2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题06数列(九大题型)(原卷版+解析)特训

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 2021-2024年高考+春考真题1
\l "_Tc22731" 题型02 定义法求解数列 2
\l "_Tc394" 题型03 无穷等比数列及其应用3
\l "_Tc1766" 题型04 分段数列3
\l "_Tc8506" 题型05 取值范围、最值问题4
\l "_Tc6010" 题型06 数列中的个数、项数问题4
\l "_Tc22452" 题型07 数列的实际应用，其他应用5
\l "_Tc5641" 题型08 列举分析、综合分析5
\l "_Tc22452" 题型09 选择压轴题6
【解题规律·提分快招】
题型01 2021-2024年高考+春考真题
【典例1-1】．（2024•上海）无穷等比数列{an}满足首项a1＞0，q＞1，记In＝{x﹣y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an+1]}，若对任意正整数n，集合In是闭区间，则q的取值范围是 ．
【典例1-2】．（2024•上海）数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为 ．
【变式1-1】．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝ ．
【变式1-2】．（2023•上海）已知无穷数列{an}的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|Sk|＞|Sk+1|，则下列各项中可能成立的是（ ）
A．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等差数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列
B．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列
C．a1，a2，a3，⋯，a2022为等差数列，a2022，a2023，⋯，an，⋯为等比数列
D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，an，⋯为等差数列
【变式1-3】．（2022•上海）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（ ）
A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列
B．若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列
C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021
D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021
【变式1-4】．（2022•上海）已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5＝0，则Si（i＝1，2，…，100）中不同的数值有 个．
【变式1-5】．（2021•上海）已知{an}为无穷等比数列，a1＝3，an的各项和为9，bn＝a2n，则数列{bn}的各项和为 ．
【变式1-6】．（2021•上海）在无穷等比数列{an}中，（a1﹣an）＝4，则a2的取值范围是 ．
题型02 定义法求解数列
【典例2-1】．（24-25高三上·上海·期中）设等比数列满足，，则 .
【典例2-2】．（2024·上海静安·一模）设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为 .
【变式2-1】．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【变式2-2】．（24-25高三上·上海·期中）设等差数列的公差不为0，其前项和为．若，则 ．
【变式2-3】．（24-25高二上·上海·阶段练习）为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 .
【变式2-4】．（23-24高三上·上海青浦·期中）已知数列是等差数列，，则 .
题型03 无穷等比数列及其应用
【典例3-1】．（23-24高三上·上海虹口·期末）设等比数列的前n项和为，若，，则 ．
【典例3-2】．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知无穷等比数列，，，则公比 ．
【变式3-1】．（20-21高二上·上海宝山·阶段练习）已知无穷等比数列，公比满足，，求实数的取值范围
【变式3-2】．（22-23高二下·上海宝山·期末）如图，记棱长为1的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，以各面的中心为顶点的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，…，以此类推得到一系列的多面体，设的棱长为，则 .

【变式3-3】．（2023·上海嘉定·一模）数列满足，且，为的前项和，求
题型04 分段数列
【典例4-1】．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列满足，，则的前10项和 .
【变式4-1】．（24-25高三上·上海·期中）数列满足：为正整数，，若，则 .
【变式4-2】．（2023·上海浦东新·三模）已知数列（是正整数）的递推公式为若存在正整数，使得，则的最大值是 ．
题型05 取值范围、最值问题
【典例5-1】．（2023·上海闵行·一模）已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为 ．
【典例5-2】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 .
【变式5-1】．（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 .
【变式5-2】．（2024·上海嘉定·一模）已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为 .
【变式5-3】．（21-22高三上·上海浦东新·期中）设其中成公比为的等比数列，成公差为的等差数列，则的最小值是 .
【变式5-4】．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）已知数列满足：对任意，都有，， 设数列的前项和为，若，则的最大值为 ．
题型06 数列中的个数、项数问题
【典例6-1】．（2024·上海奉贤·三模）若数列满足对任意整数有成立，则在该数列中小于100的项一共有 项．
【典例6-2】．（24-25高三·上海·课堂例题）从中选3个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有 个．
【变式6-1】．（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个．
【变式6-2】．（2024·上海·模拟预测）已知无穷数列的前项和为，不等式对任意不等于2的正整数恒成立，且，那么这样的数列有 个.
【变式6-3】．（2022·上海·模拟预测）若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2021，则这个数列至少有 项.
【变式6-4】．（23-24高三上·上海青浦·开学考试）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为、，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程（）中，有实数解的方程至少有 个
【变式6-5】．（2024·上海·三模）已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ．
题型07 数列的实际应用，其他应用
【典例7-1】．（2023·上海闵行·三模）已知是同一直线上三个不同的点，为直线外一点，在等差数列中，，则数列的前7项和 .
【变式7-1】．（23-24高三下·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（ ）
A．丁酉年B．丁戌年C．戊酉年D．戊戌年
【变式7-2】．（2023·上海黄浦·三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．

题型08 列举分析、综合分析
【典例8-1】．（2024·上海杨浦·一模）设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（ ）
A．B．0C．6D．12
【典例8-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）设数列的前项和为，若，且存在正整数，使得，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【变式8-2】．（2024·上海嘉定·一模）已知数列满足，给出以下四个结论：
①当时，存在有限个，使得对任意正整数，都有
②当时，存在和正整数，当时，
③当时，存在和正整数，当时，
④当时，不存在，使得对任意正整数，且，都有
其中正确结论是（ ）.
A．①②B．②③C．③④D．②④
题型09 选择压轴题
【典例9-1】．（2024·上海宝山·一模）设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（ ）
A．为严格减数列
B．为严格增数列
C．为严格增数列，为严格减数列
D．为严格减数列，为严格增数列
【变式9-1】．（2024·上海长宁·一模）数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”．
①存在等差数列满足“性质Ω”；
②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”；
下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题；B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题；D．①是假命题，②是假命题．
【变式9-2】．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（ ）
A．数列与均是严格增数列
B．数列与均是严格减数列
C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列
D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列
一、填空题
1．（2023·上海宝山·一模）已知等差数列的前项和为，若则
2．（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 .
3．（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 .
4．（2024·上海松江·二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为 .
5．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .

6．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ．
二、单选题
7．（2024·上海青浦·二模）设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（ ）．
A．B．C．D．
8．（2023·上海杨浦·一模）等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·上海虹口·一模）设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）．
①存在等比数列以及锐角α，使成立．
②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立．
A．①是真命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是假命题，②是假命题
1、解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
2、解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
3、求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项．
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
4、如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
5、错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.