2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)专题21与三角形、四边形相关的压轴题(共21题)(原卷版+解析)

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1．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点C坐标为 (2)
(3)存在点P或或，使是等腰三角形
【分析】（1）先求出方程的解，可得，，再由，可得，然后根据四边形ABCD是平行四边形，可得CD=7，，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当时，当时，过点A作交CB的延长线于点F，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F；当时；当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，即可求解．
(1)解：，解得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴点C坐标为；
(2)解：当时，，
当时，过点A作交CB的延长线于点F，如图，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)解：存在点P，使是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点P在CD上运动时，可能是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴，
∵点M为BC的中点，∴，
当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，
∴，
设PC=PM=a，则PD=7-a，，
∵PF2+FM2=PM2，
∴，解得：，
∴，
∴此时点P；
当时，
∴，
∴此时点P；
当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则，
∴，
∴PD=7-PC=4，
∴此时点P；
综上所述，存在点P或或，使是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
2．（2022·贵州黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，和都是等边三角形，点在上．
求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．
(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
(2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上．
①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由．
②若，试求出正方形的面积．
【答案】(1)钝角三角形；证明见详解
(2)①直角三角形；证明见详解；②S四边形ABCD=
【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可；
（2）①以、、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可．
(1)证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC为钝角三角形，
∴以、、为边的三角形是钝角三角形．
(2)证明：①以、、为边的三角形是直角三角形．
连结CG，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG为正方形的对角线，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC为直角三角形，
∴以、、为边的三角形是直角三角形；
②连结BD，
∵△AGC为直角三角形，，
∴AC=，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC=BD=，
∴S四边形ABCD=．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键．
3．（2022·海南）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；
③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；；②12,；③，见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合P是的中点证明；
（2）①设，在中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可；
②当点恰好位于对角线上时，最小，利用勾股定理计算即可；
③过点作，交于点M，证明，再由即可得到．
(1)
解：如图9-1，在矩形中，，
即，
∴．
∵点P是的中点，
∴．
∴．
(2)
①证明：如图9-2，在矩形中，，
∴．
由折叠可知，
∴．
∴．
在矩形中，，
∵点P是的中点，
∴．
由折叠可知，．
设，则．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即．
②解：如图9-3，由折叠可知，．
∴．
由两点之间线段最短可知，
当点恰好位于对角线上时，最小．
连接，在中，，
∴，
∴，
∴．
③解：与的数量关系是．
理由是：如图9-4，由折叠可知．
过点作，交于点M，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴点H是中点．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵点G为中点，点H是中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明．
4．（2022·吉林）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．
(1)当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示）
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)2x
(2)1
(3)
【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x；
（2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）；
（3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可．
(1)
当Q点在AC上时，
∵∠A=30°，∠APQ=120°，
∴∠AQP=30°，
∴∠A=∠AQP，
∴AP=PQ，
∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒，
∴AP=2x，
∴PQ=2x；
(2)
当M点在BC上，Q点在AC上，如图，
在（1）中已求得AP=PQ=2x，
∵四边形QPMN是菱形，
∴PQ=PN=MN=2x，，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPB=60°，
∵，
∴∠MNB=∠QPB=60°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△MNB是等边三角形，
∴BN=MN，
∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，
∴x=1（s）；
(3)
当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s），
即x的取值范围为：，
当M点刚好在BC上时，
在（2）中已求得此时x=1，
分情况讨论，
即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，
∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，
过Q点作QG⊥AB于G点，如图，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°，
∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，
∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：；
当x＞1，且Q点在线段AC上时，
过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图，
∵，∴∠MNB=∠QPN=60，
∵∠B=60°，∴△ENB是等边三角形，
同理可证明△MEF是等边三角形
∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，
∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，
∴BN=6-AN=6-4x，∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，
∵MH⊥EF，∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=，
∴△MEF的面积为：，
QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，
∵菱形PQMN的面积为，
∴重叠部分的面积为，
当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图，
∵∠CPB=∠CBA=60°，∴△PBC是等边三角形，∴PC=PB，
∵AP=PQ=2x，∴AP=PB=2x，
∴AB=AP+PB=4x=6，则x=，
即此时重合部分的面积为：，；
当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图，
∵AP=2x，∴PB=AB-AP=6-2x，
∵∠QPB=∠ABC=60°，∴△PQB是等边三角形，
∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合，
∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=，
∴，
∴此时重叠部分的面积，
综上所述：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQMN的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．
5．（2022·黑龙江牡丹江）在菱形和正三角形中，，是的中点，连接、．
(1)如图1，当点在边上时，写出与的数量关系 ．（不必证明）
(2)如图2，当点在的延长线上时，线段、有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
(3)如图3，当点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)
【分析】（1）延长交于点，利用，得出，，得到，是的中垂线，在中，，利用正切函数即可求解；
（2）延长交于点，连接，，先证明，再证明，利用在中，，即可求解；
（3）延长到，使，连接，，，作FE∥DC，先证，再证，利用在中，，即可求解．
(1)解：如图1，延长交于点，
∵是的中点，
∴PD=PF，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是正三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
，
是的中垂线，
在中，，
．
(2)解：，理由如下：
如图2，延长交于点，连接，，
，正三角形，
∴，
，
在和中，
，，
，，
在和中，
，，
，
，
，
．
(3)解：猜想： ．
证明：如图3，延长到，使，连接，，，作FEDC，
是线段的中点，
，
，
，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，，点、、又在一条直线上，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
即
，，
，，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形．
6．（2022·内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．）(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
(2)如图1，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，过点作，垂足为．设，当为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明．

【答案】(1)AG=CE(2)过程见解析(3)，证明过程见解析
【分析】对于（1），根据点E是BC的中点，可得答案；
对于（2），取AG=EC，连接EG，说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF，可得答案；
对于（3），设BC=x，则BE=kx，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长，利用平行四边形的判定得只要EP=FC，即可解决问题．
(1)解：∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
∵点G是AB的中点，
∴BG=AG，
∴AG=CE．
故答案为：AG=CE；
(2)取AG=EC，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°．
∵AG=CE，
∴BG=BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△GAE≌△CEF，
∴AE=EF；
(3)当时，四边形PECF是平行四边形．
如图．
由（2）得，△GAE≌△CEF，
∴CF=EG．
设BC=x，则BE=kx，
∴，．
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC=45°，
∴∠PEC+∠ECF=180°，．
∴，
当PE=CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴，解得．
【点睛】这是一道关于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识．
7．（2022·福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．
(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)30°
【分析】（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出，再根据三角形内角和，得到，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，证得，得到，设，，则，得到α+β的关系即可．
(1)∵，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABDC是平行四边形，
又∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形；
(2)结论：．
证明：∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(3)在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，
∵AB＝CD，，
∴，
∴BM＝BD，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵CA＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即∠ADB＝30°．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．
8．（2022·湖南衡阳）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）．
(1)当点与点重合时，求的值；
(2)当为何值时，与全等；
(3)求与的函数关系式；
(4)以线段为边，在右侧作等边三角形，当时，求点运动路径的长．
【答案】(1) (2)或 (3) (4)
【分析】（1）画出图形，根据30°直角三角形求解即可；
（2）根据全等的性质计算即可，需要注意分类讨论；
（3）利用面积公式计算即可，需要根据M在B点左边和右边分类讨论；
（4）先确定E点的运动轨迹是一条直线，再根据求点运动路径的长．
(1)
与重合时，
∵，
∴，
∴.
(2)
①当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
②当，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
∴或.
(3)
①当时，
，
∴，
∴.
②当时，
∵，，
∴，
∴，
∴.
(4)
连接.
∵为正三角形，
∴，
在Rt△APE中，，
∴为定值.
∴的运动轨迹为直线，
，
当时，
当时，
∴的运动路径长为.
【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质，30°直角三角形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．
9．（2022·浙江金华）如图，在菱形中，，点E从点B出发沿折线向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形．
(1)如图1，点G在上．求证：．
(2)若，当过中点时，求的长．
(3)已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？
【答案】(1)见解析
(2)或5
(3)或或或
【分析】（1）证明△AFG是等腰三角形即可得到答案；
（2）记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况进行求解即可；
（3）过点A作于点M，作于点N．分点E在线段上时，点E在线段上时，点E在线段上，点E在线段上，共四钟情况分别求解即可．
(1)
证明：如图1，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
∵FGBC，
∴，
∴，
∴△AFG是等腰三角形，
∴．
(2)
解：记中点为点O．
①当点E在上时，如图2，过点A作于点M，
∵在中，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②当点E在上时，如图3，
过点A作于点N．
同理，，
，
∴．
∴或5．
(3)
解：过点A作于点M，作于点N．
①当点E在线段上时，．设，则，
ⅰ）若点H在点C的左侧，，即，如图4，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的根，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的根，
∴．
ⅱ）若点H在点C的右侧，，即，如图5，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
此方程无解．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的根，
∴．
②当点E在线段上时，，如图6，．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
此方程无解．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的根，
∵，
∴不合题意，舍去；
③当点E在线段上时，，如图7，过点C作于点J，
在中，．
，
∴，
∴，
∵，
∴，符合题意，
此时，．
④当点E在线段上时，，
∵，
∴与不相似．
综上所述，s满足的条件为：或或或．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键．
10．（2022·四川南充）如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：．
(3)点Q在边上，，当时，求的长．
【答案】(1)为直角三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)或12
【分析】（1）由点O是的中点，可知，由等边对等角可以推出；
（2）延长AM，BC交于点E，先证，结合（1）的结论得出PC是直角斜边的中线，推出，进而得到，再通过等量代换推出，即可证明；
（3）过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，得到两个K型，证明，，利用相似三角形对应边成比例列等式求出QF，FP，再通过即可求出DM．
(1)
解：为直角三角形，理由如下：
∵点O是的中点，，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
(2)
证明：如图，延长AM，BC交于点E，
由矩形的性质知：，，
∴，
∵ 点M为边中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，即C点为BE的中点，
由（1）知，
∴，即为直角三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
(3)
解：如图，过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，
由已知条件，设，，
则，，．
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
同理，∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∴，
解得，
∴，
将代入得，
整理得，
解得或．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，，
当时，，此时点M在DC的延长线上，
综上，的长为或12．
【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，解题关键是作辅助线构造K字模型．
11．（2022·湖北武汉）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S．
(1)填空：当，，时，
①如图1，若，，则_____________，_____________；
②如图2，若，，则_____________，_____________；
(2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
(3)如图4，当，，，时，请直接写出S的大小．
【答案】(1)①，25；②4；
(2)S=
(3)S=
【分析】（1）①先证四边形DECF为正方形，再证△ABC为等腰直角三角形，根据CD平分∠ACB，得出CD⊥AB，且AD=BD=m,然后利用三角函数求出BF=BDcs45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcs45°=5即可；②先证四边形DECF为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A=90°-∠B=30°，利用30°直角三角形先证求出DE=，利用三角函数求出AE=ADcs30°=6，DF=DE=，BF=DFtan30°=2，BD=DF÷sin60°=4即可；
（2）过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，先证四边形DGCH为正方形，再证△DFG≌△DEH（ASA）与△DBG≌△DIH（SAS），然后证明∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°即可；
（3）过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，先证明△DQF≌△DPE，△DBQ≌△DRP，再证△DBF≌△DRE，求出∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°即可．
(1)
解：①∵，，，是的角平分线，
∴四边形DECF为矩形，DE=DF，
∴四边形DECF为正方形，
∵，
∴∠A=90°-∠B=45°=∠B，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，且AD=BD=m,
∵，
∴BD=n=，
∴BF=BDcs45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcs45°=5，ED=DF=5，
∴S= ；
故答案为，25；
②∵，，，是的角平分线，
∴四边形DECF为矩形，DE=DF，
∴四边形DECF为正方形，
∵，
∴∠A=90°-∠B=30°，
∴DE=，AE=ADcs30°=6，DF=DE=，
∵∠BDF=90°-∠B=30°，
∴BF=DFtan30°=2，
∴BD=DF÷sin60°=4，
∴BD=n=4，
∴S=，
故答案为：4；；
(2)
解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，
∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，
∴四边形DGCH为矩形，
∵是的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC，
∴DG=DH，
∴四边形DGCH为正方形，
∴∠GDH=90°，
∵，
∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，
∴∠FDG=∠EDH，
在△DFG和△DEH中，
，
∴△DFG≌△DEH（ASA）
∴FG=EH，
在△DBG和△DIH中，
，
∴△DBG≌△DIH（SAS），
∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，
∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，
∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，
∴S△ADI=，
∴S=；
(3)
过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，
∵是的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC，
∴DP=DQ，
∵∠ACB=60°
∴∠QDP=120°，
∵，
∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，
∴∠FDQ=∠EDP，
在△DFQ和△DEP中，
，
∴△DFQ≌△DEP（ASA）
∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，
在△DBQ和△DRP中，
，
∴△DBQ≌△DRP（SAS），
∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，
∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，
∵DB=DE，DB=DR，
∴△DBF≌△DRE，
∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，
∴S=S△ADR=．
【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形是解题关键．
12．（2022·山东临沂）已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)大小不变，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）连接BD，由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD，继而得出，便可证明；
（2）连接PB，过点P作交AB于点E，PF⊥AB于点F，可证明是等边三角形，由等腰三角形三线合一证明，，即可求解；
（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF = FE，QF = BF，即可证明．
(1)
连接BD，
是等边三角形，
，
点B，D关于直线AC对称，
AC垂直平分BD，
，
，
四边形ABCD是菱形；
(2)
当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：
将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
，
是等边三角形，
，
连接PB，过点P作交AB于点E，PF⊥AB于点F，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
PB = PD，∠DPA =∠BPA，
PQ = PD，
，
，
∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF，
即∠QPA = ∠BPE，
∠DPQ =∠DPA - ∠QPA=∠BPA-∠BPE = ∠APE = 60°；
(3)
AQ= CP，证明如下：
AC = AB，AP= AE，
AC - AP = AB – AE，即CP= BE，
AP = EP，PF⊥AB，
AF = FE，
PQ= PD，PF⊥AB，
QF = BF，
QF - AF = BF – EF，即AQ= BE，
AQ= CP．
【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．（2022·江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________；
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；
②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示），
（参考数据：）
【答案】(1)1,1，
(2)①是等边三角形，理由见解析；②
(3)
【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．利用全等三角形的性质证明即可；
（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；
（3）如图4-1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4-2中，当CM=CN时，S2最大．分别求解即可．
(1)
如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S．
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM=ON，
∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOJ=∠NOK，
∵∠OMJ=∠ONK=90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），
∴S△PMJ=S△ONK，
∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD，
∴S1=S．
故答案为：1，1，S1=S．
(2)
①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．
理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT=CT，
∵BM=CN，
∴MT=TN，
∵OT⊥MN，
∴OM=ON，
∵∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．
∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM=∠CON=30°，
∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM=90°-75°=15°，
∵BJ=JC=OJ=1，
∴JM=OJ•tan15°=2-，
∴CM=CJ-MJ=1-（2-）=-1，
∴S四边形OMCN=2××CM×OJ=-1．
(3)
如图4，将沿翻折得到，则，此时则当在上时，比四边形的面积小，

设，则当最大时，最小，
，即时，最大，
此时垂直平分，即，则
如图5中，过点O作OQ⊥BC于点Q，

，
BM=CN
当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．
在Rt△MOQ中，MQ=OQ•tan=tan，
∴MN=2MQ=2tan，
∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．
如图6中，同理可得，当CM=CN时，S2最大．

则△COM≌△CON，
∴∠COM=，
∵∠COQ=45°，
∴∠MOQ=45°-，
QM=OQ•tan（45°-）=tan（45°-），
∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-），
∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan（45°-）．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
14．（2022·贵州贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
(1)问题解决：
如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
(2)问题探究：
如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
(3)拓展延伸：
当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)作图见解析，
【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据折叠的性质即可求得，由三角形内角和定理可得，根据点在边上，当时，取得最小值，最小值为；
（3）连接，设， 则，，在中，，延长交于点，在中，，进而根据，即可求解．
(1)
，
是等边三角形，
四边形是平行四边形，
，
，
为边上的高，
，
(2)
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，为底边上的高，则
点在边上，
当时，取得最小值，最小值为；
(3)
如图，连接，
，则，
设， 则，，
折叠，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
延长交于点，如图，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
15．（2022·吉林长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．
【问题解决】
(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)的度数为________度，的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)22.5°，
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论；
（2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ；
（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论．
(1)
证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
由折叠得，，
∴
∴
又AD=AF，AG=AG
∴
(2)
由折叠得，∠
又∠
∴∠
由得，∠
∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
设则
∴
∴
∴
(3)
如图，连接
∵
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作交AD于点R，
∵∠
∴∠
∴
又
∴
∴
在中，
∴
∴的最小值为
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
16．（2022·广东深圳）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【分析】（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；
（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．
【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
17．（2022·黑龙江）和都是等边三角形．
(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)图②结论：，证明见解析
(3)图③结论：
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；
（2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论；
（3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：．
(1)
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
(2)
解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AC=AB，CP=BF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
(3)
解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AB=AC，BP=CF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（2022·辽宁锦州）在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F．
(1)如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________．
(2)如图2．若，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长．
【答案】(1) (2)①；②或；
【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论；
②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．
(1)解：过点C作CG⊥AB于G，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴△EDF≌△CDG，
∴；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
(2)解：①过点C作CH⊥AB于H，如图，
与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴，
∴，
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图，过点C作CG⊥AB于G，
与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴，
∵，
当点F在点A、D之间时，有
∴，
与①同理，可证是等腰直角三角形，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图：
∴，
与①同理，可证是等腰直角三角形，
∴；
综合上述，线段的长为或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．
19．（2022·广西）已知，点A，B分别在射线上运动，．
(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：
(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)当时，的面积最大；理由见解析，面积的最大值为
【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行证明即可；
（2）取AB中点T，连接OT、CT、OC，由等腰直角三角形的性质可得，继而可得当O、T、C在同一直线上时，CO最大，再证明，再由勾股定理求出OT的长，即可求解；
（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由（2）可知，当时，OC最大，当时，此时OT最大，即的面积最大，由勾股定理等进行求解即可．
(1)
，证明如下：
，AB中点为D，
，
为的中点，，
，
，
；
(2)
如图，取AB中点T，连接OT、CT、OC，
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，
，
（当且仅当点T在线段OC上时，等号成立），
当O、T、C在同一直线上时，CO最大，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，
；
(3)
如图，当点A，B运动到时，的面积最大，证明如下：
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，
由（2）可知，当时，OC最大，，
当时，，
此时OT最大，
的面积最大，
，
，
，
综上，当点A，B运动到时，的面积最大，面积的最大值为．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（2022·湖北十堰）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）．
【答案】370
【分析】延长交于点，根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，，从而求得的长，根据材料可得，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，
，，，
，，
是等边三角形，
,
,
在中，，，
，，
，
中，，，
，
，
，
中，
是等腰直角三角形
由阅读材料可得，
路线的长比路线的长少．
故答案为：370．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．
21．（2022·陕西）问题提出
(1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________．
问题探究
(2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积．
问题解决
(3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；
②作的垂直平分线l，与于点E；
③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得．
请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)符合要求，理由见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性质，结合三角形内角和，先求出即可；
（2）连接．先证明出四边形是菱形．利用菱形的性质得出，由，得出．根据，得，，即可求出，再求出，利用即可求解；
（3）由作法，知，根据，得出．以为边，作正方形，连接．得出．根据l是的垂直平分线，证明出为等边三角形，即可得出结论．
(1)
解：，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：；
(2)
解：如图1，连接．
图1
∵，
∴四边形是菱形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
(3)
解：符合要求．
由作法，知．
∵，
∴．
如图2，以为边，作正方形，连接．
图2
∴．
∵l是的垂直平分线，
∴l是的垂直平分线．
∴．
∴为等边三角形．
∴，
∴，
∴．
∴裁得的型部件符合要求．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线，解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解，涉及知识点较多，题目较难．