2022-2023学年湖北省武汉市新洲区部分学校高二上学期期末联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省武汉市新洲区部分学校高二上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6灌这种饮料装一箱，每箱中都放置2灌能中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2灌，能中奖的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】间接法，中奖的概率两灌都不中奖的概率即可计算.

【详解】6灌饮料机抽出2灌的种类有,

两灌都不中奖的种类有，

两灌都不中奖的概率

故中奖的概率为，

故选：D

2．在三棱锥中，M是的中点，P是的重心．设，，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】取的中点D，连接，，，根据向量的加法可得，再由向量的线性运算可得选项.

【详解】解：如图，取的中点D，连接，，.在中，

.

故选：C.

3．已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据斜率和倾斜角的对应关系，结合充分性和必要性的定义求解即可.

【详解】由直线的斜率可得，解得，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

4．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（    ）

A．4044 B．4046 C．4048 D．4050

【答案】B

【分析】结合题意先计算的公差为2，写出的通项后即可求解.

【详解】设数列的公差为，

由题意可知，，

，

故，故，

则，

故选：B.

5．已知向量，且与互相平行，则的值（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，可直接求出结果.

【详解】∵向量，，

∴，，

∵与互相平行，

∴，解得．

故选：C．

6．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上运动，则面积的最大值为（    ）

A．8 B． C．14 D．

【答案】C

【分析】根据圆上的点到直线距离的最大值的求解方法即可求最大面积.

【详解】令解得，所以,

令解得，所以,所以,

又因为圆心到直线的距离

所以点到直线的最大距离为，

所以面积的最大值为，

故选:C.

7．如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18，则此时欲经过桥洞的一艘宽12的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，抽象出抛物线的几何模型，根据抛物线的通经性质求得抛物线方程，即可求当宽为时的纵坐标即可求解.

【详解】根据题意画出抛物线如下图所示：

设宽度为18时与抛物线的交点分别为，当宽度为12时与抛物线的交点分别为，

当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18，

所以由抛物线的性质可知，则抛物线方程为，则，

所以当宽度为12时，设，代入抛物线方程得，解得，

所以直线与直线的距离，

即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过，

故选：B

8．如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且∥截面，则线段长度的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件及三角形的中位线，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.

【详解】取的中点为,取的中点为,取的中点为，如图所示

因为是的中点，是的中点，

所以,

因为平面,平面,

所以平面,

同理可得，平面,

又,平面,

所以平面平面.

又平面,线段扫过的图形是,

由,得,,

,,

所以,即为直角，

所以线段长度的取值范围是：,即.

故选：A.

二、多选题

9．等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．当时，最小

D．时，的最小值为8

【答案】AD

【分析】根据数列的单调性定义及等差数列的定义，利用等差数列的通项公式及前项和公式，结合二次函数的性质及一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，首项为，则

因为数列是递增数列，

所以，

又因为是等差数列，

所以，即，故A正确；

由，得，解得，

由，所以，故B错误；

由，得，

由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，

当时，当或时，取得最小，故C错误；

令，解得或，即时，的最小值为8，故D正确；

故选：AD.

10．已知圆与直线，则下列说法中正确的是（    ）

A．若直线与圆相交，则

B．若直线与圆相切，则切线长为4

C．当直线与圆的相交弦最长时，

D．当圆心到直线的距离取最大值时，

【答案】ACD

【分析】A.由圆心到直线距离小于半径，列出不等式即可求得；B.先求出两切线交点到圆心的距离，然后利用勾股定理，即可求得；C.当直线与圆相交的弦最长时，此时直线经过圆心，代入圆心到直线方程，即可求得；D.当直线定点与圆心相连的直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，由两直线斜率之积为，列出等式即可求得.

【详解】，即，是以为圆心，以 1为半径的圆.

A.若直线与圆相交，则圆心到直线距离小于半径，即，解得，故正确；

B.因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得，所以两切线方程为，则它们的交点到圆心的距离，所以切线长，故错误；

C. 当直线与圆的相交的弦最长时，直线经过圆心，把圆心代入，得，故正确；

D. 因为直线恒过定点，圆心为，当圆心到直线的距离取最大值时，直线与直线垂直，此时，则直线的斜率为，所以，得，故正确.

故选：ACD

11．已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．⊥平面

C．在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离为3

D．圆锥内切球的表面积为

【答案】ABD

【分析】A选项，证明出，得到平行关系；B选项，作出辅助线，得到BM⊥AM，AM⊥BC，从而证明出线面垂直；C选项，将侧面展开，设中点为Q，连接AQ，则为点A到中点的最短距离，求出，假设，由余弦定理求出点A到中点的最短距离为3，故C错误；D选项，画出图形，找到内切球球心，求出半径，得到内切球表面积.

【详解】因为是底面圆的内接正三角形，为底面圆的直径，

所以，，又，

所以，故，A正确；

因为为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，

所以MO⊥平面ABC，

因为平面ABC，所以MO⊥BC，

又AO⊥BC，，平面MOA，

所以BC⊥平面AMO，

因为平面AMO，

所以AM⊥BC，

因为，所以，

由勾股定理得：，则，

故，同理可得：，

因为，所以BM⊥AM，

因为平面MBC，且，

所以⊥平面，B正确；

将侧面展开，如下：

设中点为Q，连接AQ，则为点A到中点的最短距离，

其中，故底面周长为，

故，则，

若，由，

由余弦定理得：，

因为，所以在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离不为3，C错误；

由对称性可知，圆锥内切球球心在OP上，作出图形，如下：

设内切球球心为T，设内切球半径为，

TU=R，，则，

其中，故，

在Rt△PUT中，由勾股定理得：，

即，

解得：，故圆锥内切球的表面积为，D正确.

故选：ABD.

【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．

12．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，的中点为，直线分别与直线相交于两点.则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的最小值为8

C．到直线距离的最小值为6

D．与的面积之比不为定值

【答案】AC

【分析】对A：设直线的方程为:，与抛物线联立后由韦达定理求得，均为定值；

对B：表示出的坐标，用距离公式计算，用基本不等式求的最小值；

对C：用的纵坐标表示出到直线距离并用基本不等式求最小值；

对D：分别求出与的面积，验证比值是否为定值.

【详解】

抛物线的方程，所以焦点，

由抛物线的焦点在轴可得，直线的斜率一定存在，设直线的方程为:，

联立，整理可得:，所以，，故A正确；

对B:由题意可得直线的方程分别为:，，与的交点分别为,

，

所以

当且仅当即时取等号，

所以的最小值为100，故B错误；

对C:的中点到直线的距离，

当且仅当 时等号成立，故C正确；

对D:因为,

所以;

到直线的距离，弦长，

所以，

所以，

所以与的面积之比为定值，故D错误.

故选:AC

【点睛】关键点点睛：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则，均为定值，可以将一些量表达成，，进一步可以结合基本不等式求最小值或最大值.

三、填空题

13．从不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方片”，且，记事件“抽到黑花色”，则______.

【答案】##

【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可.

【详解】记事件“抽到红花色”

因为，且不会同时发生，所以是互斥事件，

则，

又因为互斥，且是必然事件，所以互为对立事件，

所以，

故答案为：

14．根据数列的前4项“，写出数列的一个通项公式______.

【答案】（或，或分段函数，满足条件均可）

【分析】由前4项的规律，即可写出数列的一个通项公式.

【详解】

故答案为：.

四、双空题

15．在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为______.；当焦点在轴吋，双曲线的渐近线为______.

【答案】         

【分析】根据椭圆和双曲线定义，结合双曲线实轴和椭圆长轴的定义、椭圆离心率公式、双曲线渐近线方程进行求解即可.

【详解】椭圆和双曲线的对称性相同，不妨设两个曲线的焦点都在轴，设两个曲线标准方程分别为：，，

设两个曲线的焦点为，设为两曲线在第一象限的交点，

设，由椭圆和双曲线的定义可得：，

因为两曲线的交点与两焦点共圆，

所以有，于是有，把的结果代入中，得

，设椭圆的离心率为，

因为双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，

所以有，代入中，得，所以椭圆的离心率为；

，代入中，得，

所以双曲线的渐近线为，

故答案为：；

【点睛】关键点睛：根据椭圆和双曲线的定义是解题的关键.

五、填空题

16．棱长为2的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最大时，三棱锥外接球的体积为______.

【答案】

【分析】取为的中点，为的中点，连接，证明平面平面，从而可得点在线段上，再说明直线与平面所成角最大时，点的位置，再利用坐标法求出三棱锥外接球的半径，结合球的体积公式即可得解.

【详解】解：取为的中点，为的中点，连接，

则且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面，

因为且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又为的中点，为的中点，所以，

所以，

又平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以平面平面，

所以点在线段上，

因为垂直平面，

所以即为直线与平面所成角的平面角，

由，则当最小时，直线与平面所成角最大，

此时为的中点，

如图以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

设三棱锥外接球球心的坐标为，

则，解得，

所以三棱锥外接球的半径，

所以三棱锥外接球的体积为.

故答案为：.

六、解答题

17．同济大学的入学面试中有4道难度相当的题目，王宁答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么

(1)求王宁第3次答题通过面试的概率；

(2)求王宁最终通过面试的概率．

【答案】(1)0.096

(2)0.9744

【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解即可；

（2）先求出王宁未通过面试的概率，再利用对立事件概率的求法求解即可．

【详解】（1）因为，所以，

于是王宁第三次通过面试的概率为；

（2）王宁未通过面试的概率为，

所以王宁最终通过面试的概率为．

18．已知圆经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为6.

(1)求圆的标准方程；

(2)若过点的直线与圆相切于点，求方程及四边形的面积.

【答案】(1)

(2)直线方程为，面积

【分析】（1）设出圆的一般式方程，根据在两坐标轴上的四个截距之和是6，以及韦达定理和圆过A，B坐标，列出方程组即可求解；

（2）设切线方程为，由直线与圆相切列出方程求出即可得切线方程；求出，根据四边形的面积求得面积.

【详解】（1）设圆与轴的交点为，与轴的交点为，

设圆，且

令，得，则，

令，得，则，

圆在两坐标轴上的四个截距之和是6，，

圆过两点，

将代入方程得，即，

解得：，

故得圆，

圆的标准方程为.

（2）由（1）得圆的圆心为，半径，

过作圆的切线，不妨设切线方程为，即，

则，整理得，解得，

故切线方程为.

又，

则四边形的面积.

19．已知等差数列的前项和为，若，公差.

(1)求的最大值及取得最大值时的值；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)当或时，取得最大值，最大值为30；

(2).

【分析】（1）由,可得，然后结合二次函数的性质，即可得到本题答案；

（2）分和两种情况，分别求出前项和.

【详解】（1）,且,

当或时取得最大值,最大值为30.

（2）,

当时,,是首项为10,公差为的等差数列，

则；

当时,,

即.

综上,

20．世界人工智能大会是一场领域的国际盛会，集聚上千位来自国内外的“最强大脑”，展开了近百场高端论坛头脑风暴.某高校学生受大会展示项目的启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，两个信号源相距10米，是线段的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的位置始终满足：两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到点的信号晩秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠与点间的距离为米.

(1)以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求时刻时机器鼠所在位置的坐标.

(2)游戏设定：机器鼠在距离直线不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？

【答案】(1)

(2)有

【分析】（1）由机器鼠接收到A点的信号比接收到点的信号晩，可得机器鼠的运动轨迹方程，结合机器鼠与点间的距离为米，可得机器鼠此时的坐标；

（2）求出机器鼠的运动轨迹方程到l的最短距离，比较其与2米的大小即可.

【详解】（1）设机器鼠的位置为点，由题意得，由题意可得即，

可得的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，

设其方程为，则，所以，

则的轨迹方程为.

又在时刻时，，则.可得，所以机器鼠所在位置的坐标为.

（2）由题意可知直线，设直线的平行线的方程为，由可得：，

，令，解得，

当时，为双曲线的切线，设切点横坐标为，所以，

结合韦达定理有，所以，所以.

此时，与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离最近的点，此时与的距离为，即机器鼠与最小的距离为，

故如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有“被抓”的风险.

21．如图，在等腰直角中，和都垂直于平面，且.为线段上一点，设.

(1)当为何值时，平面；

(2)当二面角的余弦值为时，求四棱锥的体积.

【答案】(1)

(2)18

【分析】（1）作出辅助线，证明出为平行四边形，得到，从而证明出线面平行；

（2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量列出方程，求出，从而得到四棱锥的体积.

【详解】（1）当时，为上靠近点的三等分点，取上靠近点的三等分点，

连接，则，且，

又因为面面，

所以，

又因为,

所以，

于是且，所以四边形为平行四边形，

所以，又平面平面，

所以平面，

故当时，平面.

（2）如图，以点为原点，（其中垂直于平面）为轴，

所在直线为轴和轴建立空间直角坐标系，

则，设，，

故，解得：，

由可得：，

设平面的法向量为，

则，

令，则，，

故，

取平面的法向量为，

当二面角的余弦值为时，

，

解得：，

此时.

22．双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被双曲线截得的弦长为.

(1)求双曲线的方程；

(2)设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是，2

【分析】（1）由离心率为，得双曲线的方程可设为，由圆在点处的切线被双曲线截得的弦长为，得点在双曲线上，代入方程可得答案.

（2）将切线方程与双曲线方程联立，由韦达定理可证明，后利用射影定理可得为定值.

【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由双曲线的离心率为知，，

双曲线的方程可设为.

易求得，又圆在点A处的切线被双曲线截得的弦长为

点在双曲线上，，解得，

双曲线的方程为.

（2）当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，切线方程为，

由（1）知：.

则，.当时，同理可得.

当过点且与圆相切的切线斜率存在时，设切线的方程为，得.即.

联立直线和双曲线的方程得，消去y得：

，由题

由韦达定理，.

因，

则

，得.

综上所述，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点，都有.

则在Rt中，由射影定理，有，则为定值2.

【点睛】关键点点睛：本题为直线与双曲线综合题，难度较大.

（1）问较为基础，（2）问直接表示较为困难，故先利用韦达定理说明，后利用几何知识说明为定值.