答】
解：由题意得圆心，半径，，故点M在圆O外，
设点O到直线l的距离为d，由得，即，
即，解得，
当直线l的斜率不存在时，即，此时，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，则，
解得，，故直线l的方程为或，
即或，
综上所述，直线l的方程为或，
故答案为：或．
13．【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了余弦定理，同角平方关系在求解三角形中的应用，属于中档题．
由已知结合余弦定理及同角三角函数的平方关系即可求解b．
【解答】
解：因为，，
所以，
由余弦定理得，，
由题意知A为锐角，且，
整理得，，
所以或，
当时，，，可知角C为最大角，此时，C为锐角，即△ABC为锐角三角形，与已知矛盾，当时，，符合题意，
故．
故答案为：．
14．【答案】4；1
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，属于中档题．
第一空：由对勾函数性质即可得解；第二空由取极值的必要条件即可得解．
【解答】
解；对于第一空：由题意，得到在上单调递增，
首先有，（若，则当时，无意义），
由对勾函数性质得当时，的单调递增区间为，
所以，即实数m的最小值为4；
对于第二空：显然可导，，
由题意在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极小值点，
所以，解得或2，经检验时不满足题意，满足题意．
故答案为：4，1．
15．【答案】证明：（1）因为直三棱柱的体积为1，其中，，，
所以底面△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，
由，得：，
所以侧面为正方形，，
因为直三棱柱中，侧面，侧面，所以，而，平面，并且，
所以平面，又平面，所以．
解：（2）由（1）知，直线AB，BC，两两垂直，于是以B为原点，直线BA，BC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
由（1）知：平面，是平面的法向量，
设是平面的一个法向量，则由，得，
所以可取，
设求二面角的大小为，由图可知，
所以．
【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求二倍角，属于中档题．
（1）在已知条件下可通过证明平面，来证明；
（2）以B为原点，直线BA，BC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量可解．
16．【答案】（1）解：
故没有90%的把握认为爱好阅读与性别有关．
（2）该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，总共6人，男生2人，女生4人．
男生人数X可能取值为0，1，2
，，，
因此X的分布列为：
【解析】本题考查独立性检验和超几何分布列期望的计算，是中档题．
（1）根据题目所给数据补全列联表，计算得到卡方的值与参考数据比较即可解答；
（2）抽到男生人数X服从超几何分布，根据概率计算公式计算各个数据的概率值从而得到分布列，利用期望计算公式计算即可．
17．【答案】解：（1）因为函数的定义域为，当时，．
要证，只需证：当时，．
令，则，
则在单调递增，
所以，即．即；
（2），
令，
则．
所以在单调递增，，①当时，，．则在为增函数，在上无极值点，矛盾．
（②当时，，
由（1）知，，
，则
则使．
当时，，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增．
因此，在区间上恰有一个极值点，
所以a的取值范围为．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，利用导数证明不等式，属于拔高题．
（1）要证，只需证：当时，．令，对其求导，得到单调性，得到，即．
（2）对求导变形得到，令，判断其符号，得到单调性，再对a进行分类讨论，分析存在隐零点使，可得函数的单调性，由此得到答案．
18．【答案】解：（1），设，则，
所以得：，解得或（舍），
所以抛物线C的方程为①；
（2）设直线MN：②，，，
联立①②，得．
所以③，，④．
，，
则，
，
因为，即：，
即：，
则或，能满足③式．
则MN：，或MN：，
所以定点Q的坐标为或；
（3）如MN过点，当时，，但此时M，N重合，
则无最小值，所以MN只能过点，此时有最小值．
由（2），在④中，令得：，，
，
令，
则，，
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
所以当时，有最小值，有最小值．
．
【解析】本题主要考查求抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系及其综合应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难题．
（1）设，由题意可得，列出方程组求解；
（2）设直线MN：，联立方程组得，设，，由韦达定理得，，
，，可得，，由得，进而得直线
MN：，或MN：，即可得Q坐标；
（3）先判断MN只能过点，此时有最小值，由（2）知令得：，，则，令，求导，根据单调性求出最小值即可．
19．【答案】解：（1）第1行最后两数，第2行的最后两数，
第行的第m个数为，第个数为，
猜测：．
因为
；
又因为
即：．
所以每一行的最后两个数相等；
（2）第一行的所有数之和为，
第二行的所有数之和为，
时，第m行的所有数之和为
，
∴每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数．（3）当，时，，，当时，此时显然不成立；
猜测：存在正整数k，使得恒成立，k的最大值为3．
证明：当时，恒成立．
由（1）知，，则，
因为
，
又，当时，，
当时，，所以，
综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得恒成立．
【解析】本题考查组合数公式，考查数列的新定义问题，考查数列与不等式，考查学生运算求解能力，属于较难题．
（1）猜测：，利用组合数公式计算即可得证；
（2）由组合数的性质知，则第行的个数之和为：
，则每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
（3），时，此时显然不成立；猜测：存在正整数k，使得恒成立，k的最大值为3；
证明：当时，恒成立，由（1）知，，则，所以，则，，可得，即可得证．借阅次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
2
5
3
5
5
1
2
2
25
女生人数
4
4
5
5
3
2
1
1
25
合计人数
6
9
8
10
8
3
3
3
50
性别
阅读
合计
一般
爱好
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
性别
阅读
合计
一般
爱好
男生
10
15
25
女生
13
12
25
合计
23
27
50
X
0
1
2
P