四川省内江市第一中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省内江市第一中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
A卷（必做题）
（共120分）
一、单选题（共48分）
1. 在，，，，a＋中，是分式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】分式的定义知，，，a＋是分式．
故选：C．
2. 北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
3. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≥2且x≠5B. x≥2C. x≤5D. x≤2且x≠5
【答案】A
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数，且分母不等于0求解即可．
【详解】由题意得，x﹣2≥0，且x﹣5≠0，
解得，x≥2且x≠5，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
4. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. B. 0C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子等于，且分母不等于．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，解得，
故选D．
5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．
6. 将分式中的、均扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 扩大为原来的4倍
C. 缩小为原来的4倍D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键．将原式中的a换为，将b换为，根据分式的性质进行化简即可．
【详解】解：把分式中的a和b分别扩大为原来的2倍，
即，
则分式的值不变，
故选：D．
7. 甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：；
故选D．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
8. 若关于分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键，别忘记分式的分母不为零．解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据时分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴m的取值范围是且，
故选：D．
9. 在反比例函数的图像上有三点（，），（，），（， ）若＞＞0＞，则下列各式正确的是( )
A. ＞＞B. ＞＞C. ＞＞D. ＞＞
【答案】A
【解析】
【分析】根据k值得出反比例的图像，再根据x的取值即可比较y的大小
【详解】∵k=＜0，
∴函数图像过二、四象限，x＞0时，y值随x的增大而增大，
x＜0时，y值随x的增大而增大，且x为负时，y值大于x为正的y值，
∵＞＞0＞，
∴＞＞，
选A.
【点睛】此题主要考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟知反比例函数的图像和性质.
10. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分为a＞0和a＜0两种情况，然后依据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可．
【详解】解：当a＞0时，一次函数y＝ax+a，经过一、二、三象限，反比例函数图象位于二、四象限，
当a＜0时，一次函数y＝ax+a，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于一、三象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
11. 甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．则下列说法正确的是( )
A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B. 跑步过程中，两人相遇一次
C. 起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远
D. 乙在跑前300米时，速度最慢
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
详解：A．根据图象可知甲乙到达终点的时间分别为160秒和200秒，所以甲比乙先到终点，故本选项错误；
B．由图象可知，跑步过程中，两人相遇两次，故本选项错误；
C．观察图象可知，起跑后160秒时，甲、乙两人的路程差最大，甲、乙两人相距最远，故本选项正确；
D．由图象可知：乙在CD段的速度＜在OB段的速度＜在BC段的速度，故本选项错误．
故选C．
点睛：本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
12. 如图，在单位面积为1的方格纸上，，，，，，…均在格点上，且坐标分别为，，，，，…，则依图中所示规律，点的纵坐标为（ ）
A. －1010B. 1010C. －1011D. 1011
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得—，—，，每4个点为一组，根据点所呈现的规律可得的坐标为（1，）（n为正整数），据此求解即可．
【详解】解：观察可知—，—，，每4个点为一组，的坐标为（1，-1），的坐标为（1，-3），的坐标为（1，-5），
∴的坐标为（1，）（n为正整数），
∵，
∴的纵坐标为
故选C．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到点的坐标规律是解题的关键．
二、填空题（共16分）
13. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小，
∴，
解得，
故答案为：．
14. 将一次函数的图像向上平移2个单位长度后经过点，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据上加下减得到解析式，把代入解析式即可．
【详解】∵一次函数的图像向上平移2个单位长度，
∴解析式为，
∵图像经过点，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握上加下减规律是解题的关键．
15. 若关于的方程 =有增根，则= _________
【答案】1
【解析】
【分析】使分式无意义的未知数的值，通常是分母等于零的未知数的值．
【详解】解：∵方程 =有增根，
∴x-1=0，
解得x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的增根即使分式无意义的未知数的值，解题的关键是正确理解增根的意义．
16. 对于实数、，定义一种运算“”为：有下列命题：
①；
②；
③方程的解为；
④若函数的图象经过，两点，则，其中正确命题的序号是__．（把所有正确命题的序号都填上）
【答案】①④
【解析】
【分析】根据新定义对①②直接进行判断；根据新定义得，解得 ，经检验原方程无实数解，可对③进行判断；根据新定义得到，然后根据一次函数的性质对④进行判断．
【详解】解：，所以①正确；
，，所以②不正确；
由于方程，所以，解得，经检验原方程无实数解，所以③错误；
函数，因为，在函数，所以，所以④正确；
综上所述，正确的是：①④；
故答案为①④．
【点睛】本题考查了命题，新定义下实数的运算，分式方程，一次函数的性质特点，熟悉相关性质是解题的关键．
三、解答题（共56分）
17. 计算：
（1）
（2）解方程∶
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握负整数指数幂，零次幂，解分式方程的方法是解题的关键；
（1）根据负整数指数幂，零次幂，乘法运算求解即可；
（2）先去分母，化为整式方程，求解并检验即可；
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原方程可化为 ，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解是；
18. 先化简，再求值：，其中x是不等式的正整数解．
【答案】原式，当时，原式
【解析】
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，计算乘法，然后求出不等式的正整数解，结合分式有意义的条件确定x的值，再代入求出答案即可．
【详解】解：原式
∵，
∴，
∵x为正整数，
∴或2或3，
根据分式有意义的条件，且，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解、分式化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19. 在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：

（1）小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．
【答案】（1）2.5；；
（2）
（3）当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min
【解析】
【分析】（1）根据函数图象结合路程=时间×速度进行求解即可；
（2）分当时和当时两种情况讨论求解即可；
（3）分当小明处在去体育馆的途中离家2km时，当小明从体育馆去商店途中离家2kn时两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由函数图象可知小明在离家15分钟时到底体育馆，此时离家的距离为2.5km，
∴小明家离体育馆的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为，
故答案为：2.5；；
【小问2详解】
解：由函数图象可知当时，，
当时，此时y是关于x一次函数，设，
∴，
解得，
∴此时，
综上所述，
【小问3详解】
解：当小明处在去体育馆的途中离家2km时，
；
当小明从体育馆去商店途中离家2km时，
∴，
解得；
综上所述，当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
20. 汴绣是流传于河南省开封市的传统美术，也是国家级非物质文化遗产之一，《东京梦华录》中有“金碧相射，锦绣交辉”之誉．某商店第一次用600元购进绣有吉祥图案的香包若干个，第二次又用600元购进该款式香包，但每个香包的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30个，求该商店第一次购进香包的单价是多少元．
【答案】4元
【解析】
【分析】本题考查分式方程应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设该商店第一次购进香包的单价是x元，根据“第二次购进的数量比第一次少了30个”列分式方程求解即可．
【详解】解：设该商店第一次购进香包单价是x元，则第二次购进香包的单价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
答：该商店第一次购进香包的单价是4元．
21. 为了缓解环境污染的问题，某地禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多，某商店计划购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中A型电动自行车不少于20辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润元．
（1）求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）该商店应该购进A型电动自行车20辆，购进型电动自行车10辆才能获得最大利润，此时最大利润是11000元
【解析】
【分析】（1）利润＝一辆A型电动自行车的利润×A型电动自行车的数量+一辆B型电动自行车的利润×B型电动自行车的数量，依此列式化简即可；
（2）根据一次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解．
【小问1详解】
解：设该商店计划购进A型电动自行车辆，则购进型电动自行车辆，根据题意，得
，
即与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
∵，，
∴当时，有最大值，此时，
所以该商店应该购进A型电动自行车20辆，购进B型电动自行车10辆才能获得最大利润，此时最大利润是11000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出y与m之间的函数关系式．
22. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴的相交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点的坐标及；
（3）直接写出当一次函数值小于反比例函数值时的的取值范围．
【答案】（1）；
（2）点，
（3）或
【解析】
【分析】（1）将点代入反比例函数解析得出反比例函数解析式，进而将代入反比例函数解析式得出点的坐标，进而待定系数法求得一次函数解析式即可求解；
（2）令一次函数中，即可求得点的坐标，进而根据即可求解；
（3）结合函数图象，根据两函数图象的交点，即可求解．
【小问1详解】
∵是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，
∴，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
∵，
∴点，
∴，
解得：，
一次函数为：；
【小问2详解】
当时，，
解得：，
点，
∴；
【小问3详解】
如图，当或，一次函数的值小于反比例函数的值．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
B卷（选做题）
（共30分）
四、填空（共16分）
23. 为常数，且对任何实数都有成立，则 =
_________ .
【答案】1 ；
【解析】
【详解】解：∵，∴，∴，∴，解得：，∴=1．故答案为1．
24. 若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一元一次不等式组的解集求参数，不等式组的整数解，由一次函数的图象可得，得到，又根据不等式组的解集可得，即得，得到的整数值，把它们相加即可求解，掌握一次函数的图象和解不等式组是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数图象不经过第四象限，
∴，
解得，
又不等式组，
由得，，
由得，，
∵不等式组的解集是，
∴，
∴，
∴的取值范围为，
∴的整数值为，，，，，
∴满足所有条件的整数之和为，
故答案为：．
25. 如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．
【答案】.
【解析】
【分析】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，可知△ADC的面积为4，再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8，设A (x,)，从而
表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可.
【详解】如图，连接DC，
∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1.
∴△ADC的面积为4.
∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，
∴设A点坐标为 (x,).
∵OC＝2AB，∴OC=2x.
∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.
∴梯形BOCA的面积=，解得.
【点睛】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质.
26. 已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴，y轴于点A，B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．当PA+PC的值最小时，点P的坐标为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】联立两直线解析式组成方程组，可得点C的坐标，确定出点A关于y轴的对称点A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系数法求出直线A'C的解析式即可得出点P坐标．
【详解】解：直线①与直线②相交于，
联立①②解得，，，
，；
在中，当时，，
，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图：
设直线的解析式为，
把，，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
令时，
点．
故答案为：．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的求法，待定系数法，用轴对称解决最短路径问题是解本题的关键．
五、解答（共14分）
27. 阅读材料：
通过小学的学习，我们知道，，
在分式中，类似地，．
探索：
（1）如果，则 ；如果，则 ；
总结：
（2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示）
应用：
（3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】（1）1；；（2）；（3）或或2或
【解析】
【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是：
（1）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（2）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（3）类似于题干例子变形，根据得到的结论确定出整数x的值即可．
【详解】解：（1）∵
又，
∴；
∵
，
又，
∴，
故答案为：1；；
（2）∵
，
又，
∴；
（3）
，
∵的值为整数，
∴的值为整数，
∴或，
∴或或2或．
28. 如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．
①若的面积为，求点P的坐标；
②连接，如图，若是等腰三角形，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）①或；②或或或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，等腰三角形的定义以及性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可；
（2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可；
（3）先由两点间距离公式求出，然后分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：对于，
由得：，
∴，
由得：，解得，
∴，
∵点C与点A关于y轴对称
∴，
设直线的函数解析式为，则，
解得．
∴直线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：①设，
则、
如图1，过点B作于点D，
∴，，
∴，
解得，
∴或；
②∵，
∴，
当时，则或；
当时，如图：
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴此时点M与点C重合，
∴，
综上所述：是等腰三角形时，点M的坐标为或或或．